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안녕하세요
제어 조교입니다.
오늘은 보드 선도에 대해 알아보고
어떻게 보드 선도가 그려지는지 알아보았습니다.
다음시간에는 보드 선도를 기반으로
간단한 low-pass filter 등의 filter를 그려보고
시뮬링크로 시뮬레이션 해보도록하겠습니다.
감사합니다.
제어 조교 올림
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[제어공학] 10. 보드선도 – 서랍장
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주파수영역 해석 및 성능규격
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주제에 대한 기사 평가 보드 선도 그리기
- Author: 제어조교 〈Ctrl튜브〉
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- Date Published: 2020. 6. 9.
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[BODE PLOT] Frequency response 해석1 – 보드선도1
안녕하세요
오늘은 Frequency response에 대한 해석에 대해 다뤄보겠습니다.
지금까지는 특정 입력 (step input, ramp input… etc)에 대한 시스템의 응답을 소개했습니다.
이번 포스팅은 주파수 입력에 대한 시스템의 응답을 소개하고자 합니다.
우선, 주파수 응답에 대한 해석을 하는 이유가 뭘까요?
바로, 시스템의 응답성 및 안정성을 평가하기에 매우 용이한 방법들이 많기 때문입니다.
그 방법중 하나가 Bode plot 입니다.
보드선도를 그림으로서 시스템의 응답성과 안정성을 판단할 수 있습니다.
그럼 Bode plot (보드선도) 그리는 방법 및 해석, 그리고 MATLAB에서의 사용에 대해 포스팅 하겠습니다.
1차 포스팅과 2차 포스팅으로 나눠서 소개해 드리도록 할텐데요
다음과 같은 내용으로 구성하도록 하겠습니다.
목차
1) Bode plot 그리기
2) 시스템 음미해버리기
3) MATLAB 활용
1) Bode plot 그리기
보드선도를 그리는 방법은 매우 간단합니다.
직접 그려보기 전에 dB(데시벨) 단위에 대해서 소개해드려야 할 것 같네요.
dB이란 보드선도를 그릴때 응답의 크기를 나타내는 단위로 쓰이는데요, 그 단위는 다음과 같습니다.
(A : 입력 , B : 출력)
첫번째 예로
위와 같은 전달함수의 보드선도를 보도록하겠습니다.
우선 복소표현으로 사용된 s를 주파수 영역으로 한정지어서 보기위해 s = jw로 변경하도록 하죠.
ⓐ크기(Magnitude 보드선도)
우선 크기에 대해서 생각을 해볼까요?
G(jw)의 크기를 구하면 다음과 같습니다.
이제 다음과 같이 두가지 경우를 생각해보시면, 그래프가 그려지실겁니다.
i) w = 1
ii) w = inf
ⓑ위상 (Phase 보드선도)
다음으로 위상에 대해 생각해보겠습니다.
G(jw)의 위상을 구해보면 다음과 같습니다.
따라서 G(jw)의 보드선도는 다음과 같습니다.
크기는 계속 감소하고, 위상은 -90으로 일정하죠?
아주 간단하게 크기와 위상에 대해 소개해드리고자 쉬운 예를 들었구요.
이제 좀 제대로된 예시로 가보겠습니다.
다음과 같은 전달함수가 있다고 해보죠.
주파수 영역만을 보기위해 다음과 같이 바꾸겠습니다.
앞으로의 설명을 위해 상수항을 모두 1로 만드는 작업을 먼저 했습니다.
이 행위는 전달함수의 절점주파수를 명확하게 하기 위함인데요,
절점 주파수란, 크기 보드선도의 기울기가 변화되는 주파수를 말합니다.
좀더 자세하게 말씀드리자면, 실수부와 허수부가 같아지는 주파수를 말합니다.
위의 경우 절점 주파수는 1과 10입니다.
이제부터는 저 분수꼴의 전달함수에 대해서 주파수를 키워가며 하나씩 생각해보도록 할 겁니다.
ⓐ크기 보드선도
먼저 주파수가 매우 작을때를 생각해볼게요. 매우 작은 주파수에서는 의 항이 지배적이라고 보시면 됩니다.
