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곡선의 길이 공식 – 적분 – 네이버 블로그
곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 11/23/2022
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곡선의 길이(Arc Length)::::수학과 사는 이야기
곡선 y=f(x) y = f ( x ) 을 아래와 같이 다각형으로 잘라서 길이를 구한다. 근삿값의 수열이 극한이 있다면 이를 길이로 정의한다.
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 4/24/2022
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곡선의 길이
곡선의 길이 ; Pk−1(xk−1,f(xk−1)),Pk(xk,f(xk)) ; −1Pk=√(xk−xk−1)2+{f(xk)−f(xk−1)}2 ; dydx=limΔt→ · =dydtdxdt=y′(t)x′(t).
Source: mathphysics.tistory.com
Date Published: 5/7/2021
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[5분 고등수학] 곡선의 길이
… f(x))$ 라고 놓구요. 점 B를 $(x+ \Delta x, f(x+\Delta x))$ 라고 놓겠습니다. 점 A부터 점 B에 이르는 곡선의 길이를 $\Delta l$ 이라고 ..
Source: hsm-edu-math.tistory.com
Date Published: 11/25/2021
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곡선의 길이(arc length of a curve) | 과학문화포털 사이언스올
일정한 점에서 측정한 길이에 그 점에서의 방향을 나타내는 음양의 부호를 붙여서 S로 표시하고 이것을 곡선의 방정식의 매개변수로 쓰는 경우가 많다 …
Source: www.scienceall.com
Date Published: 11/24/2021
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미적분학 – 곡선의 길이
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 – 특이적분에서는 무한대가 포함된 구간의 적분과 불연속점에 포함된 피적분함수의 적분에 대해서 알아 …
Source: everyday-image-processing.tistory.com
Date Published: 11/24/2022
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적분과 통계_적분_곡선의 길이_난이도 상 – 수악중독
곡선 \(y=\ln x\) 의 \(x=\sqrt{3}\) 에서 \(x=2\sqrt{2}\) 까지의 길이를 구하면? ① \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\) ② \(2+{\Large …
Source: mathjk.tistory.com
Date Published: 2/30/2022
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곡선의 길이공식- 안성환쌤의 연역적수학
곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.
Source: cronix.tistory.com
Date Published: 5/8/2022
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주제에 대한 기사 평가 곡선 의 길이
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- Date Published: 2020. 3. 6.
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곡선의 길이 공식 – 적분
평면에서 곡선의 길이
(1) 곡선 , 의 길이
(2) 곡선 의 길이
(2)번 공식은 사실, (1)번 공식과 같다.
(1)번 공식에 , 를 적용해보면
↓ ↓
곡선의 길이의 증명
(1) 곡선 , 의 길이
곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.
이때 오른쪽 [그림 2]와 같이 매개변수가 부터 까지 변할 때, 점 는 점 로 움직인다고 하면, 의 증분 가 충분히 작을 때 의 증분 은 선분 의 길이와 거의 같다.
따라서 곡선 , 의 길이 은
㉠
(2) 곡선 의 길이
함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. ,
㉠에 의하여 곡선 , 의 길이 은
곡선의 길이(Arc Length)
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곡선 $y=f(x)$을 아래와 같이 다각형으로 잘라서 길이를 구한다. 근삿값의 수열이 극한이 있다면 이를 길이로 정의한다.
$x=a,\;\;x=b$ 사이를 $n$등분하여 $x_n$을 잡고 $P_i (x_i ,y_i )$로 놓자.
$$x_i =a+i\Delta x\;\;\bigg(\Delta x=\frac{b-a}{n}\bigg)$$
곡선의 길이를 $L$이라고 하면
$$\begin{equation}L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\big|P_i -P_{i-1}\big|\end{equation}$$
이다. 이제 이 식을 정리해 보자.
