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이번 영상부터, 상미분방정식의 기초 에 대해서도
업로드하여 스터디를 함께 진행하고자 합니다 ..^^
조금이나마 도움이 되어드릴 수 있었으면 합니다 🙂
다른 영상 기다려주시는 분들이 있으신데, 조금만 더 기다려주세요 ㅠ
항상 감사합니다 ^^
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[미분방정식] 1. 변수분리형 미분방정식 – 고뿔잽이
미분방정식 개요편에서 우리는 미분방정식을 보는 순간 n계 n차 (비)선형 (상or편)미분방정식 임을 알수있어야. 그에 따른 풀이법을 적용할수 있다 …
Source: aoo1206.tistory.com
Date Published: 4/19/2021
View: 8084
3. 변수 분리형 미분방정식과 해법 – 공데셍
지난 글에서 일계 미분방정식의 하위 분류 중 선형 일계미분방정식의 경우에는 양변에 적분인자를 곱해준 후 양변을 독립변수에 대해 적분해주면 해를 …
Source: vegatrash.tistory.com
Date Published: 12/20/2022
View: 5941
[미분방정식] 2. 변수 분리가 가능한 미분방정식 – Separable ODEs
변수분리 만약 어떤 미분방정식이 의 형태로 각각의 변수끼리 변수 분리가 가능하다면 미분방정식의 풀이가 한결 간결해지기 때문에, 미분방정식을 접 …
Source: min-97.tistory.com
Date Published: 8/22/2021
View: 3440
변수분리형 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
변수분리형 방정식(separable equation)은 상미분방정식의 일종이다. … 는 아래와 같이 대수적 조작을 통해 변환할 수 있다. … 위의 식을 변수분리형방정식이라 하고, 양변 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 5/9/2021
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미분방정식/풀이 – 나무위키:대문
변수분리형(separation of variables)1.4. 완전형(exact ODE)1.5. 비선형 미분방정식. 2. 편미분방정식. 2.1. 미분작용소2.2. 존재성과 정규성2.3. 대수적 풀이법2.4.
Source: namu.wiki
Date Published: 11/24/2021
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1계 변수분리형 미분방정식 | 일반해와 예제 하나
변수분리형 미분방정식 (seperable equations, SE) “equation이 seperable하다, equation이 seperable valuation을 가진다”라고도 표현한다. 변수분리형 미분방정식은 …
Source: splendidlolli.tistory.com
Date Published: 3/22/2021
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주제에 대한 기사 평가 변수 분리형 미분 방정식
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- Date Published: 2020. 5. 3.
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[미분방정식] 1. 변수분리형 미분방정식
미분방정식 개요편에서 우리는 미분방정식을 보는 순간 n계 n차 (비)선형 (상or편)미분방정식 임을 알수있어야
그에 따른 풀이법을 적용할수 있다 했다. 하지만 오늘 처음 소개할 해법은 종류를 나눌 필요도 없이
x,dx 끼리, y,dy 끼리 분리할수 있는 특수한 경우에 무조건 사용할수 있는 강력한 방법인 변수분리형 미분방정식이다.
변수분리형 미분방정식이란?
HOW TO SOL?
( 미분방정식의 해는 독립변수와 종속변수 사이의 관계라는것을 미분방정식 개요편에서 다루었음 )
어케 푸는지 감 잡았으면 변수분리형 관련 예제를 한번 풀어보자.
미분방정식의 종류를 나누기 전에 h(y)dy=g(x)dx 꼴로 변수분리 할수 있다면
간단히 풀수 있으니 반드시 기억해둬야할 풀이법.
(PS/글 이해 잘되면 다음글로 넘길것)
추가적으로 미분방정식 관련된 글은 전부 고등학교 수학을 전제된 상황에서 글을 쓰고 있으니,
적분과정이나 미분과정에서 못알아 먹겠다면 현 교육과정 미적분2 교재를 얻어서 공식을 외우길 바란다.
수능수학에서 낮은 점수대를 받았어도 지금부터 열심히 하면 상관없다.
수능수학에서 좋은꼴을 못봤어도 대학수학과정이랑 물어보는 성격이 완전히 다르기 때문에
(수능수학은 문제를 위한 문제를 내고, 대학수학은 개념만 제대로 이해했으면 꼬아서는 안내기 때문)
열심히만 하면 대학수학에서 좋은 결과를 이끌어낼수 있을것!
