가우스 조르단 소거법 | 가우스-조던 소거법과 연립일차방정식(Gauss-Jordan Elimination) 인기 답변 업데이트

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가우스-조던 소거법에 대해 알아봅시다.
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[행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

Review 참고 포스팅 : 2020/06/28 – [Statistics/Matrix Algebra] – [행렬대수학] 가우스 소거법(Gaussian Elimination) [행렬대수학] 가우스 …

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Source: datalabbit.tistory.com

Date Published: 7/5/2022

View: 2817

선형대수학 – 가우스-조단(Gauss-Jordan) 소거법

즉 가우스 조던 소거법은 기약행 사다리꼴을 만드는 체계화된 절차이다. (*기약행 사다리콜 행렬 : 모든 추축성분이 해당 열에서 0이 아닌 유일한 …

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Source: dinonotes.com

Date Published: 11/17/2022

View: 1306

가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)의 이해

들어가며 지난 블로깅에는 가우스 소거법에 대해 배웠다. 지난 블로깅의 링크는 아래를 참고한다. ▷ 가우스 소거법(Gaussian elimination)의 이해 …

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Source: datacookbook.kr

Date Published: 5/8/2021

View: 7827

[선형대수학] 6. 가우스 소거(Gauss elimination), 가우스-조르단 …

이번시간에는 가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법에 대해서 설명 해보려고한다. 이전 크래머 공식에 대해서 읽어 보지 않았다면 먼저 읽어보기를 권장 …

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Source: carstart.tistory.com

Date Published: 10/23/2022

View: 8890

가우스 소거법 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

선형대수학에서 가우스 소거법(Gauß消去法, 영어: Gaussian elimination)이란, 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 …

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Source: ko.wikipedia.org

Date Published: 11/8/2021

View: 1884

제 1 장 연립일차방정식과 행렬

오늘은 1장 4절 Gauss소거법과 Gauss-Jordan 소거법 행렬연산의 성질을 학습합시다. 1.4 절에서는 연립일차방정식을 푸는 익숙한 소거법을 체계화하여 유용한 해법을 …

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Source: matrix.skku.ac.kr

Date Published: 3/28/2022

View: 7228

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주제에 대한 기사 평가 가우스 조르단 소거법

• Author: 프린키피아
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• Date Published: 2020. 5. 11.
• Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=N4J2M6oHzos

[행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

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Review

참고 포스팅 :

2020/06/28 – [Statistics/Matrix Algebra] – [행렬대수학] 가우스 소거법(Gaussian Elimination)

안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서는 linear system에서 방정식의 해를 구하는 방법인 가우스 소거법(Gaussian Elimination)에 대해서 다뤄봤습니다.

이번에는 보다 직관적으로(?) 해를 구할 수 있는 방법인 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)에 대해 다뤄보겠습니다.

가우스 조던 소거법, 다른 말로는 조르단, 요르단 등 책의 표기법에 따라 약간씩은 다른데요.

저는 대충 표준적으로 부르는 방식인 가우스 조던 소거법이라고 하겠습니다.

우리가 가우스 소거법을 통해 얻어낸 모양은 행 사다리꼴 행렬(Row Echelon Form of Matrix)이었는데요.

가우스 조던 소거법은 행 사다리꼴 행렬을 기약 행 사다리꼴 행렬(Reduced Row Echelon Form of Matrix)로 바꿔주는 방법론이라고 이해하시면 됩니다.

그나저나 기약 행 사다리꼴이라고 하니 좀 직관적이지가 않습니다. 특히 선형대수를 공부하다보면 영어 표현이 더욱 편할 때가 있습니다.

(추후 다룰 nonsingular -> 정칙행렬 등)과 같이 생전 들어본 적도 없는 한국어 표현으로 번역한 게 많아서… 그냥 영어 표현을 섞어 쓰겠습니다.

각설하고 기약 행 사다리꼴은 행렬의 대각성분을 1로 만들어주고, 대각성분을 제외한 나머지 성분은 0으로 이루어진 행렬을 의미합니다.