따라서 을 먼저 살펴보겠습니다.
이 친구는 위에서 살펴봤던 녀석과 아주 유사합니다. 따라서 w=1/10일때와 w=inf 일때를 따져주면 되는데요
크기는 다음과 같겠네요
항상 감소하면서, w=1/10일 때 dB = 0인 선을 지나치죠
그림에 쓰여있는 -20dB/dec이란 말은 기울기를 말합니다.
한 decade(10rad/s)동안 -20dB이 감소한다는 말이죠.
다음으로 분자에 해당하는 녀석을 추가하여
이 친구를 생각해보도록 하겠습니다.
이 친구를 그리는 일 또한 쉽습니다. 위에서 생각하고 그렸던 그래프에서 w=1인 부분의 변화만 생각해주면 됩니다.
w=1을 고려해주는 이유는, 이 주파수를 기점으로 허수가 실수보다 커지는 지점이기 때문인데요.
그림은 다음과 같이 그려집니다.
초록색으로 그려진 선이 실제 보드 선도이고, 검은색 선은 그 점근선입니다.
주파수가 1일 때를 기점으로 기울기가 20dB/dec 만큼 증가하며 수평선을 그리게 되는 것을 확인할 수 있습니다.
이와같이 분자항은 그 해당 주파수에서 기울기를 증가시키는 역할을 합니다.
다음으로 완성형인
이 친구를 보도록하겠습니다.
이 녀석도 마찬가지로 위의 그림에 이어서 w=10인 부분을 고려해주면 됩니다.
대신 분자항이 아니라 분모항이므로 기울기가 20dB/dec만큼 감소하죠.
참 쉽죠?
ⓑ 위상 보드선도
위상도 마찬가지로 크기 그래프와 같이
w=1, 10일때를 기점으로 바뀌는데요
주파수 w가 매우 작을때, 즉 이 지배적일 때는 위상이 -90이었다가 1과 10을 기점으로 +90, -90 위상이 변화하게 됩니다.
그 점근선과 위상 보드선도는 다음과 같이 그려집니다.
이상으로 크기 및 위상에 대한 그래프를 모두 그려봤는데요.
이번 포스팅에서는 분자와 분모 모두 1차항으로 인수분해가 되는 경우에만 한해서 보았습니다.
아마도.. 위의 설명으론 보드플롯을 제대로 그리기 어려울텐데요…?
다음 포스팅에서는 좀더 복잡한 전달함수의 보드선도를 예제로 그려보고 보드선도 그리기 요령을 정리한 후
그 결과를 통한 시스템 파악, MATLAB을 이용하여 보드선도를 그리는 것에 대해 소개하도록 하겠습니다.
P.S. – 보드선도 그리기 포스팅은 한 포스팅에 다 할 수 있을거라고 예상했는데
생각보다 설명해야하는 것들이 많네요
항상 더 자세하고 이해하기 쉽게 쓰려고 노력하고 있답니다… 많은 응원 부탁드려요
Bode 선도 그리는 법 (1차수정)
헷갈릴 수 있는 경우를 위해 쉽게 구분하는 방법은 k x s + 1로써 항상 1을 더한 일차식으로
정리해야 s가 언제일 때 변화되는지를 알 수 있다는 것이다
<크기선도의 경우>
즉 s는 only 허수라고 했을 때 실수 1과 크기비율 1로써 같은 지점에서 0dB로 증가/감소 시작한다
허수가 실수의 10배가 되는 지점에서 -20dB이 된다고 보면 되고
제곱식의 경우 그것의 두배인 -40dB을 찍는 기울기로 그리면 된다.
<위상선도의 경우>
허수/실수 = 0.1로 허수가 실수보다 10배 작을 때 0도에서 시작하여
허수 : 실수 = 1:1 비율일 때 45도인 점을 지나 허수 : 실수 = 10 : 1일 때 90도가 되는 지점에서 상수가 된다.
