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소인수 분해 알고리즘은 말 그대로, 어떤 자연수 N을 소수의 곱으로 나타내는 것을 목표로 한다. 쉽게 설명하기 위해서 자연수 N이 두 개의 소수 p,q의 곱으로 이루어져 있다고 가정해 보겠다. 우리의 목표는 N이 주어졌을 때 p와 q를 빠른 시간 안에 알아내는 것이다.
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주니온TV 아무거나연구소 특별기획:
소인수 분해 알고리즘 완전정복
1. 소인수 분해, 얼마까지 알아보고 오셨어요?
본 강의의 강의자료 및 실습자료는
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https://bit.ly/3baJZBx
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소인수 분해 알고리즘 – 코드를 분석해라
소인수 분해 알고리즘 C언어 알고리즘 중에 소인수 분해 알고리즘 문제를 봤다. 과정은 간단하다 변수를 생성하고 사용자 임의로 입력을 받아서 …
Source: aossuper8.tistory.com
Date Published: 6/14/2021
View: 2823
소인수분해 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
소인수분해(영어: prime factorization, integer factorization)는 1보다 큰 자연수를 소인수(소수인 인수)들만의 곱으로 나타내는 것 또는 합성수를 소수의 곱으로 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 9/12/2022
View: 3894
소인수분해 – 나무위키:대문
모든 합성수가 소인수분해된 형태를 가지고 있다는 것은 산술의 기본정리로 증명 … 이 알고리즘으로 소인수를 구하면 천억이 넘는 숫자도 소인수가 …
Source: namu.wiki
Date Published: 2/4/2022
View: 1653
소인수분해 알고리즘 – velog
자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고한다. 예를 들자면, 12는 2 x 2 x 3의 소수로 분해된다. 그럼 코드를 사용한 소인수분해를 구현 …
Source: velog.io
Date Published: 1/27/2021
View: 4763
[백준] 11653번 : 소인수분해 – JAVA [자바] – Stranger’s LAB
문제. 소인수 분해 문제다. 찾아보니 중학교 교과과정에서 배운다고 하니 아마 다들 쉽게 풀 수 있을 듯 하다. 알고리즘 [접근 방법].
Source: st-lab.tistory.com
Date Published: 10/24/2022
View: 1626
소인수분해 알고리즘
접수일자: 2011.3.13, 수정일자: 2011.4.13. 게재확정일자: 2011.4.15. 논문 2011-2-16. 소인수분해 알고리즘. The Integer Factorization Algorithm.
Source: www.koreascience.or.kr
Date Published: 1/6/2021
View: 5594
[백준] 11653번: 소인수 분해 / 파이썬 – 코딩하는 수학도
N = 24 일 때의 소인수 분해를 통해 알고리즘을 알아보자. d = 2 (2부터 나누어떨어지는지 확인한다.) 24는 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, …
Source: devmath.tistory.com
Date Published: 3/20/2022
View: 1604
빠른 소인수 분해 알고리즘 – Photogrammer
빠른 소인수 분해 알고리즘. Photogrammer 2021. 8. 27. 06:45. 어제 재미있는 한 영상을 보았다. ‘가장 빠른 소인수 분해 계산 방법’ (쇼어의 알고리즘).
Source: photogrammers.tistory.com
Date Published: 10/4/2021
View: 2448
[논문]소인수 분해 알고리즘 – ScienceON
수많은 암호시스템과 관련 프로토콜의 안전이 소인수분해 문제의 어려움에 기반하고 있다 본 논문에서는 암호해독과 설계에 영향을 줄 수 있는 소인수분해 알고리즘에 …
Source: scienceon.kisti.re.kr
Date Published: 4/6/2021
View: 4475
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주제에 대한 기사 평가 소인수 분해 알고리즘
- Author: 주니온TV 아무거나연구소
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- Date Published: 2020. 8. 27.