또, 이번 변수분리형 편과 같이 글이 짧게 발행되었을때에는 사이사이 짤막한 지식을 적어보겠다.
미분방정식의 쓰임새 알아보기
1. 공대에 있는 거의 모든 공학내용에 미분방정식이 쓰임
2. 공대에서 수학 단일과목으로는 공업수학의 전반적인 내용 // 공식 활용 위주의 시험방식
3. 수학과에서는 여러과목으로 분할되서 출제 // 이 미분방정식의 해가 어떻게 나오는가? – 증명에 주안점을 두고 공부
4. 편입수학에서 쓰임
편입수학에서 미분방정식이 들어가 시험으로 나오는 형태는 대부분 객관식위주 //
따라서 공식 활용위주의 공부가 좀더 효율적이다.
편입수학에서 쓰이는경우 서성한 까지 // 연고대는 대학미적분학시험으로 나옴 –
서울대는 포함되지만 학사편입만 가능하므로 열외
5. 실무에서의 쓰임
의학,기계,전기,전자,건축 등 여러가지 산업현장에서 모델링 그대로 미분방정식을 활용하는 경우가 있다.
따라서 대학시절 공부할때 제대로 해둬서 까먹어도 바로 복구할수 있을정도로 공부하자!
날림공부하면 나중에 골치아파진다.
마지막 정리
dx쪽에는 x로 몰아넣기, dy쪽에는 y로 몰아넣기
이후 양변에 인테그랄을 첨부 -> 적분 ( 적분공식 미적분2 수준으로 전부 익힐것 )
이후 여러 공식을 활용하여 y=f(x) 꼴로 깔끔히 표현 ( y = 꼴로 표현이 안되면 f(x,y) 꼴로 표현해도 상관 x )
3. 변수 분리형 미분방정식과 해법
지난 글에서 일계 미분방정식의 하위 분류 중 선형 일계미분방정식의 경우에는
양변에 적분인자를 곱해준 후 양변을 독립변수에 대해 적분해주면 해를 구할 수 있다는 것을 알았다.
이번에는 일계미분방정식 중 선형이 아님에도 불구하고 특수한 조건 하에는
양변에 적분을 해줌으로써 해를 구할 수 있다는 것을 보일 것이다.
일반적인(General) 일계 미분방정식은 다음 꼴을 갖는다.
$$ \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \tag{식 1}$$
참고로 이번 글에서는 독립변수로 $t$ 대신 $x$ 를 이용할 것이다.
$(\text{식} 1)$ 을 적당히 변형하면 다음과 같은 꼴을 얻을 수 있다.
$$ M(x, y) + N(x, y)\dfrac{dy}{dx} = 0 $$
이렇게 변형하는것은 항상 가능하다.
한 가지 방법으로 $(\text{식} 1)$ 에서 $M(x, y) = -f(x, y)$ 라 하고 $N(x, y) = 1$ 이라고 하면 된다.
이것 말고도 다른 여러 방법이 있을 수 있다. 따라서 이 식 역시 일반적인 일계 미분방정식이다.
이 중 특수한 경우를 선택하자.
만약 $M$ 가 오직 $x$ 만의 함수이고 $N$ 이 $y$ 만의 함수이면 다음과 같다.
$$ M(x) + N(y)\dfrac{dy}{dx} = 0 $$
이 경우, 적분을 통해 바로 해를 찾을 수 있다. 미분형식으로 표현하면 다음과 같기 때문이다.
$$ M(x)dx + N(y)dy = 0 $$
이런 형태의 미분방정식을 변수분리형 미분방정식이라고 부른다.
예제 1
다음 미분방정식을 푸시오.