위 문제의 보데선도를 일일이 그린 후 종합하는 과정은 아래와 같음
14강. 전달함수와 보드선도(Bode Plot)
[ 전달함수 (Transfer Function) ]전달함수란? 회로의 주파수응답을 분석하기위해 유용한 개념입니다. 실제로 각주파수 ω의 크기에 따라 회로의 응답을 분석하기위해 입력과 출력을 주파수영역에서 분석하여 전달특성을 쉽게 알 수 있습니다.
전달함수는 입력과 출력 종류에따라 4가지로 분류합니다.
바로 예시를 통해서 설명 이어나가도록 하겠습니다.
위 회로의 전달함수는 위와같이 표현되고, 그 전달함수는 다시 크기와 위상으로 나누어 특성을 분석할 수 있습니다.
여기에서 ω0의 값이 1/RC일때, H(ω)의 값이 0.707이라는 값에 주목해야합니다. 왜 하필 0.707일까요? 그 이유는 전압이득이 2분의 1의 제곱근이기 때문입니다. 그말은 전류의 이득역시 같은값을 가진다는 의미입니다. 두 값을 곱하면 전력이되죠? 따라서 전력이 2분의1 즉, 에너지가 50%전달되는 지점입니다. 실제로 전달함수를 분석할 때, 이 지점보다 값이 낮아지면 효율이 떨어지기때문에 대역폭을 정의할때 포함하지 않습니다. 따라서 이득이 0.707인 지점까지 고려하여 회로의 대역폭을 설정합니다. 이를 log로 표현하면 -3이라고도하는데요. 바로 아래에서 설명드릴 데시벨이라는 단위를 이용하여 이 0.707인 지점을 -3dB인 지점이라고도 부릅니다 .
[ 데시벨 (Decibel) ]보드선도에 대해 설명하기전에 데시벨의 개념에대해 정의하겠습니다. 보드선도에 전달함수를 크기와 위상으로 표현하는데는 생각보다 쉽지가 않습니다. 이러한 보드선도를 그리기 위해서는 log의사용과 이득을 표현할때 데시벨이라는 개념이 필요합니다.
전력이득 G는 위와같이 정의하고, 단위는 데시벨(dB)입니다.
[ 보드선도 (Bode Plot) ]보드선도를 그릴때는 다음과 같은 원칙으로 그립니다.
1. 보드선도의 x축은 log 스케일입니다.
2. 상수는 모두 log스케일로 변환하여 보드선도에 표현합니다.
3. 영점(분자를 0이되게 하는 값)을 그릴 때, 영점에서부터 증가합니다.
4. 극점(분모를 0이되게 하는 값)을 그릴 때, 극점에서부터 감소합니다.
요소 크기 위상
전달함수의 예시를 보고, 위 표를 응용하여 보드선도를 직접 그려보겠습니다.
전달함수 H(ω)을 크기와 위상으로 나누어 보겠습니다.
위 전달함수에서 분모의값 jω에 의해 값이 증가합니다. 그 후 극점 2와 10에서 전압이득이 감소하면서 2~10구간에서는 전압이득이 일정하게 얻어집니다. 그 이후부터는 전압이득이 지속적으로 감소합니다.
위상의 경우도 동일합니다. 극점 2와 10에서 기준을 잡고, ω=0.2에서 감소하기 시작하여 ω=1에서도 감소합니다. 그리고 위상은 -90도까지 떨어지고 점근선을따라 가게됩니다.
[ 공진회로 ]공진이란 RLC회로에서 리액턴스성분이 0이될때의 값을 말합니다. 즉, 커패시터와 인덕터의 크기가 같기때문에, 회로에는 순수한 저항성분만이 남아있게 됩니다. 그렇다면 직렬 공진회로에서는 최대 전류 가 흐를 수 있고, 병렬 공진회로에서는 최대 전압이 전달 될 수 있습니다. 저희는 직렬 공진회로를 통해서 알아보겠습니다.
$$ \omega = \ 2\pi f 를 대입하여 식을 바꾸면 $$
이때 f 0 를 공진주파수 라고 합니다.
