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매개변수변환법(媒介變數變換法, 영어: variation of parameters)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법이다.
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매개변수 변환법 – 공돌이의 수학정리노트
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Date Published: 7/10/2021
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Date Published: 2/27/2022
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#2.7 Variation of Parameters(매개변수 변환법) – 공학이야기
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Date Published: 5/11/2022
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Date Published: 8/8/2022
View: 7337
변수변환법(매개 변수 변환법) – 3DMP
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Source: 3dmpengines.tistory.com
Date Published: 5/30/2021
View: 8305
공학 수학(상) – 2계 비제차 선형 미분방정식 매개변수 변환법
앞 챕터에서 배운 2계 비제차방정식의 미정계수법은 사용의 빈도가 높고 간단한 것에 비해 좌변이 상계수여야 한다는 조건이 붙게 되죠.
Source: mathmecha.tistory.com
Date Published: 2/5/2021
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- Date Published: 2021. 9. 17.
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매개변수변환법(媒介變數變換法, 영어: variation of parameters)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법이다.
정의 [ 편집 ]
비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.
y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ′ + a 0 y = r ( x ) {\displaystyle y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\cdots +a_{1}y’+a_{0}y=r\left(x\right)}
위의 식은
y ( x ) = y h ( x ) + y p ( x ) {\displaystyle y\left(x\right)=y_{h}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)}
와 같은 일반해를 갖게 되는데, 매개변수변환법은 y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 를 구하는 방법이다.
y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 가 특정 형태를 가질 경우에는 미정계수법으로도 구할 수 있으나 r ( x ) {\displaystyle r\left(x\right)} 가 미정계수법 표에 소개된 것과 비슷한 형태를 가질때만 사용할 수 있는 단점이 있다. 이에 비해 매개변수변환법은 더 일반적으로 적용할 수 있는 장점이 있다.
고계 미분 방정식 [ 편집 ]
n {\displaystyle n} 이 2보다 큰 고계일 때, y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 를 구하는 방법은 다음과 같다.
y p ( x ) = ∑ k = 1 n y k ( x ) ∫ W k ( x ) W ( x ) r ( x ) d x = y 1 ( x ) ∫ W 1 W ( x ) r ( x ) d x + ⋯ + y n ( x ) ∫ W n ( x ) W ( x ) r ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}&y_{p}\left(x\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{y_{k}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{k}\left(x\right)}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx}}\\&=y_{1}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{1}}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx+\cdots +y_{n}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{n}\left(x\right)}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx}}\end{aligned}}}
W {\displaystyle W} 는 이 함수들의 론스키 행렬식이고, W j ( j = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle W_{j}\left(j=1,\cdots ,n\right)} 는 W {\displaystyle W} 의 j번째 열을 열벡터 [ 0 0 ⋯ 0 1 ] T {\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&\cdots &0&1\\\end{matrix}}\right]^{T}} 로 치환하여 얻어진다.
2계 미분 방정식 [ 편집 ]
n {\displaystyle n} 이 2일 때, y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 를 구하는 방법은 다음과 같다.
y p ( x ) = − y 1 ∫ y 2 r W d x + y 2 ∫ y 1 r W d x {\displaystyle y_{p}\left(x\right)=-y_{1}\int _{}^{}{{\frac {y_{2}r}{W}}dx+y_{2}\int _{}^{}{{\frac {y_{1}r}{W}}dx}}}
여기서 y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}} 는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고, W {\displaystyle W} 는 y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}} 의 론스키 행렬식이다.
W = y 1 y 2 ′ − y 2 y 1 ′ {\displaystyle W=y_{1}y_{2}’-y_{2}y_{1}’}
공돌이의 수학정리노트
Prerequisites
이 포스팅을 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
매개변수 변환법 소개
매개변수 변환법은 비제차 미분방정식을 풀이하기 위해 고안된 방법이다.
미정계수법은 비제차 항이 다항 함수, 코사인, 사인함수, 지수함수인 경우에만 적용할 수 있었지만 매개변수 변환법은 그 활용도가 더 넓다고 할 수 있다.