구하는 과정은 가우스 소거법과 마찬가지로 기본 행 연산을 이용하면 됩니다.

같이 보시죠.

먼저 3행의 대각성분이 -1인 게 마음에 안 들어서 3행에 -1을 곱해주었습니다.

이후 기약 행 사다리꼴의 정의(이하 ‘RREF’)에 따라 대각성분(3행, 3열)을 제외한 3열의 나머지 성분을 0으로 만들어주기 위해 기본 행 연산을 이용하여 각각 빼주고 더해줍니다.

대각성분을 제외한 3열의 나머지 부분이 모두 0이 된 것을 알 수 있죠.

마찬가지로 2열의 대각성분을 제외한 나머지 부분도 0으로 만들어주기 위해 1행에 2행을 빼줍니다.

그러면 1행은 [2 0 0 | 4] 가 됩니다.

마지막으로 RREF의 정의에 따라 대각성분을 1로 만들어주기 위해 2로 나눠줍니다.

짜잔 깔끔한 형태가 되었네요!

이러한 형태의 좋은 점은 linear system의 해를 단숨에 구할 수 있다는 것입니다.

기존 가우스 소거법에서 도출한 행 사다리꼴 행렬(이하 ‘REF’)에서는 후진대입법을 이용하여 일일이 대입한 후, 방정식을 풀어야했지만, RREF는 깔끔하게 각 해에 대한 성분만 상수항에 대응되므로, 바로 해를 구할 수 있습니다.

물론 예시로 든 문제는 굉장히 풀기 편한 문제입니다. 실제로는 복잡하고 더러운 문제도 많겠죠?

다시 한번 RREF를 살펴보면, 대각성분을 1로 만들어주고, 대각성분을 제외한 나머지 성분은 0이 됨을 알 수 있습니다.

그래서 기약(Reduced)라는 수식어가 붙은 것임을 이해하시면 좋을 것 같습니다.

우리는 행렬의 행의 개수(n)와 열의 개수(m)이 같은 행렬을 정방행렬(Square Matrix)라고 합니다.만약 정방행렬의 RREF가 다음과 같다면, 이를 단위행렬(Identity Matrix)라고 부릅니다.

이때 위 행렬에서 pivot(각 행에서 처음으로 0이 아닌 상수가 나오는 성분)의 개수는 3개인데요.행렬에서 이 pivot의 개수를 우리는 rank라고 부릅니다.

즉, 위 행렬을 A라고 한다면, rank(A) = 3이라고 할 수 있죠.

지금은 가볍게 랭크가 무엇인지 살짝만 짚고 넘어갔는데, 나중에 선형공간을 다룰 때 rank는 큰 의미를 지닙니다. 추후 다뤄보도록 하죠.

다음 포스팅에서는 행렬의 몇 가지 형태와, 기본 용어에 대해서 좀 더 다뤄보도록 하겠습니다.

감사합니다.

잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 🙂

(구독이면 더욱 좋습니다 ^_^)

– 간토끼(DataLabbit)

– University of Seoul

– Economics, Big Data Analytics

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가우스-조단(Gauss-Jordan) 소거법

가우스-조던 소거법

행령에서 x의 해를 구하는 데 Ax = b에 대한 행 연산을 통해 해 x를 구하는 방법을 보면.

Ax = b 에서 행렬 A가 단위 행렬 I라면 해는 x = b임을 알 수 있다.

이러한 행렬을 다음과 같은 절차로 기약행 사다리꼴 형태로 변환을 하기 위해서 가우스-조던 소거법을 사용할 수 있다.

즉 가우스 조던 소거법은 기약행 사다리꼴을 만드는 체계화된 절차이다. (*기약행 사다리콜 행렬 : 모든 추축성분이 해당 열에서 0이 아닌 유일한 성분인 행 사다릴꼴 행렬을 기약행 사다리꼴 행렬 또는 축약행 사다리꼴 행렬이라 한다.)