[ 패시브 필터 (Passive Filter) ]① 저역 통과 필터 ( Low Pass Filter )
저역통과필터는 이름 그대로 각주파수 ω의 값이 ω 0 보다 낮을때 전달함수의 크기가 0.707보다 크기때문에 신호가 효과적으로 전달됩니다. 하지만 그 이후에는 신호가 효율적으로 전달되지 못하기때문에, 저주파대역에서만 신호를 전달할 수 있습니다.
② 고역 통과 필터 (High Pass Filter)
rh역통과필터는 각주파수 ω의 값이 ω 0 보다 높을때 전달함수의 크기가 0.707보다 크기때문에 신호가 효과적으로 전달됩니다. 전달함수 식에서도 볼 수 있듯 ω가 무한대로 가면 극한값이 1로 수렴합니다. 하지만 그 이전에는 신호가 효율적으로 전달되지 못하기때문에, 고주파대역에서만 신호를 전달할 수 있습니다.
③ Bandpass Filter
Bandpass Filter의 경우 특정 대역에서만 입력신호를 출력에 전달하는 회로입니다. 즉, 활용하고자하는 회로가 어느 주파수대역에서 효과적으로 동작하는지 파악하여 설계할 수 있습니다.
④ Bandstop Filter
Bandstop Filter는 앞서 설명드린 Bandpass Filter와 다르게 특정대역에서 출력을 제한하는 회로입니다.
보드선도(bode plot)
1. 이득
로그의 크기는 위의 식과 같이 변하므로, K값이 변하면 보드선도는 위아래로 움직인다. 로그 선도이기 때문에, K > 1이면 20log(K) > 0 이고, K < 1이면 20log(k) < 0 이다. 그리고 각도 기여는 없고 오로지 크기에만 영향을 주며, 주파수에 상관없이 크기와 위상 모두 일정하다. 2. 적분인자와 미분인자 2.1 적분인자 크기는 w가 1, 10, 100, 1000,...으로 증가할 때마다 -20dB만큼 감소한다. 그래서 단위는 dB/decade이다. 그리고 위상은 -90도이고 변하지 않는다. 2.2 미분인자 크기는 w가 1, 10, 100, 1000,...으로 증가할 때마다 20dB만큼 증가한다. 위상은 90도이고 변하지 않는다. 3. 1차 인자 (원래 위상곡선은 더 완만한데 파워포인트 실력의 한계로...ㅠㅠ 교재를 참고하시면 더 좋을것 같습니다.) 1차 인자의 크기선도는 실제로 곡선의 형태로 나타나지만, 절점주파수를 중심으로 2개의 직선의 점근선 형태로 근사화 하여 표현한다. 이렇게 점근선으로 보드선도를 나타내면 그리기 쉽고 수정이 용이하다. 두 점근선이 만나는 주파수를 '절점주파수'라고 한다. 절점 주파수에서 두 점근선은 같은 값을 가진다. 그리고 절점 주파수를 중심으로 왼편은 저주파 영역, 오른쪽은 고주파 영역으로 나뉘게 된다. 1차 인자의 보드선도는 일종의 Low pass filter의 형태를 가진다. 절점 주파수를 중심으로 왼편의 저주파 영역의 크기는 1이므로(log(1)=0이기 때문에) 저주파 영역의 크기는 변하지 않은채로 그대로 통과하고, 절점주파수의 오른편의 고주파 영역은 고주파로 갈수록 크기가 점점 감소하므로 영향이 작아져 결국 저주파 영역만 남게 된다. 즉, 다음과 같다는 것이다. 입력의 크기가 M 일때, 저주파 영역에서의 크기 고주파 영역에서의 크기 저주파 영역의 크기는 그대로인데, 고주파 영역의 크기는 줄어들었다. 즉, 고주파 영역은 통과하지 못하고(크기가 작아지고) 저주파 영역은 통과한다 (크기가 변하지 않는다). 절점주파수에서의 크기는 -3dB이다. 이는 절점주파수에서의 로그크기를 계산해 보면 알 수 있다. 그림을 살펴보면 절점 주파수에서 실제 보드선도와 점근선과의 차이가 가장 큰 것을 알 수 있다. 