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양자 알고리즘: 소인수 분해 알고리즘
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인한 부득이한 경우 ② 전기통신사업법에 규정된 기간통신사업자가 전기통신 서비스를 중지했을 때 2. “고등과학원”은 국가비상사태, 서비스 설비의 장애 또는 서비스 이용의 폭주 등으로 서비스 이용에 지장이 있는 때에는 서비스 제공을 중지하거나 제한 할 수 있습니다. 제 14 조 (“고등과학원”의 의무) 1. “고등과학원”은 서비스용 설비를 지속적이고 안정적인 서비스 제공에 적합하도록 유지하도록 노력하며, 서비스용 설비에 장애가 발생하거나 또는 그 설비가 못쓰게 된 경우 그 설비를 수리하거나 복구합니다. 2. “고등과학원”은 서비스 내용의 변경 또는 추가사항이 있는 경우 그 사항을 온라인을 통해 서비스 화면에 공지합니다. 제 15 조 (개인정보보호) 1. “고등과학원”은 정보통신이용촉진등에 관한 법률 등 관계법령에 따라 제공받는 이 용자의 개인정보 및 서비스 이용 중 생성되는 개인정보를 보호하여야 합니다. 2. “고등과학원”은 개인정보를 이용고객의 별도의 동의 없이 제3자에게 제공하지 않습니다. 다만, 다음 각 호의 경우는 이용고객의 별도 동의 없이 제3자에게 이용고객의 개인정보를 제공할 수 있습니다. ① 수사상의 목적에 따른 수사기관의 서면 요구가 있는 경우에 수사협조의 목적으로 국가 수사 기관에 성명, 주소 등 신상정보를 제공하는 경우 ② 신용정보의 이용 및 보호에 관한 법률, 전기통신관련법률 등 법률에 특별한 규정이 있는 경우 ③ 통계작성, 학술연구 또는 시장조사를 위하여 필요한 경우로서 특정 개인을 식별할 수 없는 형태로 제공하는 경우 3. 이용자는 언제나 자신의 개인정보를 열람할 수 있으며, 스스로 오류를 수정할 수 있습니다. 열람 및 수정은 원칙적으로 이용신청과 동일한 방법으로 하며, 자세한 방법은 공지,이용안내에 정한 바에 따릅니다. 4. 이용자는 언제나 이용계약을 해지함으로써 개인정보의 수집 및 이용에 대한 동의, 목적 이외의 사용에 대한 별도 동의, 제3자 제공에 대한 별도 동의를 철회할 수 있으며, 해지방법은 이 약관에서 별도로 규정한 바에 따릅니다. 제 16 조 (이용자의 의무) 1. 이용자는 서비스를 이용할 때 다음 각 호의 행위를 하지 않아야 합니다. ① 다른 이용자의 이용자번호를 부정하게 사용하는 행위 ② 서비스를 이용하여 얻은 정보를 “고등과학원”의 사전승낙 없이 이용자의 이용이외의 목적으로 복제하거나 이를 출판, 방송 등에 사용하거나 제3자에게 제공하는 행위 ③ 다른 이용자 또는 제3자를 비방하거나 중상모략으로 명예를 손상하는 행위 ④ 공공질서 및 미풍양속에 위배되는 내용의 정보, 문장, 도형 등을 타인에게 유포하는 행위 ⑤ 반국가적, 반사회적, 범죄적 행위와 결부된다고 판단되는 행위 ⑥ 다른 이용자 또는 제3자의 저작권등 기타 권리를 침해하는 행위 ⑦ 기타 관계 법령에 위배되는 행위 2. 이용자는 이 약관에서 규정하는 사항과 서비스 이용안내 또는 주의사항을 준수하여야 합니다. 3. 이용자가 설치하는 단말기 등은 전기통신설비의 기술기준에 관한 규칙이 정하는 기준에 적합하여야 하며, 서비스에 장애를 주지 않아야 합니다. 제 4 장 서비스 이용 요금 제 17 조 (이용요금) 서비스 이용료는 무료로 합니다. 단 “고등과학원”의 정책에 따라 이용 요금이 유료화 될 경우에는 온라인으로 서비스 화면에 게시합니다. 제 5 장 저작권 제 18 조 (게재된 자료에 대한 권리) 서비스에 게재된 자료에 대한 권리는 다음 각 호와 같습니다. 1. “고등과학원”이 제공하는 서비스, 그에 필요한 소프트웨어, 이미지, 마크, 로고, 디자인, 서비스명칭, 정보 및 상표 등과 관련된 지식재산권 및 기타 권리는 “고등과학원”에 소유권이 있습니다. 2. 이용자는 “고등과학원”이 명시적으로 승인한 경우를 제외하고는 전항의 소정의 각 재산에 대한 전부 또는 일부의 수정, 대여, 대출, 판매, 배포, 제작, 양도, 재라이센스, 담보권 설정 행위, 상업적 이용 행위를 할 수 없으며, 제3자로 하여금 이와 같은 행위를 하도록 허락할 수 없습니다. 3. 이용자가 게시한 게시물에 대한 권리와 책임은 게시자에게 있으며, 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소인수 분해 알고리즘
소인수 분해 알고리즘
C언어 알고리즘 중에 소인수 분해 알고리즘 문제를 봤다.
과정은 간단하다 변수를 생성하고 사용자 임의로 입력을 받아서 반복문을 돌려주고 구하면 된다.
문제 : 임의의 자연수 N을 입력받아서 N을 소인수 분해 한 결과를 출력하여라.
input : 18
output : 2 * 3 * 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 #include < stdio.h > int main() { int number, i; scanf_s( “%d” , & number); for (i = 2 ; i < = number; i + + ) while (number % i = = 0 ) { number / = i; printf ( "%d * " , i); } return 0 ; } cs 먼저 임의의 자연수를 받을 N 변수를 만들어주고 for를 돌릴 변수 i 변수를 선언해준다. scanf_s로 자연수를 받아들이고 for문을 보면 i값을 2로 초기화 시켯다. 그 이유는 밑에 while문 때문이다. while문을 보면 number % i로 나눴을때 나머지가 0이면 실행되게끔 했다. number 에 몫을 저장하고 i 변수를 출력한다. (이때 i는 소수를 출력한다.) 그리고 다시 한번 더 조건에 만족하면 계속 반복을 한다. C언어 소인수 분해 알고리즘 정말 쉽다 조금만 생각하면 된다.