$\begin{bmatrix}

1 \ 0 \ 0 \\

0 \ 1 \ 0 \\

0 \ 0 \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

-2 \\

4

\end{bmatrix}$

이 행렬방정식을 연립선형방정식 형태로 전개하면, $x_{1} = 3, x_{2} = -2, x_{3} = 4$와 같이 각 미지수 값이 결정된다.

좌변의 행렬 A를 단위행렬 I로 만들 수 있다면, 이 행렬방정식의 해를 바로 구할 수 있다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

2 \quad \ \ 3 \quad \ \ 1 \\

3 \ -2 \ -3

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

4 \\

-1

\end{bmatrix}$

1행에 -2를 곱하여 2행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

0 \ -1 \ -1 \\

3 \ -2 \ -3

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

-2 \\

-1

\end{bmatrix}$

1행에 -3을 곱하여 3행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

0 \ -1 \ -1 \\

0 \ -8 \ -6

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

-2 \\

-10

\end{bmatrix}$

2행에 -1을 곱한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2\quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \ -8 \ -6

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

2 \\

-10

\end{bmatrix}$

2향애 8을 곱하여 3행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 2

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

2 \\

6

\end{bmatrix}$

2행에 -2를 곱하여 1행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \ \ -1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 2

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

-1 \\

2 \\

6

\end{bmatrix}$

3행에 $\dfrac{1}{2}$를 곱한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \ \ -1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

-1 \\

2 \\

3

\end{bmatrix}$

3행을 1행에 더한다

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \quad \ \ 0 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

2 \\

2 \\

3

\end{bmatrix}$

3행에 -1을 곱하여 2행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \quad \ \ 0 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 0 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

2 \\

-1 \\

3

\end{bmatrix}$

따라서 해는 $x_{1} = 2, x_{2} = -1, x_{3} = 3$

가우스 – 조단 소거법으로 해를 구하는 과정

불능인 연립선형방정식에 대한 가우스-조던 소거법

[1단계] 연립선형방정식을 첨가행렬로 변환한다. [2단계] 첫 번째 행부터 마지막 행까지 [3단계] 부터 [5단계]의 과정을 반복해서 수행한다. 이때 현재 고려하는 행 번호를 i라고 하자 [3단계] i열부터 마지막 열까지, 위쪽 행의 추축성분이 아래쪽 행의 추축성분과 같은 위치에 있거나 왼쪽에 있도록 행을 교환한다. [4단계] i행을 추축성분이 j열에 있다면, i행을 (i,j) 성분의 값으로 나누어 추축성분의 값이 1이 되도록 만든다. [5 단계] 이 추축성분을 제외한 j열의 모든 성분이 0이 되도록 i행을 상수배를 다른 행들에 더한다.[6단계] 계수행렬 부분에 모든 성분이 0인 행이 있고, 이행에 대응하는 ‘|’ 이후의 값이 0 이 아니면, ‘해가 없다(불능이다)’ 라고 판정한다. [7단계] 0이 아닌 성분이 포함된 행의 개수가 미지수의 개수보다 적다면, ‘무수히 많은 해가 존재한다(부정이다)’라고 판정한다. [8단계] [6단계] 와 [7단계]에 해당하지 않는 경우라면, 기약행 사다리꼴 행렬에서 해를 읽는다.

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

3 & -8 & -17 & | & -1 \\

1 & -4 & -7 & | & 10

\end{bmatrix}$

($R_{2} \leftarrow -3R_{1} + R_{2}$)

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & -7 \\

1 & -4 & -7 & | & 10

\end{bmatrix}$

($R_{3} \leftarrow -R_{1} + R_{3}$)

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & -7 \\

1 & -1 & -1 & | & 8

\end{bmatrix}$

($R_{3} \leftarrow R_{2} + R_{3}$)

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & -7 \\

0 & 0 & 0 & | & 1

\end{bmatrix}$

마지막 행렬의 3행은 $0x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} = 1$ 로 해는 존재하지 않는다. 즉 이 연립 방정식은 불능이다.