따라서 점근선만으로도 어느정도 정확한 보드 선도를 그릴 수 있다. 역인자에 대해서, 3. 2차 인자 고주파 영역에서 로크그기는 다음과 같다. 즉, -40dB의 기울기를 갖는 직선이다. 고주파 영역에서 위상은 다음과 같다. 저주파의 경우 크기가 damping ratio(감쇠비) 에 상관없이, 0에서 시작해서 고주파로 갈수록 -40dB/dec의 기울기를 갖는다는 것을 알 수 있다. 그리고 절점주파수 부근에서는 에 따라 응답이 달라지는 것을 볼 수 있다. 즉, 감쇠비가 크면 언더슈트, 감쇠비가 작으면 오버슈트가 발생한다. 위의 식에서 g(w)의 최소값은 에서 발생한다. g(w)는 크기의 분모값이므로, 크기가 가장 큰 공진피크값은 다음과 같은 공진주파수에서 발생한다. 범위가 다음과 같을 경우 공진주파수: 공진피크값: 범위가 다음과 같을 경우 위의 공진피크값 식에서 감쇠비가 0으로 접근할수록, 공진피크값은 무한대로 접근한다. 이는 비감쇠시스템이 고유진동수로 가진되면(입력주파수가 시스템의 고유주파수와 일치하면: 공진주파수 식을 보면 감쇠비가 0이 되었을 때 입력주파수와 고유진동수가 일치함) 출력의 크기는 무한대가 되어 발산해 버린다는 것을 의미한다.
[제어공학] 10. 보드선도
– 보드선도(Bode Plot)
보드선도는 주파수 응답을 나타내는 그래프입니다. 입력 주파수에 따른 크기 응답과 위상 응답 두 개의 그래프로 구성되어 있습니다. 가로축은 모두 로그스케일로 나타나는 입력주파수이고, 크기 응답은 다음과 같습니다.
<크기 응답>
주파수 전달함수의 크기에 밑이 10인 로그를 취한 형태이며 단위는 데시벨을 사용하고 있습니다. 위상 응답은 다음과 같습니다.
<위상 응답>
지난번 포스팅에서 주파수 전달함수의 크기와 위상을 구하는 방법을 살펴보았으니 보드선도를 그리기 위한 위의 크기 응답과 위상 응답을 구하는 것은 크게 어려움은 없을 것입니다. 그럼 기본요소들의 크기 응답과 위상 응답을 살펴보겠습니다.
1) 비례요소
<비례 요소>
주파수 응답을 구하기 위해 s에 jw를 대입하면, 크기 및 위상 응답은 간단하게 구할 수 있습니다.
이므로,
따라서 주파수 변화에 관계없이 크기 및 위상 응답은 일정한 값을 가진다는 것을 알 수 있습니다.
2) 미분요소
<미분 요소>
s에 jw를 대입하면,
이로부터 크기 및 위상 응답을 구하면,
여기서 보드선도는 가로축을 로그스케일을 사용하고 있으므로 크기 응답의 계수인 20n이 바로 보드선도의 기울기가 됩니다.
3) 적분요소
<적분 요소>
s에 jw를 대입하면,
따라서 크기 및 위상 응답은,
4) 1차 지연 요소
<1차 지연 요소>
s에 jw를 대입하면,
따라서 크기 응답과 위상 응답은,
가 됩니다. 가로축이 로그스케일이고, 밑이 10인 상용로그를 사용하고 있으므로 이 그래프를 직접 그려보기 위해 wT에 0.1, 1, 10, 100으로 10의 거듭제곱 꼴의 값을 대입하며 크기와 위상 응답을 구해보겠습니다.
이로부터 보드선도를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
<보드 선도>
위와 같이 그리고, 위의 크기 응답을 그린 곡선을 이득 곡선, 위상 응답을 그린 곡선은 위상 곡선이라고 말합니다. 그래프를 보면, wT가 1인 지점에서 크기 응답의 값이 급격하게 변화하고 있습니다. 이렇게 급격한 변화가 생기는 주파수를 절점주파수라고 합니다.
* 절점주파수 : 크기 응답이 급격하게 변화가 생기는 지점을 말하며 실수부와 허수부가 같아지는 지점에서 발생합니다.