위키백과, 우리 모두의 백과사전
소인수분해(영어: prime factorization, integer factorization)는 1보다 큰 자연수를 소인수(소수인 인수)들만의 곱으로 나타내는 것 또는 합성수를 소수의 곱으로 나타내는 방법을 말한다. 소인수분해를 일의적으로 결정하는 공식은 아직 발견되지 않았다. 현대 암호 처리에서 소인수분해의 어려움은 중요한 기준이 된다.
개요 [ 편집 ]
2 5 × 3 3 {\displaystyle 2^{5}\times 3^{3}} 이 그림은 864의 소인수분해 과정을 그림으로 예시하고 있다. 소인수분해의 결과를 간단하게 쓰면이 된다.
산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)에 의해 모든 양의 정수는 소수들의 곱으로 표현하는 방법이 (곱셈의 교환법칙을 제외하면) 유일하게 존재한다. 그러나 산술의 기본정리는 그 소인수분해를 하는 방법을 알려주지는 않는다. 단지 존재성을 확인해 줄 뿐이다.
아래는 200 이하 합성수의 소인수분해이다.[1]
4＝2×2(2 2 )
) 6＝2×3
8＝2×2×2(2 2 )
) 9＝3×3(3 2 )
) 10＝2×5
12＝2×2×3(2 2 x3)
x3) 14＝2×7
15＝3×5
16＝2×2×2×2(2 4 )
) 18＝2×3×3(2×3 2 )
) 20＝2×2×5(2 2 x5)
x5) 21＝3×7
22＝2×11
24＝2×2×2×3(2 3 x3)
x3) 25＝5×5(5 2 )
) 26＝2×13
27＝3×3×3(3 3 )
) 28＝2×2×7(2 2 x7)
x7) 30＝2×3×5
32＝2×2×2×2×2(2 5 )
) 33＝3×11
34＝2×17
35＝5×7
36＝2×2×3×3(2 2 x3 2 )
x3 ) 38＝2×19
39＝3×13
40＝2×2×2×5(2 3 x5)
x5) 42＝2×3×7
44＝2×2×11
45＝3×3×5(3 2 x5)
x5) 46＝2×23
48＝2×2×2×2×3(2 4 x3)
x3) 49＝7×7(7 2 )
) 50＝2×5×5(2×5 2 )
) 51＝3×17
52＝2×2×13(2 2 x13)
x13) 54＝2×3×3×3(2×3 3 )
) 55＝5×11
56＝2×2×2×7(2 3 x7)
x7) 57＝3×19
58＝2×29
60＝2×2×3×5(2 2 x3x5)
x3x5) 62＝2×31
63＝3×3×7(3 2 x7)
x7) 64＝2×2×2×2×2×2(2 6 )
) 65＝5×13
66＝2×3×11
68＝2×2×17(2 2 x17)
x17) 69＝3×23
70＝2×5×7
72＝2×2×2×3×3(2 3 x3 2 )
x3 ) 74＝2×37
75＝3×5×5(3×5 2 )
) 76＝2×2×19(2 2 x19)
x19) 77＝7×11
78＝2×3×13
80＝2×2×2×2×5(2 4 x5)
x5) 81＝3×3×3×3(3 4 )
) 82＝2×41
84＝2×2×3×7(2 2 x3x7)
x3x7) 85＝5×17
86＝2×43
87＝3×29
88＝2×2×2×11(2 3 x11)
x11) 90＝2×3×3×5(2×3 2 x5)
x5) 91＝7×13
92＝2×2×23(2 2 x23)
x23) 93＝3×31
94＝2×47
95＝5×19
96＝2×2×2×2×2×3(2 5 x3)
x3) 98＝2×7×7(2×7 2 )
) 99＝3×3×11(3 2 x11)
x11) 100＝2×2×5×5(2 2 x5 2 )
x5 ) 102＝2×3×17
104＝2×2×2×13(2 3 x13)
x13) 105＝3×5×7
106＝2×53
108＝2×2×3×3×3(2 2 x3 3 )
x3 ) 110＝2×5×11
111＝3×37
112＝2×2×2×2×7(2 4 x7)
x7) 114＝2×3×19
115＝5×23
116＝2×2×29(2 2 x29)
x29) 117＝3×3×13(3 2 x13)
x13) 118＝2×59
119＝7×17
120＝2×2×2×3×5(2 3 x3x5)
x3x5) 121＝11×11(11 2 )
) 122＝2×61
123＝3×41
124＝2×2×31(2 2 x31)
x31) 125＝5×5×5(5 3 )
) 126＝2×3×3×7(2×3 2 x7)
x7) 128＝2×2×2×2×2×2×2(2 7 )
) 129＝3×43
130＝2×5×13
132＝2×2×3×11(2 2 x3x11)
x3x11) 133＝7×19
134＝2×67
135＝3×3×3×5(3 3 x5)
x5) 136＝2×2×2×17(2 3 x17)