아래와 같은 2계 비제차 미분방정식을 생각해보자.
식 (1)
위와 같은 2계 비제차 미분방정식의 해는 다음과 같은데,
의 기저 함수는 두 개이므로 조금 더 풀어쓰면 다음과 같다.
여기서 매개변수 변환법의 아이디어는 Reduction of order 편에서 본 것 처럼 의 기저 과 를 이용해서 를 구해낼 수는 없을까 라는 것이다.
다시 말해 아래와 같이
와 같이 를 설정하면 와 에 모두 독립적인 적절한 를 얻어낼 수 있을 것이라는 아이디어이다.
여기서 를 잘 보면 의 과 를 , 로 바꾼 것임을 알 수 있다. 다시 말해, parameter를 바꾼 것이라고 할 수 있고 이런 맥락에서 매개변수 변환법(variation of parameters)라는 method의 이름이 부여된 것이락 볼 수 있다.
아무튼 여기서 중요한 것은 역시도 식(1)을 만족하는 solution이라는 것이다. 따라서 를 식 (1)에 대입해보자.
그러기 위해 1차 미분과 2차 미분을 구해보면,
여기서 을 구하기 전에 아래와 같은 가정을 덧붙여보자.
식 (7)
이 가정은 미분 식을 간단하게 만들어줄 뿐만 아니라 솔루션을 구하는데 매우 핵심적인 역할을 한다. 이 가정은 뒤에 있을 Cramer’s rule에 적용하기 위한 연립 방정식으로 연결되기 때문이다. 우리는 적절한 , 를 찾는 것이 목적이기 때문에 이런 가정까지도 만족하는 와 를 찾기만 하면 되는 것이다.
이런 가정을 가지고 을 구하면,
임을 알 수 있다.
따라서, 원래의 미분방정식에 , , 를 대입하면,
이 식을 와 에 관해 다시 정리해주면,
이다. 여기서 중괄호( ) 안에 있는 방정식은 모두 제차미분방정식의 해를 가지고 써준 것이므로 0이다. 따라서 위의 식은
식 (12)
와 같이 쓸 수 있다.
여기서 식 (7)과 식 (12)를 묶어 다음과 같이 표현해보자.
이 식은 일종의 연립방정식으로 아래와 같이 행렬을 이용해 표현할 수도 있다.
따라서, 우리가 구하게 되는 해는 와 에 관한 것이다.
이 연립방정식을 구할 수 있는 해법 중 하나는 크래머 법칙(Cramer’s rule)이다.
크래머 법칙을 이용하면 아래와 같이 해를 구할 수 있다.
여기서 분모의 를 과 의 론스키안(Wronskian)이라고 부르는데 우리는 라고 적자.
그리고 각 분자에 있는 행렬식은 행렬의 행렬식을 직접 계산할 수 있으므로,
임을 알 수 있다. 따라서,
과 같이 와 를 계산할 수 있게 된다.
따라서, particular solution은
식 (21)
가 됨을 알 수 있다.
예제문제
문제 1.
아래의 미분방정식의 해를 구하시오.
Solution
매개변수 변환법을 이용해 문제를 풀 때 빠질 수 있는 함정 중 하나는 최고 차항의 계수가 1이 아닌 경우에 이것을 1로 만들어줘야 한다는 점이다.
그러기 위해 양변을 로 나눠주자.
2계 선형미분방정식의 해법(2) 편에서 확인한 바와 같이 대입법을 이용해 위 방정식의 제차꼴 해를 풀어주면,
임을 알 수 있다.
따라서 이고, 이다.
식 (21)의 해법을 이용해 비제차 해(particular solution)을 구해보자.
그러기 위해 과 와 Wronskian을 먼저 계산하도록 하자.
따라서, particular solution은
여기서 라는 사실을 이용하자.
의 적분이 아래와 같다는 사실을 이용하자.
여기서 뒤의 두 개 항은 부호만 반대이고 값은 같은 것이므로,
와 같이 particular solution을 구할 수 있다.