$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1 – y^2} $$
더보기 먼저 푸는 방법을 보인 후 이러한 방법이 왜 가능한것인지 설명할 것이다. 우선 이 미분방정식은 변수분리형 미분방정식이다. 왜냐하면 다음과 같이 $M(x) + N(y) \dfrac{dy}{dx} = 0$ 꼴로 변형이 되기 때문이다. $$ -x^2 + (1 – y^2)\dfrac{dy}{dx} $$ 식을 변형하여 다음과 같이 만들자. $$ (1 – y^2) dy = x^2 dx $$ 양변을 부정적분한다. $$ y – \dfrac{1}{3}y^3 = \dfrac{1}{3} x^3 + C_1 $$ 양변에 $3$ 을 곱한 후 식을 정리하여 다음 결과를 얻는다. $$ x^3 – 3y + y^3 = C $$ 따라서 위 등식이 성립하게하는 모든 미분가능한 함수 $y = \phi(x)$ 가 이 미분방정식의 해이다.
이 문제를 푸는 과정에서 다음과 같은 과정을 거쳤다.
$$ \begin{align} &f(x) dx = g(y) dy \\ \Longrightarrow \int &f(x) dx = \int g(y) dy \end{align} $$
왜 양변을 적분해도 되는 것인지 이유를 알아보자면 다음과 같다.
일반적인 변수분리형 미분방정식의 꼴은 다음과 같다고 했었다.
$$ M(x) + N(y)\dfrac{dy}{dx} = 0 \tag{식 1}$$
이 때 $A'(x) = M(x), \; B'(y) = N(y)$ 라고 하면 다음과 같다.
$$ A'(x) + \textcolor{skyblue}{B'(y) \dfrac{dy}{dx}} = 0 \tag{식 2}$$
한편, $y$ 가 $x$ 에 대해 미분가능한 함수라면, 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다.
$$ \dfrac{d}{dx}B(y) = B'(y)y’ = \textcolor{skyblue}{B'(y)\dfrac{dy}{dx}} $$
이 결과를 $(\text{식 2})$ 에 반영하면
$$ \dfrac{d}{dx} \bigg[ A(x) + B(y) \bigg] = 0 $$
이제 미적분학의 기본정리에 의해 양변을 $x$ 에 대해 적분하면 다음의 해를 얻는다.
$$ A(x) + B(y) = C \tag{식 3}$$
이는 $(\text{식 1})$ 을 미분형식(Differential form)으로 표현한 다음 식의 양변을 적분한 결과와 같다.
$$ M(x)dx = -N(y)dy $$
따라서 변수분리형 미분방정식의 경우엔 각각의 변수에 대해 미분형식으로 표현한 후
양변을 각각의 변수에 대해 적분하여 푼 것과 결론이 같다.
만약 초기값으로 $y(x_0) = y_0$ 이 주어져 있다면
위에서 얻은 $(\text{식 3})$ 에 이 값을 대입하여 $C$ 를 결정해주기만 하면 된다.
예제 2
다음 초기값을 갖는 미분방정식을 풀고 해가 어떤 구간에서 존재하는지 찾아라.
$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x^2 + 4x + 2}{2(y – 1)}, \quad y(0) = -1 $$
더보기 다음과 같이 식을 변형하자. $$ 2(y – 1) dy = (3x^2 + 4x + 2) dx $$ 변수분리형 미분방정식이므로 양변을 부정적분하여 풀자. 좌변을 $y$ 에 대해 부정적분하고 우변을 $x$ 에 대해 부정적분하면 다음과 같다. $$ y^2 – 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C, \; \text{C 는 적분상수}$$ 초기조건을 만족하는 $C$ 를 찾기 위해 초기값 $y(0) = -1$ 을 대입하여 $C = 3$ 을 얻는다. 따라서 초기값을 만족하는 미분방정식의 음함수꼴 해는 다음과 같다. $$ y^2 – 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + 3 $$ 이 해의 좌변에 $1$ 을 더해 완전제곱꼴로 만들 수 있으므로 해를 양함수 꼴로 만들어주면 다음을 얻는다. $$ y = 1 \pm \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x + 4} $$ 플러스 마이너스의 두 가지 해 중 초기조건 $y(0) = -1$ 을 만족하는 해는 마이너스일 때이다. 따라서 초기조건을 만족하는 양함수 해는 다음과 같다. $$ y = \phi(x) = 1 – \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x + 4} $$ 이 함수가 유효한 $x$ 범위를 찾기 위해서는 루트안의 값이 양수가 되는 $x$ 를 찾아야 한다. 루트안의 식 $x^3 + 2x^2 + 2x + 4$ 는 $(x+2)(x^2 + 2)$ 로 인수분해되고 최고차항 계수가 양수이므로 $x > -2$ 에서 양의 값을 갖는다. 따라서 $x > -2$ 의 구간에 해가 존재한다. 위 그림의 곡선은 이 미분방정식이 가질 수 있는 방향장(Direction Field)을 이은것으로 초록색으로 표현된 곡선이 주어진 초기값의 해를 나타낸다. 해가 유효한 구간이 곡선이 수직이 되는 점 $( x = -2)$ 에서 결정이 된다는 사실을 주목하자.