x17) 138＝2×3×23
140＝2×2×5×7(2 2 x5x7)
x5x7) 141＝3×47
142＝2×71
143＝11×13
144＝2×2×2×2×3×3(2 4 x3 2 )
x3 ) 145＝5×29
146＝2×73
147＝3×7×7(3×7 2 )
) 148＝2×2×37(2 2 x37)
x37) 150＝2×3×5×5(2x3x5 2 )
) 152＝2×2×2×19(2 3 x19)
x19) 153＝3×3×17(3 2 x17)
x17) 154＝2×7×11
155＝5×31
156＝2×2×3×13(2 2 x3x13)
x3x13) 158＝2×79
159＝3×53
160＝2×2×2×2×2×5(2 5 x5)
x5) 161＝7×23
162＝2×3×3×3×3(2×3 4 )
) 164＝2×2×41(2 2 x41)
x41) 165＝3×5×11
166＝2×83
168＝2×2×2×3×7(2 3 x3x7)
x3x7) 169＝13×13(13 2 )
) 170＝2×5×17
171＝3×3×19(3 2 x19)
x19) 172＝2×2×43(2 2 x43)
x43) 174＝2×3×29
175＝5×5×7(5 2 x7)
x7) 176＝2×2×2×2×11(2 4 x11)
x11) 177＝3×59
178＝2×89
180＝2×2×3×3×5(2 2 x3 2 )
x3 ) 182＝2×7×13
183＝3×61
184＝2×2×2×23(2 3 x23)
x23) 185＝5×37
186＝2×3×31
187＝11×17
188＝2×2×47(2 2 x47)
x47) 189＝3×3×3×7(3 3 x7)
x7) 190＝2×5×19
192＝2×2×2×2×2×2×3(2 6 x3)
x3) 194＝2×97
195＝3×5×13
196＝2×2×7×7(2 2 x7 2)
x7 198＝2×3×3×11(2×3 2 x11)
x11) 200＝2×2×2×5×5(23×52)
소인수분해 알고리즘 [ 편집 ]
현대의 전자기 기반 컴퓨터상에서 소인수분해에 대한 다항식 시간 알고리즘은 알려져 있지 않다. 단, 이론적인 양자컴퓨터에서의 다항식 시간 소인수분해 알고리즘 (쇼어의 알고리즘)은 존재한다. 하지만 아직까지 어떤 합성수를 다항 시간 안에 소인수분해하기는 어려운 문제이며, 예를 들어 193자리 수(RSA-640)는 5개월간 30개의 2.2 GHz 옵테론 CPU를 동원하여 소인수분해 되었다. 소인수분해의 난해함은 RSA와 같은 현대 암호의 핵심적 부분이 된다.
고전적 알고리즘 [ 편집 ]
고전적인 소인수분해 알고리즘은 대부분 페르마 소정리를 확장한 것을 이용한다. 그중 자주 사용되는 알고리즘은 아래와 같다.
알고리즘의 발전 [ 편집 ]
암호학의 발달과 함께 소인수분해 방법도 발전해 왔으며 그중 가장 효율적인 알고리즘들을 간추리면 아래와 같다.
렌스트라의 타원곡선 알고리즘 (Elliptic Curve Method, ECM): 타원곡선의 성질을 이용하여 어떤 수를 소인수분해하는 알고리즘으로, 가장 작은 소인수의 크기에 따라서 실행 시간이 결정된다. 이 알고리즘의 실행 시간은 O ( exp ( 2 ln ( p ln ( ln ( p ) ) ) ) {\displaystyle O\left(\exp \left({\sqrt {2\ln(p\ln(\ln(p))}}\right)\right)} 잉여체의 성질을 이용한 알고리즘에 비해 매우 우수하다.
잉여체의 성질을 이용한 알고리즘에 비해 매우 우수하다. 수체 체(General Number Field Sieve, GNFS) 알고리즘은 이차 체 알고리즘을 발전시킨 것으로 일반 컴퓨터로 실행시킬 수 있는 알고리즘 중에서는 가장 빠른 알고리즘이다. b가 합성수의 비트수일 때, 이 알고리즘은 O ( exp ( ( 64 9 b ) 1 3 ( log b ) 2 3 ) ) {\displaystyle O\left(\exp \left(\left({\begin{matrix}{\frac {64}{9}}\end{matrix}}b\right)^{1 \over 3}(\log b)^{2 \over 3}\right)\right)}
특수 수체 체 (Special Number Field Sieve, SNFS) 알고리즘은 r, e, s가 자연수일 때, r e ± s 꼴인 자연수에 대해서 작동하는 알고리즘이다. 여기서 r, s의 값이 커지면 속도가 급속도로 느려지기 때문에 r, s가 작은 자연수에 대해서만 잘 작동하며 사용할 수 있다.