따라서 일반해는
이다.
[미분방정식] 15. 매개변수 변환법 – Solution by Variation of Parameters
이전 장에서 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)을 이용해서 비제차 미분방정식(Nonhomogeneous)
$$y” +p(x)y’ + q(x)y = r(x)$$
의 particular solution을 구했습니다.
그러나 이 방법은 사용할 수 있는 $r(x)$가 매우 제한적이었습니다.
비제차 미분방정식을 풀이하는 좀 더 보편적인 방법이 매개변수 변환법(Solution by Variation of Parameters)입니다.
매개변수 변환법
매개변수 변환법에 의하면 비제차 미분방정식(Nonhomogeneous)
$$y” +p(x)y’ + q(x)y = r(x)$$
의 particular solution은 다음과 같습니다.
$$y_p(x) = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$
$y_1, y_2$는 homogeneous ODE
$$y” + p(x)y’ + q(x)y = 0$$
의 두 basis이며,
$W$는 $y_1 과 y_2$의 Wronskian입니다.
$$W = y_1y_2′ – y_2y_1’$$
증명.
Homogeneous ODE
$$y” + p(x)y’ + q(x)y = 0$$
의 general solution이
$$y_h = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$$
인 것에서 유추하여
Nonhomogeneous ODE
$$y” +p(x)y’ + q(x)y = r(x)$$
의 particular solution을
$$y_p = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)$$
로 유추합니다.
$y_1과 y_2$의 계수를 상수가 아닌 함수로 생각하는 것입니다.
그러면,
$$y_p’ = u’y_1 + uy_1′ + v’y_2 + vy_2’$$
여기서 한 가지 가정을 추가합니다.
가정 1. $\quad u’y_1 + v’y_2 = 0 \quad \cdots ~(*)$
그러면,
$$y_p’ = uy_1′ + vy_2’$$
으로 $y_p’$이 한결 간단해집니다.
한번 더 미분하여 $y_p”$를 구합니다.
$$y_p” = u’y_1′ + uy_1” + v’y_2′ + vy_2”$$
이 결과를 미분방정식에 대입하면,
$$(u’y_1′ + uy_1” + v’y_2′ + vy_2”) + p(uy_1′ + vy_2′) + q(uy_1 + vy_2) = r$$
$$\Rightarrow \quad u(y_1” + py_1′ + qy_1) + v(y_2” + py_2′ + qy_2 ) +u’y_1′ + v’y_2′ = r$$
여기서 $y_1과 y_2$는 homogeneous ODE의 두 basis이므로
$$y” + py’ + qy = 0 $$
을 만족합니다.
$$\therefore \quad u’y_1′ + v’y_2′ = r\quad \cdots ~(**)$$
(*)과 (**)을 연립하면,
$$u'(y_1y_2′ – y_2y_1′) = -y_2r\quad and \quad v'(y_1y_2′ – y_2y_1′) = y_2r$$
$$\Rightarrow \quad u’W = -y_2r \quad and \quad v’W = y_1r$$
$$W = Wronskian(y_1, y_2) = y_1y_2′-y_2y_1’$$
$$\therefore \quad u’ = -\frac{y_2r}{W}\quad and \quad v’ = \frac{y_1r}{W}$$
적분하면,
$$u = -\int{\frac{y_2r}{W}dx}, \quad v = \int{\frac{y_1r}{W}dx}$$
$$\therefore \quad y_p = uy_1 + vy_2 = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$
예제 1. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
$$y” + y = \sec{x}$$