부정인 연립선형방정식의 풀이법

$\begin{bmatrix}

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

2 & 6 & -2 & | & 3 \\

4 & 8 & -5 & | & 4

\end{bmatrix}$

($R_{1} \leftrightarrow R_{2} $)

$\begin{bmatrix}

2 & 6 & -2 & | & 3 \\

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

4 & 8 & -5 & | & 4

\end{bmatrix}$

($R_{1} \leftarrow \dfrac{1}{2}R_{1} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & -1 & | & \dfrac{3}{2} \\

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

4 & 8 & -5 & | & 4

\end{bmatrix}$

($R_{3} \leftarrow -4R_{1} + R_{3} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & -1 & | & \dfrac{3}{2} \\

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

0 & -4 & -1 & | & -2

\end{bmatrix}$

($R_{2} \leftarrow \dfrac{1}{4}R_{2} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & -1 & | & \dfrac{3}{2} \\

0 & 1 & \dfrac{1}{4} & | & \dfrac{1}{2} \\

0 & -4 & -1 & | & -2

\end{bmatrix}$

($R_{1} \leftarrow -3R_{2}+R_{1} $)

($R_{3} \leftarrow 4R_{2}+R_{3} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -\dfrac{7}{4} & | & 0 \\

0 & 1 & \dfrac{1}{4} & | & \dfrac{1}{2} \\

0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

3행의 성분은 모두 0이기 때문에, 미지수 $x_{3}$의 값은 하나로 고정되지 않는다. x_{3}에 어떤 값 t를 대입해도 연깁선형방정식의 해가 존재한다.

$x_{1} – \dfrac{7}{4}x_{3} = 0 \rightarrow x_{1} = \dfrac{7}{4}x_{3}$

$x_{2} – \dfrac{1}{4}x_{3} = \dfrac{1}{2} \rightarrow x_{2} = -\dfrac{1}{4}x_{3} + \dfrac{1}{2}$

$x_{3} = t$를 대입하면

$x_{1} – \dfrac{7}{4}t, x_{2} = -\dfrac{1}{4}t + {1}{2}, x_{3} =t$ 이 때 어떤 값이 든 될 수 있는 t와 같은 변수를 자유변수(fre variable)라고 한다.

$t = 4 \Rightarrow (x_{1},x_{2},x_{3}) = (7, -\dfrac{1}{2}, 4)$

$t = -2 \Rightarrow (x_{1},x_{2},x_{3}) = (\dfrac{7}{2}, 1, -2)$

t에 어떤 값을 대입해도 해가 존재하기 때문에 이 연립선형방정식의 해는 무수히 많다. 이러한 연립선형방정식을 부정이라고 한다.

python code

import numpy as np a = np.zeros((2,3)) # 2*3 영행렬 b = np.ones((2,2)) # 모든 성분이 1인 2*2 행렬 c = np.full((3,2),3) # 모든 성분이 3인 3*2 행렬 d = np.eye(2) # 2*2 단위 행렬

가우스 조던 소거법

import numpy as np #행렬 A를 출력하는 함수 def pprint(msg, A): print(“—“, msg, “—“) (n,m) A.shape for i in range(0,n): line = “” for j in range(0,m): line += “{0:.2f}”.format(A[i,j])+”\t” if j == n-1: line += “| ” print(line) print(“”) #가우스-조단 조거법을 수행하는 함수 def gauss(A): (n,m) = A.shape for i in range(0, n): # i번째 열에서 절댓값이 최대인 성분의 행 선택 maxEl = abs(A[i,i]) maxRow = i for k in range(i+1, n): if abs(A[k,i]) > maxEl: maxEl = abs(A[k,i]) maxRow = k #현재 i번째 행과 최댓값을 갖는 행 maxRow 의 교환 for k in range(i,m): tmp = A[maxRow,k] A[maxRow,k] = A[i,k] A[i,k] = tmp #추축 성분을 1로 만들기 piv = A[i,i] for k in range(i,m): A[i,k] = A[i,k]/piv #현재 i번째 열의 i번째 행을 제외한 모두 성분을 0으로 만들기 for k range(0,n): if k != i: c = A[k,i]/A[i,i] for j in range(i,m): if i == j: A[k,j] = 0 else: A[k,j] = A[k,j] – c * A[i,i] pprint(str(i+1)+”번째 반복”,A) x = np.zeros(n) for i in range(0,n): x[i] = A[i,n] return x A = np.array([[2.,2.,4.,18.],[1.,3.,2.,13.],[3.,1.,3.,14.]]) pprint(“주어진 문제”,A) x = gauss(A) (n,m) = A.shape line = “해:\t” for i in range(0,n): line += “{0:.2f}”.format(x[i]) + “\t” print(line)