± s 꼴인 자연수에 대해서 작동하는 알고리즘이다. 여기서 r, s의 값이 커지면 속도가 급속도로 느려지기 때문에 r, s가 작은 자연수에 대해서만 잘 작동하며 사용할 수 있다. 다중 다항식 이차체 (Multiple Polynomial Quadratic Sieve, MPQS) 알고리즘은 이차 체 알고리즘을 확장시킨 알고리즘으로, 한 개의 함수를 이용하는 이차 체와는 달리 여러 개의 함수를 이용하는 알고리즘이다.
이차 체 (Quadratic Sieve, QS) 알고리즘은 100자리 이하의 자연수를 소인수분해할 때 적합하며, 보통 어떤 합성수의 소인수들의 크기가 비슷할 때 잘 작동한다.
같이 보기 [ 편집 ]
소인수분해 알고리즘
소인수분해란?
자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고한다.
예를 들자면, 12는 2 x 2 x 3의 소수로 분해된다.
그럼 코드를 사용한 소인수분해를 구현하는 방법을 알아보자!
1. N을 모든 숫자와 나누기
입력 받은 N을 2부터 나누는데, 이때 N이 나누어 떨어지면 나누는 숫자는 N의 인수가 된다. 코드로 살펴 보자
int k = 2; while (num != 1) { if (num % k == 0) { System.out.println(k + ” “); num /= k; } else { k++; } }
N이 1이 아닐 때까지 while문을 반복하는데 이러한 이유는, k가 N을 나눈 나머지가 0일 때, 즉 나누어 떨어질 때 N을 k로 나눈 값으로 N의 값을 다시 수정해주어야 하기 때문이다.
k를 else문에서만 증가시킨 이유는 k로 나눈 나머지가 0이 아니라면 더이상 K로 나눌 수 없으므로 다음 k가 N의 인수인지 판별하기 위함이다.
위의 방식은 간단하지만, N이 커질수록 효율적이지 못하다.
2. 제곱근을 이용
제곱근을 이용한다면 중복되는 연산을 제거 할 수 있다.
16의 약수를 보면
1 x 16
2 x 8
4 x 4
8 x 2
1 x 16
여기서 4 x 4를 기준으로 앞 뒤 숫자들이 중복되는 것을 볼 수 있다.
잘 생각해보면 N은 해당 약수들로 나누었을 때 나머지가 0임을 알 수있는데, 그렇다면 위의 코드에서 k가 N을 나누는 숫자이므로 k를 N의 제곱근까지 증가시켜 비교를 하는 방법은 어떨까?
제곱근은 4 x 4이고 제곱근을 기준으로 중복이 되므로 위의 방법이 가능하다.
코드를 살펴보자
int k = 2; double sqrtNum = Math.sqrt(num); while (k <= sqrtNum && num != 1) { if (num2 % k == 0) { System.out.print(k + " "); num2 /= k; } else { k++; } } if (num2 > 1) { System.out.print(k + ” “); }
while 내부의 if문은 1번의 코드와 같다.
while문의 반복 조건을 살펴보면, k가 제곱근을 초과하면 종료되거나, N의 값이 1이 된다면 탈출하도록 설정했다.
num != 1을 설정하지 않는다면, K <= sqrtNum 보다 먼저 num ==1 이 되었을 경우 그 뒤의 반복들은 무의미하기에 k가 제곱근 보다 크지 않아도 종료되도록 한다.
[백준] 11653번 : 소인수분해 – JAVA [자바]
글 작성자: ST_
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www.acmicpc.net/problem/11653
문제
소인수 분해 문제다. 찾아보니 중학교 교과과정에서 배운다고 하니 아마 다들 쉽게 풀 수 있을 듯 하다.
알고리즘 [접근 방법]
소인수분해 문제 자체는 어렵지 않으니 잠깐 소인수분해에 대해 알아보면 좋을 것 같다.
소인수분해가 어릴 때 부터 배우면서 약수와 배수를 구하기 위해 쓰이면서 자연스럽게 많이 쓰기 때문에 어떤 것인지는 대강 알고있으나 정확한 정의나 왜 소인수분해인지는 모르고 가는 경우가 많다.
사실 수학용어를 번역하면서 한자 뜻을 빌려와 쓰기 때문에 그렇기도 하다. 오히려 영어 뜻을 그대로 번역하는게 이해하기 쉬울 때도 많다.
그럼 소인수분해를 영어로 어떻게 표현할까?
소인수 분해를 영어로 하면 prime factorization 이라고 한다.
prime 은 소수(1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 정수)를 의미한다. 그리고 factorization에서 보면 factor + ization이 결합된 문장인 것을 볼 수 있다.
factor는 말그대로 요소, 인수, 인자를 의미하고 -ization은 접미사로 본 형태는 ~ize에서 파생된 것인데, ~ize가 ‘~화 되다’를 의미한다면 ~ization은 ~ize를 명사화 해서 말 그대로 ‘~화’를 의미한다. 흔히 붙는다. (예로들어 socialize 는 ‘사회화 되다’라는 의미, socialization 은 사회화 의미로 된다.) 즉, factorization은 쉽게 말하면 ‘인수화’라는 의미고 이는 곧 인수분해랑 같은 의미다. 수학적으로 말하면 어떤 수를 인수로 분해하는 것을 의미할 것이다.