Homogeneous ODE
$$y” + y = 0$$
의 Characteristic Equation을 구하면,
$$\lambda^2 + 1 = 0$$
$$\lambda = \pm i$$
$$\therefore \quad y_1 = \cos{x},\quad y_2 = \sin{x}$$
$$y_h = c_1\cos{x} + c_2\sin{x}$$
$$W(y_1, y_2) = \cos{x}\cdot\cos{x} – \sin{x}(-\sin{x}) = \cos{x}^2 + \sin{x}^2 = 1$$
매개변수 변환법을 이용하면,
$$y_p = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$
$$=-\cos{x}\int{\sin{x}(\sec{x})dx}+\sin{x}\int{\cos{x}(\sec{x})dx}$$
$$= -\cos{x}\int{\tan{x}dx} + \sin{x}\int{dx}$$
$$= -\cos{x}\ln{|\sec{x}|} + x\cdot \sin{x}$$
$$ = \cos{x}\ln{|\cos{x}|} + x\cdot\sin{x}$$
$$y = y_h + y_p = c_1\cos{x} + c_2\sin{x} + \cos{x}\ln{|\cos{x}|} + x\cdot\sin{x}$$
#2.7 Variation of Parameters(매개변수 변환법)
지난글에서는 2계미분방정식을 미정계수법을 통해 r(x)를 가정해서 푸는 방법을 알아보았고, 오늘은 그보다는 덜 쓰이지만, 어떤 방정식이 나오든 간에 계산이 좀 더 복잡하지만, 강제로라도 풀 수있는 Variation of Parameters(매개변수 변환법)에 대해서 알아보겠습니다. 이 방법은 Wronskian(론스키안)을 이용한 풀이이므로, 이전의 글을 참조해서 같이 보시면, 더욱 도움되실겁니다.
참조링크
https://lifelectronics.tistory.com/36 (#2.5 Wronskian론스키안)
#0. Variation of Parameters(매개변수 변환법)
2계미분방정식에서 r(x)가 좀 친숙한 형태가 아닐경우에 Homogeneous 한 해는 구할수 있지만, Nonhomogeneous 한 해는 구하기가 어려울 경우에 이용하는 방법입니다. 약간 이전의 방법론들중에서 비슷하다고 느낄수도 있습니다. Reduction of order(계수내림)에서 알아봤듯이, basis에 무언가를 곱해서 새로운 basis 를 만든다는 것에 착안하여, 매개변수 변환법도 Yh에서 나온 y1, y2 basis의 앞쪽에 u(x), v(x)를 곱해서 새로운 basis가 나오도록 하는것이 매개변수 변환법입니다. 이를통해 Yp를 구할 수 있다는 것이 핵심 아이디어입니다.
#1. 유도과정
이 유도과정에는 상당히 복잡한 계산과 가정이 들어갑니다. 물론 저도 왜 그렇게 가정해야만 하는지 엄밀한 증명을 할 수 있으면 좋겠으나, 실력이 안되고 (ㅡ.ㅡ), 공학수학의 목적이 수학적증명보다는 그를 이용하는 측면에 있기에, 유도 과정에 있어서 조금 특수한 가정이 들어가라도, 여기서는 잠시 가정을 인정하고 결과로 넘어가길 바랍니다.
앞에서 Yp를 가정했기에 미분을 통해 미분방정식에 대입해줍니다.
미분방정식에 대입하면
여기서 앞의 두항은 y1, y2 가 들어간 미분방정식이기떄문에 homogeneous 한 해로써 0 이 되고 남는것은 뒤쪽의 항들과 P로 묶인항이 남게 됩니다. 여기서 P로 묶인 괄호안의 항을 이라고 가정하고 풀이를 진행해봅시다. 여기서 약간의 식조작이 필요합니다. 괄호안의 항을 1반식이라고 하겠습니다. 그리고 이 1번식을 미분한것을 2번식이라고 하겠습니다.
위가 1번식 아래가 1번식을 미분한 2번식입니다. 2번식을 다시 위로 올라가서 P앞쪽항에다가 대입해보면 사라지는것들이 있을겁니다. 그것을 정리하면
이 됩니다. 이것을 3번식이라 하겠습니다.
1번식에 y2’을 곱하고, 3번식에는 y2를 곱한후, 3번식에서 1번식을 빼면
마지막식에 괄호안이 어디선가 본 것같은 느낌이죠? 론스키안의 형태입니다. W를 이용해서 다시 써보면
이제 u’의 dx를 활용하여 변수분리의 형태를 만들수 있기때문에 적분해주시면 됩니다.