에서, 실수부와 허수부가 같아지는 지점은
<절점주파수>
가 됩니다. 이때의 크기를 보면,
가 되는 지점입니다.
이 보드선도를 이용해서 제어계의 안정도를 판별할 수 있습니다. 따라서 보드선도를 그리는 방법과 의미를 잘 숙지하시기 바랍니다.
Bode Plot 이란? 사용 방법과 그리는 방법, 파이썬을 사용하여 그래프 검증
반응형
Bode Plot (보드선도) 란?
회로나 기계장치 등 선형적인 성질을 가진 제품에 대해 입력을 넣으면 그에 따른 응답이 나온다.
그림1
그림1은 어떤 시스템에 입력 X 를 넣고 Y라는 응답을 얻어서 H라는 전달 함수를 가져왔다. 여기서 전달함수 H 를 계산할 수 있다. 그리고 위 그림1에서 알 수 있는 점은 X, Y 입력 값을 s를 사용하였는데 이는 시간 함수를 라플라스 변환하여 주파수 성분 변경한 것이다. 주파수 변경을 위해서 전제되어야 하는 점은 시스템이 LTI (Linear Time Invariant) 라는 것이다. 즉, 시간에 관계없이 동일한 주파수 특성을 가지는 것이다.
보드선도는 x축을 주파수 축으로 y축은 전달함수의 크기(amplitude) 가 된다. 크기는 일반적으로 dB로 표기한다. 전달함수는 보고자하는 응답에 따라 전류, 전압, 전력, 가속도 등 다양한 형태가 될 수 있다. Bode Plot 은 주파수에 따른 진폭과 위상(Phase) 두개의 그래프로 표현 한다.
dB에 관한 간략한 정의
dB는 decibel 의 약자로 10배를 의미한다. dB가 나온 배경은 사람이 감지하는 소리의 비율이 10배로 인지해서 이러한 단위가 나온게 된 것이다. 예를 들어 사람이 인식할 때 10이라는 소리와 100이라는 소리 크기 차이는 1000이라는 소리에서 1090의 소리의 차이가 아닌 2000의 차이와 비슷하게 느끼는 것이다.
그림2
그림2는 소리의 dB 값 계산 법이다. I는 Intensity의 약자로 소리세기를 파워로 표현한 것이다. 기준점 대비 몇 dB인지 알려준다.
주의해야할 점은 전압, 전류, 가속도와 같은 값들은 파워가 아니다. 해당 값을 제곱으로 계산해야 파워값이 나오기 때문에 log 에서 제곱 성분은 log 밖으로 가가서 곱하기로 변경 된다.
그림3
그림3과 같이 20을 곱해준다. 그러므로 응답의 형태가 Power 값인지 아닌지가 중요하다.
그림4
그림4의 첫번째는 일반 전류, 전압, 가속도의 응답에 대한 -3dB 값이다. 그리고 두번째 줄은 power 값에 대한 dB이다. -3dB 만큼 떨어졌다는 의미는 기준값에서 반정도(50%) 빠졌다는 의미로 신호로서 경계를 의미하기 때문에 -3dB를 중요하게 본다. 일반 측정 값은 약 70% 정도 빠진 값을 의미하는 것이 -3dB 이다.
예제 전달함수(Transfer function) 으로 Bode Plot (보드선도) 상상해 보기
그림5
그림5와 같은 전달 함수가 있다고 생각하자.
이를 통해 Bode Plot 을 그리기 위해 진폭과 위상값을 구해야 한다.
그림6
그림6처럼 진폭 위상이 나왔다. 진폭은 dB로 변환하므로 log를 씌울 것이다. 그래서 나누기 부분은 log 빼기로 변환하고 곱하기는 log 더하기로 바꾸면 된다. 분모근에 해당하는 부분에서 -3dB가 발생하고 20dB 기울기로 줄어들것이다. 여기서는 동일 근이 두개 있으므로 주파수 10에서 40dB 기울기로 줄어 들 것이다.