DATA COOKBOOK :: 가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)의 이해

| 들어가며

지난 블로깅에는 가우스 소거법에 대해 배웠다.

지난 블로깅의 링크는 아래를 참고한다.

▶ 가우스 소거법(Gaussian elimination)의 이해 – 선형대수 2-2강

이번 블로깅에서는 가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)에 대해 이해해보자

| 가우스 조르단 소거법이란

일차 연립방정식 AX = B를 쉽게 풀 수 있는 가우스-조르단 소거법은 다음의 순서를 따른다.

1) 행렬 A와 B로 부터 확대행렬 C=(A|B) 를 구한다.

2) 기본행연산을 이용하여 C를 소거행제형 D로 변환한다. 3) 자유변수 각각을 임의의 매개변수로 둔다. 4) 행렬 D의 영행이 아닌 각 행을 선도변수에 관하여 푼다.

이를 이용해서 다음의 연립방정식을 풀어보자

| 가우스 소거법(Gauss Elimination)과 가우스-조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)의 비교

– 가우스 소거법은 행제형행렬을 구한 다음에 후진 대입법을 사용하여 값을 구한다.

– 가우스 조르단 소거법은 소거행제형 행렬을 구해서 바로 해를 구한다.

| 참고자료

방송통신대학교 강의교재

[선형대수학] 6. 가우스 소거(Gauss elimination), 가우스-조르단 소거(Gauss-Jordan elimination)

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2011. 01. 10

연립방정식을 푸는 방법에 대해서 지난 시간에는 크래머 공식에 대해서 설명하였다.

이번시간에는 가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법에 대해서 설명 해보려고한다.

이전 크래머 공식에 대해서 읽어 보지 않았다면 먼저 읽어보기를 권장한다.

http://carstart.tistory.com/160 (크래머 공식)

가우스 와 가우스 조르단 방법을 알기전 꼭 알아야 할 사항이 있다. 그건 무엇?

행 사다리꼴과 기약 행 사다리 꼴이다.

지금까지

정방행렬만 사용해 왔던 정사각형

일반행렬로 사용해 왔던 직사각형

LU분해 등등 사용했던 삼각형

근데 뭐…. 사다리꼴?

행렬에서 사다리꼴이 어디 있냐 하는 생각이 들수 도 있다.

어리둥절 할지라도 한번 알아보자

행 사다리꼴 과 기약 행 사다리꼴

그림과 같이 같은 형태를 따서 사다리꼴이라 한다.

그럼 사다리꼴 모양만 되면 아무나 행 사다리꼴, 기약 행 사다리꼴을 다하느냐

당연히 아니다.

그럼 행 사다리꼴과 기약 행 사다리꼴의 기준은 무엇인지 알아보자!

기약 행 사다리꼴(RREF Reduced Row Echelon Form)의 성질

1. 만약 한 행의 원소가 전부 0이 아니면, 행의 첫 번째 0이 아닌 수는 1이다. (이를 선행이라 부른다)

2. 만약 어떤 행들이 모두 0으로 이루어 져 있으면 그 행들은 모두 행렬의 아래 쪽 행에 놓여진다.

3. 두 개의 연속된 행이 모두 0이 아니라면 아래 행에 있는 선행1이 윗 행에 있는 선행1의 오른쪽에 위치한다.

4. 선행 1을 가진 열은 1을 제외한 다른 곳이 모두 0이다.