마찬가지로 V도 구할수 있습니다. 1번식에 y1’을 곱하고 3번식에는 y1을 곱해서 마찬가지방법으로 V를 구해주면
가 됩니다. 당연히 r은 연속이어야 적분이 가능하겠죠? 이렇게 해서 u와 v를 구해서 특수해 Yp를 구할수 있게 됩니다. 여기서 자세히 보시면, u와 v는 P와 Q식에 관계가 없음을 알 수 있습니다. 이전에 배웠던 미정계수법보다 더 포괄적으로 여러가지 미분방정식을 풀 수 있다는 것이지요.
#2. 이렇게 해서….
이렇게 해서 2계미분방정식에 대한 기본적인 풀이방법들을 모두 소개했습니다. Homogeneous한 해는 오일러코시방정식이나, 특성방정식을 이용해서 구하고, Nonhomogeneous 한 해는 미정계수법과 매개변수변환을 이용하여 특수해를 구한 후, 중첩의 원리에 따라 합이 2계미분방정식의 해가 되는 것입니다.
8. 매개변수 변환법을 이용한 상수계수를 갖는 비제차 2차 상미분방정식의 풀이
Contents
매개변수 변환법 (the method of Variation of Parameter)
미정계수법은 상수계수를 갖는 2차 ODE를 풀이하기에 좋은 방법이지만, 시간이 비교적 오래 걸리는 단점이 있습니다. 그리고 $y_p(t)$의 형태가 $y_h(t)$에 포함되어 있는지도 해를 구하기 전에 미리 예측해야 하는 번거로움이 있습니다. 이러한 문제점들을 보완하기 위해 매개변수 변환법(method of Variation of Parameter)을 이용할 수 있습니다.
매개변수 변환법 (the method of Variation of Parameter)
1) 매개변수 변환법 개념
다음과 같은 미분방정식이 주어졌다고 생각하겠습니다.
이때 매개변수 변환법을 이용해서 $y_p(t)$를 구하는 것은 해의 형태를 아래처럼 둔다는 것을 뜻합니다
즉, 주어진 미분방정식이 제차 ODE일 때 얻은 해의 기저들의 계수를 하나의 변수로 두고, 이를 풀이해서 $y_p(t)$를 얻는 것입니다. 각각의 매개변수 계수 $u(t)$와 $v(t)$는 다음과 같습니다.
예시를 통해 이해해보도록 하겠습니다.
우선 제차 상미분방정식일 때의 해 $y_h(t)$일 때의 해부터 구하겠습니다.
그리고 매개변수 변환법을 이용해서 $y_p(t)$를 구할 수 있습니다.
그리고 주어진 초기조건을 이용해서 조건에 적합하는 유일한 해를 구할 수 있습니다.
2) 의의와 한계
매개변수 변환법을 이용하면 상수계수를 갖는 모든 2차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 또는 오일러 코시 상미분방정식 (Euler-Cauchy ODE, $t^2y’’+ty’+y=r(t)$)를 풀이할 수 있습니다. 하지만, 변수를 계수로 갖는 2차 상미분방정식을 풀이하는 데에는 제한이 있습니다. 이러한 미분방정식을 풀 때는 급수해(Series Solution)를 이용하거나 수치해석(Numerical Analysis)를 이용합니다.
변수변환법(매개 변수 변환법)
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작성자 : 송정헌
강의를 보고 분명 나중에 까먹을것 같아 정리한 것인데
수식기로 써내려가다보니 오타가 있을 수 있음음로 만약 오타 발견 후 댓글 달아주시면 수정하겠습니다
아래 식중 미분방정식을 f(x) 라고 쓴건 모두 f(y) 임..