$\Delta y_i =y_i -y_{i-1}$라고 하면
$$\big|P_i -P_{i-1}\big|=\sqrt{(x_i -x_{i-1})^2 +(y_i -y_{i-1})^2}=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +(\Delta y_i)^2}$$
평균값에 정리에 의해 구간 $[x_{i-1},x_i]$에 아래를 만족하는 $x_i^*$가 존재한다.
$$f(x_i)-f(x_{i-1})=f^{\prime}(x_i^*)(x_i -x_{i-1})$$
$$\Delta y_i =f^{\prime}(x_i^*)\Delta x$$
따라서,
$$\big|P_i -P_{i-1}\big|=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +(\Delta y_i)^2}=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +[f^{\prime}(x_i^*)\Delta x]^2}$$
$$=\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\sqrt{ (\Delta x_i )^2}=\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\Delta x_i $$
이를 정의에 대입하면
$$L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\big|P_i -P_{i-1}\big|=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\Delta x$$
$$\therefore L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f^{\prime}(x)]^2}dx$$
다시 적으면
구간 $[a,b]$에서 연속인 곡선 $y=f(x)$의 길이는 $$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}dx$$
곡선이 $x=f(t)\;\;y=g(t)$와 같이 매개변수로 표현되었을 때는 치환적분으로 생각하면
$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}dt$$이다.
극형식으로 주어진 직선 $r=f(\theta)\;\;(a<\theta
[5분 고등수학] 곡선의 길이
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$y=f(x)$ 라는 함수를 고려해봅시다.
임의의 점 A를 $(x, f(x))$ 라고 놓구요. 점 B를 $(x+ \Delta x, f(x+\Delta x))$ 라고 놓겠습니다.
점 A부터 점 B에 이르는 곡선의 길이를 $\Delta l$ 이라고 놓겠습니다.
$\Delta x$ 가 0으로 갈 때 아래와 같이 근사식을 적용할 수 있습니다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \overline{AB}$
A와 B의 좌표를 이용해서 선분 AB를 표현해봅시다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\sqrt{\left [ f(x+\Delta x)-f(x) \right ]^{2}+(\Delta x)^{2}}$
양변을 $\Delta x$ 로 나눕시다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ \Delta l}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{\left [ f(x+\Delta x)-f(x) \right ]^{2}+(\Delta x)^{2}}}{\Delta x}$
$\Delta x$를 루트 안에 넣어줍시다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ \Delta l}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}
\sqrt{\left [ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right ]^{2}+1}$
좌 우변의 극한값은 아래와 같습니다.
$\frac{dl}{dx} =\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}$
양변에 dx를 곱합시다.
$dl=\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}\ dx$
x=a 부터 x=b 까지의 길이는 아래 적분을 통해 구할 수 있습니다.
$l_{ab}=\int_{a}^{b}\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}\ dx$
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곡선의 길이(arc length of a curve)
단편적으로 매끄러운 공간곡선 직교좌표에서 매개변수 t에 의해 x=f(t), y=g(t), z=h(t), 로 표시될 때, 그 길이는 정적분 로 정해진다.
일정한 점에서 측정한 길이에 그 점에서의 방향을 나타내는 음양의 부호를 붙여서 S로 표시하고 이것을 곡선의 방정식의 매개변수로 쓰는 경우가 많다.
리만공간에서는 국소적 길이가 계량 의 제곱근으로서 정의된다.
곡선의 길이
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안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 – 특이적분에서는 무한대가 포함된 구간의 적분과 불연속점에 포함된 피적분함수의 적분에 대해서 알아보았습니다. 핵심은 임의의 실수 $t$를 선택한 뒤 무한 또는 불연속점으로 극한을 취해주면 되었습니다. 이때, 항상 극한이 존재하는 것이 아니기 때문에 특이적분에서는 값이 존재하지 않을 수도 있습니다. 오늘은 적분의 새로운 응용으로 호의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
위 그림과 같이 함수 $y = f(x)$가 있다고 가정하겠습니다. 저희가 원하는 것은 구간 $[a, b]$까지의 함수 $f(x)$의 자취인 곡선 $C$의 길이 $L$를 구하는 것입니다. 일단, 길이를 어떻게 구할 수 있는 지부터 생각해보겠습니다. 길이라는 것은 시작점과 끝점이 주어지며 두 점 사이의 거리를 의미합니다. 따라서, 곡선의 길이를 구하기 위해서는 시작점과 끝점을 정해야겠죠. 이를 $P_{0}$와 $P_{n}$이라고 하겠습니다. 만약, $n = 1$이라고 한다면, 구간 $[a, b]$를 그대로 쓰는 것으로 $x_{0}$와 $x_{1}$만 존재하는 것을 의미합니다. 좀 더 정확한 곡선의 길이를 구하기 위해서는 $n$을 늘리면 되겠죠? 따라서, 구간을 등구간 $[x_{i – 1}, x_{i}]$으로 나누면 각 구간의 길이는 $\Delta x$가 됩니다. 그리고 이에 대응되는 곡선위의 점을 편의상 $P_{i}(x_{i}, y_{i}) = P_{i}$이라고 쓰겠습니다.