행 사다리꼴(Row Echelon Form)의 성질

1, 2, 3 의 성질을 만족하는 행렬이다.

참 이해하기 어렵다.

좀더 쉽게 예를 표현해서 이야기 해보자 !

다음 그림은 모두 기약 행 사다리꼴이다.

1. 행의 원소가 전부 0이 아니고 0이 아닌 첫번째 수는 1임을 알 수가 있다.

(1,2,3 번째 그림 참조, 4번의 모두 0인것도 기약 행 사다리꼴에 들어 간다.)

2. 모두 0으로 이루어져 있으면 모두 행렬 아래 놓인다 했다.

(3,4번째 그림을 참조)

3. 두 개의 연속된 행이 모두 0이 아니면 아래 행에 있는 선행1이 윗 행에 있는 선행의 오른쪽에 위치한다.

(1,2,3을 참조하면모두 아래행의 선행이 윗행의 선행보다 오른쪽에 위치함을 알수 있다.)

4. 선행 1을 가진 열은 다른 곳이 모두 0이다

(1, 2, 3을 참조하면 무조건 선행의 위열과 아래 열은 0이라는 것이다. )

다음 그림은 모두 행 사다리꼴이다.

기약 행 사다리꼴에서는 위의 조건을 다 만족 하지만 4번 조건을 만족하지 않기 때문에 행 사다리꼴이 된다.

(예를 들면 첫번째 그림에서 2행의 선행인 1이 위 아래로 0이어야 하지만 위로는 4를 만족하기 때문이다.)

근데 이런 형태로 된 행렬은 드믈건데 이런 형태를 왜 만들어 났을가?

그렇다 이런 형태가 나오기는 힘들다

하지만 기약 행 사다리꼴 형태로 된 행렬을 가지고 연립방정식을 구하기는 매우 쉽다.

아래 그림에서 만 봐도 특별한 계산없이도 눈으로만으로도 매개형식을 쉽게 표현함으로써 해집합을 간단히 구할수 있기 때문 이다.

그래서 보통 일반 행렬을 기약 행 사다리꼴의 형태로 바꾸어서 빠르게 풀려고 이 단원을 배우고 있는 것이다.

그럼 기약 행 사다리꼴로 바꾸는 방법을 알려주세요 !

그 방법이 바로

가우스-조단 소거(Gauss-Jordan Elimination) 방법 이라는 것이다.

그럼 행 사다리꼴로 바꾸는 방법은 ?

가우스 소거(Gauss Elimination) 방법이다.

자.. 이제 감이 오는가?

오늘의 주제에 대해서

가우스가 소거 (Gauss Elimination)

가우스가 행렬을 행 사다리꼴을 구하기 위하여 변환 과정을 만들었다.

기약 행 사다리꼴을 구하기 위한 변환과정으로는

다음과 같은 행렬을 가우스 소거 방식을 통하여 구할려고 한다.

1단계 : 가장 왼쪽이 모두 0으로 이루어지지 않도록 행렬을 정리한다

2단계 : 필요하다면 1단계에서 구한 열의 첫째 성분이 0이 되지 않도록 행의 위치를 바꿔라

3단계 : 열의 첫째 성분이 1이 아니고 A 라면 선행 1을 얻기 위하여 1/A 을 곱하여 1로 만들어 주어라

4단계 : 선행 아래의 모든 성분이 0이 되도록 첫째행에 적당한 값을 곱하여 아래 행들에 더한다.

5단계 : 첫째 행은 그대로 두고 나머지 행에 대해서 다시 1~4단계를 적용한다.

1) 1열

2) 2열

3) 3열

자 드디어 행 사다리골 을 만들었다.

가우스-조단 소거 방식 (Gauss-Jordan Elimination)

조단은 여기서 한단계를 더 추가하여 기약 행 사다리꼴을 만들었다.

6단계 : 0이 아닌 가장 아래의 행에서 시작하여 위 방향으로 실행한다.