위상은 그림6처로 분자는 정수 부분만 있으므로 0도이다. 만일 j 성분만있으면 90도이다. 아무튼 분모는 위상에서 빼주면 된다.
그림7
그림7과 같이 arctan 는 양의 무한대에서는 90도이고 음의 무한대에서는 -90도로 수렴한다.
앞의 예제 파이썬(Python)을 이용해서 구현하기
앞선 예제를 통해 전달함수의 Bode plot의 대략적인 모습은 알 수 있으나 검증이 필요하다.
다행히 Python에서 Bode plot을 간단하게 구현할 수 있는 scipy 라이브러리를 제공한다.
from scipy import signal import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # sys = signal.TransferFunction([10,0], [1, 0, -100]) sys = signal.TransferFunction([1], [1, 20, 100]) w, mag, phase = signal.bode(sys, np.arange(1, 100000.0, 1).tolist()) plt.figure() plt.semilogx(w, mag) # Bode magnitude plot plt.figure() plt.semilogx(w, phase) # Bode phase plot plt.show()
주석>>
간단히 설명하면 TransferFunction 함수의 인자에서 첫번째는 분자 부분이고 두번째 리스트는 분모 부분이다. 즉, 1 / (s^2 + 20s + 100) 이다.
그리고 signal.bode에서 x축의 범위와 간격을 정하였다.
그리고 그래프를 그려주는 pyplot을 이용해서 진폭과 위상을 각 각 show를 사용해서 그려 주었다.
결과>>
진폭 위상
해석>>
앞서 그림6에서 풀어낸 식과 같이 주파수가 커지면서 위상은 -180도에 수렴하고 진폭은 주파수 10을 기점으로 40dB 기울기로 줄어든다.
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Bode Plot의 기초 중에서도 기초이야기
시스템의 주파수 영역을 해석하고자 할 때 아마 가장 많이 보는 것 중 하나가 보드(Bode) 선도일 겁니다. 제어관련 학과에서 2학년쯤에 거의 초중반에 학습하는 개념이기도 하구요. 저역시 그랬죠^^. 그러나 저는 어쩌다가 실무과정에서느 이 보드선도를 볼 일이 별로 없었습니다. 학부로부터 몇 십년(^^)이 지난 지금 다시 보드 선도를 볼 필요를 느끼게 되어 기초를 정리할 필요가 생겼더라구요. 학부때 배우던 Dorf의 Modern Control이라는 책도 오랜만에 펼쳤답니다. 이 중 특정 인쇄판(edition)은 저의 지도교수님께서 번역하시기도 했답니다.^^ 아무튼 그래서 이리저리 자료를 찾고 공부하던중 언제나 그렇지만 정말 잘 정리되고 간결한 자료를 또 만났습니다. 아이비리그에 속해 있는 명문 대학인 다트머스(Dartmouth)의 summer school 강의 자료인데요.. 그걸 보고 이렇게 또 따라해봅니다.^^
보드 선도의 정의와 dB의 정의
보드선도는 LTI(Linear Time Invariance) 시스템의 주파수 응답 특성을 그리는 표준 형식 중 하나입니다. 특히 다른 방법에 비해 그리고 판독하는 것이 간편한 편입니다. 그래서 이 방법을 사용하는 것은 많은 엔지니어들과 시스템의 특성에 대해 쉽게 소통할 수 있다는 장점을 가지고 있습니다. 보드(Bode) 선도의 흔히 x 축이라고 하는 horizontal axis는 log(로그) frequency scale로 그립니다. 그리고 흔히 y 축이라고 하는 vertical axis는 두 개인데, 크기(magnitude)는 dB로 표혀하고, 위상(phase)은 degree로 표현합니다.
아~~ 여기서 dB의 정의도 알고 가야지요^^
위 수식처럼, 입력대 출력의 비에 20log를 취한 것이 dB, 데시벨(decibel)의 정의입니다. 전력처럼 제곱으로 표현되는 경우는 20log가 아니라 10log를 취하기도 합니다. 아무튼 그래서
위와 같이 3dB, -3dB같은 말이나, 10dB, 20dB라는 말을 자주 듣게 됩니다. -3dB라는 말은 크기가 0.7배 정도로 줄었다는 의미를 가진다는 것을 알 수 있습니다.