그럼 prime과 factorization의 뜻을 합치면 ‘소수 인수화’ 또는 ‘소수인수분해’라고 하는 겁니다. 다만 번역하면 소수의 ‘수’와 인수의 ‘수’가 같은 수로 동어반복이기 때문에 ‘소인수’라고 합쳐진 것이다.
참고로 한자로 표기하자면 소인수분해는 素因數分解 이고, 소수는 素數 이다.
즉, 소인수분해는 어떤 수를 소수인 인수로 분해하는 것이다.
이 소인수분해가 중요한 이유는 현대 암호학의 가장 기본 토대가 되는 부분이기 때문이다. 앞으로 여러분이 암호학에 관심을 갖게 된다면 배우겠지만, 아직까지 소인수분해를 일률적으로 구할 수 있는 공식을 발견하지 못했기 때문이다.
즉, 두 수의 곱셈을 결과로 나타내기는 쉬워도 결과를 두 수의 곱셈으로 나타내기 어렵다는 역발상에서 시작되는 것이 암호학의 가장 기초다.
혹여 이러한 내용에 관심이 있다면 아래 포스팅을 참고하면 좋을 것 같다.
패스워드의 암호화와 저장
그럼 본격적으로 알고리즘을 파헤쳐보자.
가장 쉬운 방법은 2부터 N까지 모든 수를 나눠보면서 나머지가 0일 경우 그 값을 출력하는 것이다. 즉, 아래와 같이 구할 수 있다. (1의 경우는 소수가 아니므로 당연히 제외되어야 한다.)
for(int i = 2; i <= N; i++) { while(N % i == 0) { println(i); N /= i; } } 물론 위와같이 구해도 문제는 없지만 좀 더 효율적으로 짤 수도 있다. 어떤 N이 두 개이상 곱셈(인수)으로 나타낼 수 있을 때 인수 중 한 개 이상은 반드시 √N보다 작거나 같다는 것이다. 즉, 반복문의 범위를 √N까지 반복하는 것이다. 그리고 이 때 중요한 점은, N /= i로 나누고 남은 최종 N이 두 가지 케이스로 나뉜다는 것이다. 예로들어 N = 16이 입력되었다고 가정해보자. 반복문으로 √N까지 한다고 하면 4까지 반복을 할 것이다. 그리고 처음 2에서 while문의 조건식을 만족(16 % 2 == 0)하면서 2를 출력한 다음 N을 2로 나누어 8이 되고, 다시 8 % 2 == 0 을 만족하므로 또다시 2를 출력한 뒤 N을 2로 나누어 4가 되고 이런식으로 쭉 가다가 마지막에 2 % 2 == 0 을 만족하여 2를 다시 한 번 출력한 뒤, N을 2로 나누어 1이 되고 while문 반복을 종료하게 된다. 그리고 1이 인수분해 되는 일은 없으므로 for문 또한 종료가 된다. 반대로 N = 34가 입력되었다고 가정해보자. 반복문으로 √N까지 한다고 하면 근사값이 대략 5.83이므로 5까지 반복을 할 것이다. 그리고 처음 2에서 while문의 조건식 34 % 2 == 0 이므로 2를 출력한 다음 N을 2로 나눌 것이다. 그러면 17이므로 17 % 2 는 0이 아니기 때문에 while문은 종료된다. 그리고 for반복문 i값이 1씩 증가해서 검사하다가 i = 5 가 되면 종료가 되어버린다. 그렇게 되면 N은 17이라는 인수를 갖고 있는데 출력을 못하고 종료가 되어버리는 문제가 생긴다. 즉, for반복문을 종료하고 N이 1이 아니라면 N은 소수이자 인수인 것이 자명하기 때문에 한 번 더 출력해주는 조건문을 달아주어야 한다. 즉 다음과 같이 써야한다. for(int i = 2; i <= sqrt(N); i++) { // 또는 i * i <= N while(N % i == 0) { println(i); N /= i; } } if(N != 1) { println(N); } 이를 토대로 알고리즘을 작성하면 끝난다. 3가지 방법을 사용하여 풀이한다. 기본적으로 알고리즘은 √N까지 반복하는 것으로 쓸 것이다. 굳이 N까지 검사해줄 필요가 없기 때문에.. 대신 입력과 출력을 달리하여 성능차이를 볼 것인데, 입력은 Scanner와 BufferedReader을 쓸 것이고 출력은 매 번 출력하는 방식과 StringBuilder을 사용하여 출력하는 방식을 사용해볼 것이다. 다음과 같은 3가지 방식을 이용할 것이니 참고하시길 바란다. 1. Scanner + System.out.println() 2. Scanner + StringBuilder 3. BufferedReader + StringBuilder 풀이 - 방법 1 : [Scanner + System.out.println()] import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); int N = in.nextInt(); for (int i = 2; i <= Math.sqrt(N); i++) { // 또는 i * i <= N while (N % i == 0) { System.out.println(i); N /= i; } } if (N != 1) { System.out.println(N); } } } 가장 기본적인 방법이라 할 수 있겠다. - 방법 2 : [Scanner + StringBuilder] 입력 방법을 Scanner 대신 BufferedReader 을 사용하여 풀이하는 방법이다. 