(선행 1의 위에 위치한 원소가 0이 되도록 각행에 적당한 수를 곱하고 위에 있는 행에 더한다.)

3열 위

3열 아래 (여기서 중요한건 행렬은 위아래가 연결되어 있다는 점이다.)

2열 위

자 드디어 기약 행 사다리골 을 만들었다.

한번 예제를 가지고 직접 해보는것을 추천 한다.

이제 내용과 의미를 아셨다면 실전에 사용할 수 있도록 코딩 들어가셔야죠 ^^

도움이 되셨다면 리플 부탁드립니다 !

리플 하나가 큰 힘이 된답니다 ^^

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선형대수학에서 가우스 소거법(Gauß消去法, 영어: Gaussian elimination)이란, 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 결국 남은 미지수에 대한 선형 결합으로 표현되면서 풀이가 완성된다. 가우스 소거법은 보통 행렬을 사용하며, 첨가 행렬을 그와 풀이가 같은 더 간단한 행렬로 변환하여 풀이를 완성한다. 가우스 소거법은 행렬식과 역행렬의 계산에도 응용된다.

정의 [ 편집 ]

체 K {\displaystyle K} 에 대하여, n {\displaystyle n} 개의 미지수에 대한 m {\displaystyle m} 개의 방정식으로 구성된 연립일차방정식

M x = 0 {\displaystyle Mx=0}

이 주어졌다고 하자. 여기서

M = ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 M 21 M 22 ⋯ M 2 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\M_{21}&M_{22}&\cdots &M_{2,n+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}}

은 주어진 m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행렬이고,

x = ( x 1 x 2 ⋮ x n 1 ) {\displaystyle x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\1\end{pmatrix}}}

은 n {\displaystyle n} 개의 미지수를 포함하는 열벡터이다. 즉, 이는 풀어서 쓰면 다음과 같다.

M 11 x 1 + M 12 x 2 + ⋯ + M 1 , n x n + M 1 , n + 1 = 0 {\displaystyle M_{11}x_{1}+M_{12}x_{2}+\cdots +M_{1,n}x_{n}+M_{1,n+1}=0} M 21 x 1 + M 22 x 2 + ⋯ + M 2 , n x n + M 2 , n + 1 = 0 {\displaystyle M_{21}x_{1}+M_{22}x_{2}+\cdots +M_{2,n}x_{n}+M_{2,n+1}=0} ⋮ {\displaystyle \vdots } M m 1 x 1 + M m 2 x 2 + ⋯ + M m , n x n + M m , n + 1 = 0 {\displaystyle M_{m1}x_{1}+M_{m2}x_{2}+\cdots +M_{m,n}x_{n}+M_{m,n+1}=0}

기본 행 연산 [ 편집 ]

이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 기본 행렬 입니다.

이 경우, 이 연립방정식에 다음과 같은 세 가지 연산을 가할 수 있다. 이들을 기본 행 연산(基本行演算, 영어: elementary row operation)이라고 한다.

(행의 치환) M {\displaystyle M} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j}

( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M j 1 M j 2 ⋯ M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 ⟹ ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M j 1 M j 2 ⋯ M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0}

(행의 상수곱) i {\displaystyle i} a ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle a\in K\setminus \{0\}}

( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 ⟹ ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ a M i 1 a M i 2 ⋯ a M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\aM_{i1}&aM_{i2}&\cdots &aM_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0}

(행의 합) 임의의 상수 a ∈ K {\displaystyle a\in K} i {\displaystyle i} a {\displaystyle a} j {\displaystyle j}

( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M j 1 M j 2 ⋯ M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 ⟹ ( M 11 M 12 ⋯ M 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M i 1 M i 2 ⋯ M i , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ a M i 1 + M j 1 a M i 2 + M j 2 ⋯ a M i , n + 1 + M j , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 M m 2 ⋯ M m , n + 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\aM_{i1}+M_{j1}&aM_{i2}+M_{j2}&\cdots &aM_{i,n+1}+M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0}

행사다리꼴행렬 [ 편집 ]