위 그림을 보시면 곡선 $C$의 길이는 다각형의 길이의 합으로 생각해볼 수 있습니다. 즉, $\sum_{i = 1}^{n} \left|P_{i – 1}P_{i}\right|$이죠. 이때, $\left|P_{i -1}P_{i}\right|$란 두 점 $P_{i – 1}$과 $P_{i}$ 사이의 길이를 의미합니다. 그리고 정확한 곡선의 길이 $L$은 $n$에 극한을 취해서 얻을 수 있습니다.
$$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left|P_{i – 1}P_{i}\right|$$
이제 저희가 할 일은 $\left|P_{i – 1}P_{i}\right|$를 구하는 것입니다. 기본적으로 직교좌표 상에서 두 점 사이의 거리는 아래와 같습니다.
$$\left|P_{i – 1}P_{i}\right| = \sqrt{(x_{i} – x_{i – 1})^{2} + (y_{i} – y_{i – 1})^{2}} = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$$
이때, 중요한 점은 여기서 평균값 정리(Mean Value Theorem, MVT)를 활용해야합니다. 평균값 정리의 자세한 설명은 아래의 링크를 참조해주시길 바랍니다.
$$\begin{align*} \Delta y &= y_{i} – y_{i – 1} \\ &= f(x_{i}) – f(x_{i – 1}) \\ &= f^{*}(x_{i}^{‘})(x_{i} – x_{i – 1}) \\ &= f^{‘}(x_{i}^{*}) \Delta x\end{align*}$$
따라서, 저희는 기존의 식을 아래와 같이 바꿀 수 있습니다.
$$\begin{align*} \left|P_{i – 1}P_{i}\right| &= \sqrt{(x_{i} – x_{i – 1})^{2} + (y_{i} – y_{i – 1})^{2}} \\ &= \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}} \\ &= \sqrt{(\Delta x)^{2} + (f^{‘}(x_{i}^{*}) \Delta x)^{2}} \\ &= \sqrt{1 + \left[f^{‘}(x_{i}^{*})\right]^{2}} \Delta x\end{align*}$$
그러므로 저희가 원하는 곡선의 길이 $L$은 아래와 같습니다.
$$\begin{align*} L &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left|P_{i – 1}P_{i}\right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + \left[f^{‘}(x_{i}^{*})\right]}\Delta x \\ &= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[f^{‘}(x)\right]^{2}} \; dx\end{align*}$$
예제1. 두 점 $(1, 1)$과 $(4, 8)$사이의 포물선 $y^{2} = x^{3}$의 길이를 구하여라.
더보기 $y^{2} = x^{3} \Rightarrow y = x^{\frac{3}{2}}$이기 때문에 미분하면 $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$이다. 이제, 곡선의 길이를 구하기 위해 공식을 적용한다. $$\begin{align*} L &= \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} \; dx \end{align*}$$ 여기서 $1 + \frac{9}{4}x = u$라고 하면 $x = 1 \rightarrow u = \frac{13}{4}, x = 4 \rightarrow u = 10$이고 $\frac{9}{4}dx = du \Rightarrow dx = \frac{4}{9}du$이기 때문에 아래와 같이 치환적분이 가능하다. $$\begin{align*} L &= \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} \; dx \\ &= \int_{\frac{13}{4}}^{10} \sqrt{u} \; \left(\frac{4}{9}du\right) \\ &= \frac{4}{9} \int_{\frac{13}{4}}^{10} \sqrt{u} \; du \\ &= \frac{4}{9} \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{13}{4}}^{10} \\ &= \frac{8}{27} \left[10^{\frac{3}{2}} – \left(\frac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\right] \\ &= 27\left(80\sqrt{10} – 13\sqrt{13}\right)\end{align*}$$
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적분과 통계
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곡선 \(y=\ln x\) 의 \(x=\sqrt{3}\) 에서 \(x=2\sqrt{2}\) 까지의 길이를 구하면?
① \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\) ② \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln {\Large \frac{3}{2}}\) ③ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\)
④ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln 2\) ⑤ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln {\Large \frac{3}{2}}\)
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키워드에 대한 정보 곡선 의 길이
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