1차의 단순한 극점(pole)
먼저 시스템의 특방으로 표현된 상태의 분모에 근을 하나 가지는 경우 극점(pole)이 하나 있다고 하는데요. 이 극점이 하나 있는 경우를 보도록 하겠습니다. 단순한 극점은
이렇게 표현되구요.
보드 선도 중 크기(magnitude)를 그리면 위아 같은 특성을 가집니다. 위 빨간 점선은 근사적으로 그려진거구요. 파란선이 실제 곡선입니다. 위 그림에도 있지만, 다시 정리하면,
위의 항목이 주요한 점인데요. 먼저 1차의 간단한 극점을 가지는 시스템의 break point는 omega = a일때 잡힙니다. 그 점에서 시스템은 3dB가 실제로 떨어지게 되구요. 그 후는 (기울기라고 할 수 있는) -20dB/decade씩 쩔어지게 됩니다. 그리고 시스템의 위상(phase)은
위 그림과 같은 특성을 가집니다.
break point에서 -45도 지점을 지나가고, 전체적으로는 0에서 시작하세 -90도에서 마무리가 됩니다. 특히 근사적 표현으로 그릴 때 꺽이는 점은 각 각 omega가 break point의 1/5과 5배일 때입니다.
1차의 단순한 영점(zero)
분자에 있는 경우 이를 영점(zero)이라고 하는데요. 당연히 대표적인 형태는
입니다. 여기서의 magnitude는
와 같은 형태를 가집니다. 뭐 아까 극점의 경우와 같이 보면 재미있습니다.^^
역시 break point는 omega = b일 때이며 이 때, 극점과 달리 영점을 만나면 3dB 올라가게 됩니다. 그리고 영점의 영향은 3dB 올라간 후, 20dB/decade 씩 상승하게 됩니다.
위상도 0에서 시작해서 90도로 가게 되구요. 45도를 지날 때가 break point입니다.
중근(double)의 극점(pole)을 가질 때
제일 먼저 본 극점을 하나 가질 때에서 살짝 더 나가서 같은 극점을 가지는 중근의 형태는
일 겁니다.
이 경우 magnitude는 그냥 극점일 때와 비슷하지만,
break point에서 -6dB 떨어지고, 그 이후 고주파로 갈 수록 -40dB/decade로 감소합니다.
위상도 0에서 -180으로 가며,
break point는 -90입니다. 아. 위 그림에서 마지막 -90 at omega~~하는 부분은 -180이어야 하네요^^
2차계 시스템 – 두 개의 극점
2차계 시스템은
위 수식처럼 표현됩니다. 이런 표준적인 표현은 머리에 잘 각인되어야 합니다. 얼핏 분자를 잘못 보고 omega_n 등을 판단하면 안되구요^^
omega의 각 상황별로 magnitue와 phase를 먼저 정리해 보면 위 그림과 같습니다.
2차 시스템은 근사적(asymptote)으로 구한 것에서 공진(resonance)점의 변화가 zeta에 의해 다르게 나타나므로, zeta를 다양하게 두고 보아야 합니다. 아무튼 위 그림에서는
일단 고주파로 흘러가면, -40db/decade씩 떨어집니다. break point는 omega = omega_n일때이며, 공진점의 피크를 단순히 계산할 때는 위 그림의 resonant peak를 사용하면 됩니다. 실제 값은 그 밑에 있구요^^ 그래서 zeta가 작을 수록 resonant peak가 올라갑니다.
위 상의 경우는
0에서 -180으로 가는 그래프이며, zeta가 작을 수록 가파른 모양을 가지게 됩니다.
이렇게 오늘은 원래 20대 초반에 알았던 내용이지만, 15년 이상을 까먹고 지내다가 최근 다시 발굴한 지식을 살짝 정리하는 시간을 가졌습니다. 요렇게 정리하다 보니.. 살짝 위 그래프 그리는 것도 따로 다루고 싶네요. ㅎㅎ. 저 그래프.. Python으로 그렸거든요 ^^
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