변수 변환법
f(x) 에 y_c 를 대입해 0 이 나왔다는 것은 동차DE(동차미분방정식)의 해와 같다고 할 수 있음으로 이것을 f(x) 가 0 이 되는 해를 동차 미분 방정식의 일반해로 놓을 수 있다
차수에 따라 독립해들의 개수가 증가한다
1차=y_1(해의 개수 1개) , 2차 =y_1, y_2 , … ,
n차 = y_1 , y_2 , …. y_n
즉 이 y_p 가 유도되어 졌다는 것은 y_p = u_1*y_1 로 부터 구해질 수 있다는 것임으로 u_1 의 식을 구할 수 있다면
해를 구할 수 있다는 것!!
차수에 따른 u_n -> n개의 함수를 구해야 한다
y_1u_1′ + y_2u_2′ =0 으로 두는 이유는.. f(x) 에
y_p’, y_p”(y_1u_1′ + y_2u_2′ =0 을 적용하지 않고 그냥 두번 미분한 식) 을 대입하여 정리하면
d[y_1u_1′ + y_2u_2′]/dx + p(x)[y_1u_1′ + y_2u_2′] + y_1’u_1′ + y_2’u_2′
로 f(x) 가 풀이 되는데 특수해 y_p 를 대입한 f(x) 가 나온다는 것은 특수해는
수 많은 해 중에 하나를 구해내면 나머지 계수, 함수등을 연립하는 등으로
풀어낼 수 있기 때문에 먼저 식을 간단 하게 하기 위하여
다시말해 해를 하나 뽑아낸다는 가정으로
d[y_1u_1′ + y_2u_2′]/dx + p(x)[y_1u_1′ + y_2u_2′] 을
y_1u_1′ + y_2u_2′ = 0 으로 가정한다
그래서 특수해 y_p 에 해당하는 하나의 해는
f(x) = y_1’u_1′ + y_2’u_2′ 로써 추론해 갈 수 있다
2차 = y_1’u_1′ + y_2’u_2′
3차 = y_1”u_1′ + y_2”u_2′ + y_3”’u_3′
n 차
y_1^(n-1번미분)u_1′ + y_2^(n-1번미분)u_2′ + …… + y_n^(n-1번미분) u_n’
[오타 수정 : y_1′ + py’ + Qy_1 => y_1′ + py_1′ + Qy_1] [오타 수정 : y_1′ + py’ + Qy_1 => y_1′ + py_1′ + Qy_1]끝~!!
참고 자료
보다보면 다음의 것들이 궁금할 수 있기에 주소를 포스팅해놓는다
크래머 공식(연립방정식 해를 구하는 행렬식)
http://web3.c2.cyworld.com/myhompy/board/retrieveBoard.php?home_id=a0619041&lmenuSeq=204317&smenuSeq=257257&postSeq=6651428&referrer=http%3A%2F%2Fweb3.c2.cyworld.com%2Fmyhompy%2Fmain.php%3Fhome_id%3Da0619041%26referrer%3Dhttp%253A%252F%252Fcyhome.cyworld.com%252F%253Fhome_id%253Da0619041
론스키 행렬식(= 결과 값이 0 이 아니면 1차 독립이다 )
http://web3.c2.cyworld.com/myhompy/board/retrieveBoard.php?home_id=a0619041&lmenuSeq=204317&smenuSeq=564534&pageNo=1&postSeq=6555657&view=bbs&menu=smenu
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공학 수학(상) – 2계 비제차 선형 미분방정식 매개변수 변환법
앞 챕터에서 배운 2계 비제차방정식의 미정계수법은 사용의 빈도가 높고 간단한 것에 비해 좌변이 상계수여야 한다는 조건이 붙게 되죠. 완전히 일반적인 2계 비제차방정식의 경우에 적용할 수 없는 한계가 있습니다.