단, BufferedReader 는 문자열을 한 줄로 읽기 때문에 N과 M을 구분하기 위해 공백을 기준으로 문자열을 분리해주어야하니 StringTokenizer 을 사용하여 풀도록 하겠다. import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); StringBuilder sb = new StringBuilder(); int N = in.nextInt(); for (int i = 2; i <= Math.sqrt(N); i++) { // 또는 i * i <= N while (N % i == 0) { sb.append(i).append(' '); N /= i; } } if (N != 1) { sb.append(N); } System.out.println(sb); } } 출력을 바꾼 방식이다. BufferedWriter을 써도 되지만, BufferedWriter을 쓸 줄 안다면 대부분 BufferedReader도 쓸테니.. - 방법 3 : [BufferedReader + StringBuilder] 입력 방법을 Scanner 대신 BufferedReader 을 사용하여 풀이하는 방법이다. import java.io.BufferedReader; import java.io.InputStreamReader; import java.io.IOException; public class Main { public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); StringBuilder sb = new StringBuilder(); int N = Integer.parseInt(br.readLine()); for (int i = 2; i <= Math.sqrt(N); i++) { while (N % i == 0) { sb.append(i).append(' '); N /= i; } } if (N != 1) { sb.append(N); } System.out.println(sb); } } 성능 채점 번호 : 20597227 - 방법 3 : BufferedReader + StringBuilder 채점 번호 : 20597227 - 방법 2 : Scanner + StringBuilder 채점 번호 : 20597227 - 방법 1 : Scanner + System.out.println() 입력의 경우는 확실히 Scanner 보다는 BufferedReader 가 빠른 걸 볼 수 있다. 다만 몇가지 TC를 보니 랜덤데이터인지 체점서버 문제인지는 모르겠지만 매번 출력하는 경우 200ms가 나올 때도 있고 위 처럼 120ms가 나올 때도 있어서 위 이미지에서는 차이가 거의 없는 것으로 나온다. 정리 워낙 쉬웠던 문제라 크게 어렵지 않았다. 그래서 소인수에 대해 좀 더 알고갔으면 하는 마음에 소인수분해에 대해 조금 내용보충을 하였다. 혹여 이해가 가지 않는 부분이 있다면 댓글 달아주시면 최대한 빠르게 답변드리도록 하겠다.
[백준] 11653번: 소인수 분해
https://www.acmicpc.net/problem/11653
소인수 분해란?
자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수 분해라고 한다.
1보다 큰 자연수는 유한개의 소수(소인수)의 곱의 꼴로 나타낼 수 있는데, 이 곱의 꼴을 자연수의 소인수 분해라고 한다.
예) 24의 소인수 분해
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2^3 x 3
N = 24 일 때의 소인수 분해를 통해 알고리즘을 알아보자.
d = 2 (2부터 나누어떨어지는지 확인한다.)
24는 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, 24는 2로 나눈 12가 된다.
N = 12
소인수 = 2
12는 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, 12는 2로 나눈 6이 된다.
N = 6
소인수 = 2, 2
6은 2로 나누어떨어지므로 소인수에 2를 담고, 6은 2로 나눈 3이 된다.
N = 3
소인수 = 2, 2, 2
3은 2로 나누어떨어지지 않으므로, 2를 그 다음 수인 3으로 증가시킨다.
d = 3
3은 3으로 나누어떨어지므로 소인수에 3을 담고, 3은 3으로 나눈 1이 된다.
N = 1
소인수 = 2, 2, 2, 3
N이 1이 되면 소인수 분해를 종료한다.
코드
N = int(input()) # 나누어지는 수 d = 2 # 나누는 수 while N != 1: if N % d != 0: d += 1 else: N //= d print(d)
실행 결과
# 입력 20 # 출력 2 2 5
하지만 이 코드는 N이 커질수록 비효율적이다.
1 x 16 = 16
16 2 x 8 = 16
4 x 4 = 16
8 x 2 = 16
16 x 1 = 16
2 x 8 = 16 은 8 x 2 = 16 과 대칭이다. 즉, 가운데 약수를 기준으로 해서 각 등식이 대칭적인 형태를 보이기 때문에 우리는 특정한 자연수 N이 소수인지 확인하기 위해 바로 가운데 약수까지만 ‘나누어떨어지는지’ 확인하면 된다.