일반적으로 사다리꼴행렬(Echelon matrix,에쉴론 메트릭스, 또는 행사다리꼴행렬)은,

m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행렬 M {\displaystyle M} 에 대하여, j 0 ( i ) = min { j ≤ n : M i j ≠ 0 } {\displaystyle j_{0}(i)=\min\{j\leq n\colon M_{ij}

eq 0\}} 이라고 하면, M i , j 0 ( i ) {\displaystyle M_{i,j_{0}(i)}} 를 i {\displaystyle i} 번째 행의 선행 계수(先行係數, 영어: leading coefficient)라고 한다. 선행 계수는 존재하지 않을 수 있다.

m × ( n + 1 ) {\displaystyle m\times (n+1)} 행렬 M {\displaystyle M} 이 다음 조건을 만족시키면, M {\displaystyle M} 을 행사다리꼴행렬(사다리꼴行列, 영어: échelon matrix)이라고 한다.

만약 0 = M i 1 = ⋯ = M i n {\displaystyle 0=M_{i1}=\cdots =M_{in}} i ≤ i ′ {\displaystyle i\leq i’} 0 = M i ′ 1 = ⋯ = M i ′ n {\displaystyle 0=M_{i’1}=\cdots =M_{i’n}}

만약 i < i ′ {\displaystyle i 1 {\displaystyle i_{1}>1} 모든 i > 1 {\displaystyle i>1} − M i j 1 / M 1 j 1 {\displaystyle -M_{ij_{1}}/M_{1j_{1}}} M 1 j 1 {\displaystyle M_{1j_{1}}}

그 뒤, 두번째 행을 다음과 같이 처리한다.

어떤 i ≥ 2 {\displaystyle i\geq 2} j 2 ≤ n {\displaystyle j_{2}\leq n} M 2 j 2 = 0 {\displaystyle M_{2j_{2}}=0} M i 2 j 2 ≠ 0 {\displaystyle M_{i_{2}j_{2}}

eq 0} i 2 > 2 {\displaystyle i_{2}>2} 모든 i > 2 {\displaystyle i>2} − M i j 2 / M 2 j 2 {\displaystyle -M_{ij_{2}}/M_{2j_{2}}} M 2 j 2 {\displaystyle M_{2j_{2}}}

뒤에 오는 다른 행에 대하여, 순차적으로 위와 같이 처리한다. 일반적으로, k {\displaystyle k} 번째 행은 다음과 같이 처리한다.

어떤 i ≥ k {\displaystyle i\geq k} j k ≤ n {\displaystyle j_{k}\leq n} M k j k = 0 {\displaystyle M_{kj_{k}}=0} k {\displaystyle k} M i k j k ≠ 0 {\displaystyle M_{i_{k}j_{k}}

eq 0} i k > k {\displaystyle i_{k}>k} 모든 i > k {\displaystyle i>k} k {\displaystyle k} − M i j k / M k j k {\displaystyle -M_{ij_{k}}/M_{kj_{k}}} M k j k {\displaystyle M_{kj_{k}}}

만약 어떤 j r + 1 ≤ n {\displaystyle j_{r+1}\leq n} 가 존재하지 않는다면, r {\displaystyle r} 번째 행에서 멈춘다. 만약 항상 j k ≤ n {\displaystyle j_{k}\leq n} 를 찾을 수 있다면, 모든 k = 1 , 2 , … , m {\displaystyle k=1,2,\ldots ,m} 번째 행에 대하여 순차적으로 위와 같이 처리하며, r = n {\displaystyle r=n} 으로 둔다. 기약행사다리꼴행렬을 원한다면, 찾았던 모든 j k = j r , j r − 2 , … , j 1 {\displaystyle j_{k}=j_{r},j_{r-2},\ldots ,j_{1}} 에 대하여 순차적으로 다음과 같은 단계를 추가로 거친다.

k {\displaystyle k} 1 / M k j k {\displaystyle 1/M_{kj_{k}}} M k j k {\displaystyle M_{kj_{k}}} 모든 i < k {\displaystyle i

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