이제는 모든 범위의 2계 비제차방정식을 해결할 수 있는 완전히 일반적인 방법을 공부할 순서가 됐습니다. 바로 ‘매개변수변환법 (Method of Variation of Parameters)’ 인데요. 유도 과정은 불필요할 수 있으나 참고를 위해 내용을 넣게 되었습니다. 또한 복잡한 방정식의 경우 풀이 과정이 간단하지는 않습니다. 그러나 수학과가 아니므로 모든 어려운 연습 문제들을 반드시 풀어야 할 필요는 없는 것이고 역학에서 필요한 내용에 대해서 이해만 해놓는다면 공학 전반을 이해하는데 도움이 될 것 같습니다. ^^
매개변수 변환법 – 유도
이 해법의 아이디어는 2계 제차방정식의 일반해에서 출발합니다. 아래와 같이 2계 비제차방정식이 있을 때,
식.1 2계 비제차방정식의 기본형
‘r(x)=0’ 인 2계 제차방정식의 해는 식.2와 같다고 배웠습니다. y1, y2는 해의 기저로써 우리가 알고 있다고 가정합니다.
식.2 제차방정식의 일반해
여기서 c1, c2는 제차방정식의 해 yh의 ‘매개변수(Parameters)’이며 이 변수들을 목적에 맞게 다른 함수로 ‘변환(치환)’ 하게 됩니다. 그래서 ‘매개변수변환법’ 이라는 이름이 붙은 거지요. 목적은 바로 특수해 yp를 얻기 위함입니다. c1, c2를 함수 u(x), v(x)로 치환(식.3)합니다. 적절한 함수가 정해지면 제차방정식의 일반해 yh는 비제차방정식의 특수해 yp가 될 수도 있겠죠. (그것이 뭔지는 아직 모르지만…) 이제 그 값을 결정해야 합니다.
식.3
식.1에 대입할 yp의 도함수를 구합니다.
식.4
식을 간단히 하고 결국에는 특수해의 형태가 가장 간단한 모습을 나타내도록 함수 u(x), v(x)에 조건을 걸어줍니다. 식.5와 같이 말이죠.
식.5
우리가 내 건 u(x), v(x)의 조건은 아래 2가지입니다. (결국 유도를 완료하면 2가지 조건에 만족함을 알게 됩니다.)
1. 함수 u(x), v(x)로 인해 특수해가 될 수 있을 것
2. 식.4를 만족하는 함수일 것
이 조건들은 특수해를 얻고 가장 단순화된 형태의 해를 얻기 위한 조건입니다. 이제 식.5를 식.4에 대입하여 간단하게 합니다.
식.6
한번 더 미분합니다.
식.7
식.3, 식.6, 식.7을 식.1에 대입하여 정리합니다.
식.8
y1, y2가 제차방정식의 해이기 때문에 괄호 안의 식들은 ‘0’이 된다. 따라서 식.9와 같이 쓸 수 있겠죠.
식.9
이제 식.9를 식.5와 연립하여 정리할 것입니다. 우선 식.5에 (y2′)를 곱하고 식.9에 (-y2)를 곱하여 더해줍니다.
식.10
그리고 식.5에 (-y1′)을 곱하고 식.9에 (y1)을 곱하여 더해줍니다.
식.11
식.10과 식.11에 있는 괄호안의 공통항을 W (Wronskian)로 대체하고 u, v에 대한 식으로 정리합니다. (Wronskian에 대한 내용은 생략)
식.12
특수해 yp의 조건에 만족하는 u, v를 얻어냈습니다. 이제 식.12를 식.3에 대입하면 2계 비제차방정식의 특수해 yp를 얻을 수 있습니다.
매개변수 변환법 – 풀이
위의 유도과정에서 필요한 부분만 빼서 정리해보겠습니다. ^^
식.13
이제 예제를 통해 어떤 과정으로 흘러가는지 이해해보겠습니다.
예) 아래의 2계 비제차방정식의 일반해를 구하여라.
식.14
제차방정식의 해의 기저는 다음과 같겠네요.
식.15
W를 계산할 수 있습니다.
식.16
따라서 특수해 yp는
식.17
비제차방정식의 일반해는 (제차방정식의 일반해+비제차방정식의 특수해) 이죠.
식.18
미정 상수들은 합쳐버리면 되고 정리하면 일반해는 아래와 같습니다.
식.19
이상으로 2계 선형 미분방정식의 해를 구하는 긴 과정을 마치겠습니다. ^^
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