위의 예시에서는 가운데 약수가 4이기때문에 2부터 4까지만 확인하면 된다. 다시 말해 제곱근(가운데 약수)까지만 확인하면 된다.
참고
2021.07.28 – [자료구조 알고리즘] – [알고리즘] 소수의 판별 / 약수 / 에라토스테네스의 체 / 파이썬
개선된 코드
import math N = int(input()) # 나누어지는 수 d = 2 # 나누는 수 sqrt = int(math.sqrt(N)) # 나누어지는 수의 제곱근 # 나누는 수가 제곱근이하인 동안 while d <= sqrt: if N % d != 0: # 나누어 떨어지지 않으면 d += 1 # 나누는 수 1 증가 else: # 나누어 떨어지면 print(d) # 소인수니까 출력하고 N //= d # 나누어지는 수도 갱신 # 제곱근까지 나누어떨어지지 않으면, 소수이므로 그대로 출력 if N > 1: print(N)
실행 결과
# 입력1 17 # 출력1 17 # 입력2 12 # 출력2 2 2 3
빠른 소인수 분해 알고리즘
어제 재미있는 한 영상을 보았다. ‘가장 빠른 소인수 분해 계산 방법’ (쇼어의 알고리즘)
영상 내용을 요약하면 다음과 같다.
소인수 분해는 결국 인수를 구하는 과정이며
인수를 구하는 과정은 가짜 y를 구하는 과정이다.
가짜 y를 구하기 위해서는 주어진 N과 서로소인 임의의 z의 주기를 찾는 과정!
따라서 주기를 구한다면 소인수 분해를 할 수 있다.
(영상에 간단한 수식으로 잘 풀어서 설명이 돼있다.)
결론만 말하자면, 결국 일반 컴퓨터에서는 해당 문제를 풀이하기 위해서 N에 근접하는 횟수만큼을 시행해야 하므로 다른 알고리즘보다 더 효율적이거나 하지는 않다. 하지만 양자컴퓨팅을 이용한다면 N의 숫자 길이에 비례하는 아주 빠른 알고리즘이 된다고 한다.
그래도 해당 알고리즘이 너무 신기해서 한번 JS로 구현해보았다.
// 빠른 소인수 분해 const N = 55687; // N = p * q , p,q는 소수 // N = p * q // z^r = 1 mod N // if r % 2 === 0, z^(r/2) !== 1 mod N이고 따라서 가짜 y // y-1 과 N의 gcd를 구하면 해당 수가 p! const gcd = (a, b) => { return b ? gcd(b, a % b) : a; }; const findR = (z, N) => { let mod = 0; let r = 0; while (mod !== 1) { r++; const zr = z ** r; mod = zr % N; if (zr >= Number.MAX_SAFE_INTEGER) return findR(z + 1, N); if (mod === 1) { return r % 2 === 0 ? [z, r] : findR(z + 1, N); } } }; const startT = Date.now(); const [z, r] = findR(2, N); const fakeY = z ** (r / 2) – 1; const p = gcd(N, fakeY); const q = N / p; const endT = Date.now(); console.log(p, q, p * q, endT – startT);
-> 13ms
일반적으로 작성했던 알고리즘과는 얼마나 차이가 날까?
const isPrime = (num) => { for (let i = 2; i * i <= num; i++) { if (num % i == 0) return false; } return true; }; const func = (n) => { for (let i = 2; i * i <= n; i++) { if (n % i === 0 && isPrime(i)) { return i; } } }; const start = Date.now(); const p2 = func(N); const q2 = N / p; const end = Date.now(); console.log(N, p2, q2, `${end - start}ms`); -> 0ms
원래 알고리즘이 더 빠르다!
탐색 범위 자체가 많이 차이가 난다. 작성한 코드 자체에 문제가 있는것 같아 코드를 개선해봤다.
const gcd = (a, b) => { return b ? gcd(b, a % b) : a; }; const findR = (z, N) => { let mod = 0; let r = 0; while (true) { r += 2; const zr = z ** r; mod = zr % N; if (zr >= Number.MAX_SAFE_INTEGER) return findR(z + 1, N); if (mod === 1) { return [z, r]; } } }; const startT = Date.now(); const [z, r] = findR(Math.floor(Math.sqrt(N)), N); const fakeY = z ** (r / 2) – 1; const p = gcd(N, fakeY); const q = N / p; const endT = Date.now(); console.log(N, p, q, z, r, `${endT – startT}ms`);
-> 3ms
1/4 정도로 빨라지기는 했으나, 여전히 두 번째 알고리즘에 비해서는 느리다. 앞서 언급한 대로 거의 N만큼을 탐색해야하기 때문에 일어나는 문제로 보인다.
실제로 사용할 일은 없겠다. 하지만 실생활에 정말로 필요할까? 싶은 수학이 이렇게 실용적인 방면에 활용되는 것이 정말 신기하다. 종종 이런 알고리즘을 찾아보고 구현해봐야겠다.
[논문]소인수 분해 알고리즘
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