[미분방정식] 2. 변수 분리가 가능한 미분방정식 – Separable ODEs
변수분리
만약 어떤 미분방정식이
의 형태로 각각의 변수끼리 변수 분리가 가능하다면 미분방정식의 풀이가 한결 간결해지기 때문에, 미분방정식을 접하면 가장 먼저 변수 분리가 가능한지 살펴보는 것이 중요합니다.
변수 분리에 성공했다면, 이후에 아래와 같은 과정을 통해 쉽게 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
의 결과를 (*)에 대입하면,
다음으로 몇가지 간단한 예제를 살펴보겠습니다.
예제 1. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
적분하면,
예제 2. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
적분하면,
예제 3. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
적분하면,
$u=\frac{y}{x}$ 치환
적당히 치환하여 변수분리가 가능한 꼴로 방정식을 변환한 후, 미분방정식을 해결할 수도 있습니다.
그 중에서도 1차 ODE의 우변이 y/x로 표현된다면, 그 해답을 쉽게 구할 수 있습니다.
이 결과를 (**)에 대입하면,
로 정리되어 적분이 한결 쉬워집니다.
예제 4. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
양변을$2xy$로 나누면
적분하면,
위키백과, 우리 모두의 백과사전
변수분리형 방정식(separable equation)은 상미분방정식의 일종이다.
g ( y ) y ′ = f ( x ) {\displaystyle g(y)y’=f\left(x\right)}
는 아래와 같이 대수적 조작을 통해 변환할 수 있다.
g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g\left(y\right)dy=f\left(x\right)dx}
위의 식을 변수분리형방정식이라 하고, 양변을 적분하면 값을 손쉽게 구할 수 있다.
∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x + c {\displaystyle \int _{}^{}{g\left(y\right)dy=\int _{}^{}{f\left(x\right)dx+c}}}
참고도서 [ 편집 ]
자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 1계 변수분리형 미분방정식
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변수분리형 미분방정식 (seperable equations, SE)
“equation이 seperable하다, equation이 seperable valuation을 가진다”라고도 표현한다.
변수분리형 미분방정식은 ‘두 개의 변수’를 가지고 있다. x와 y라고 하자.
x식과 y식이 섞여있는 상태일텐데, 이 식을 적절히 분리하여 같은 변수를 가진 식을 같은 항으로 만들어줄 수 있다. 이렇게 변수분리 할 수 있는 미분방정식을 ‘변수분리형 미분방정식’이라고 한다.
즉,
dy/dx = g(x)h(x)
위와 같은 형태의 1계 미분방정식은 분리가능하다 (seperable).
혹은 변수분리가능하다 (seperable variables).
미분방정식이 주어지면, 그것이 변수분리형 미방인지 확인해본 뒤, 변수분리가 가능하다면 변수분리하여 풀면 된다.
분리불가능 예) dy/dx = y+sin(x)
분리불가능 이유) x의 함수와 y의 함수의 곱으로 분해할 방법이 없다
1계 변수분리형 미분방정식의 일반해
일단 변수분리형 미방은 다음과 같은 과정으로 일반해를 구해낼 수 있다.
그냥.. 변수를 한쪽으로 몰고 나서 적분 등의 과정을 통해 일반해를 구하는 것이다.
그리고 문제에서 초기조건을 주었다면, 그것을 이용해서 임의상수를 구해내면 되겠지.
예제로 익히기
간단한 예제를 하나 풀어보자.
변수분리형 미분방정식의 해를 구하는 간단한 예제.
미분방정식 : (1+x)dy -ydx =0
초기조건: y(0) =2
이제 초기조건을 이용하여 임의 상수를 구해주면
미분방정식의 해를 찾을 수 있다.
사실 변수분리를 할 때에는 주의해야 할 점이 있다.
다음 포스팅에서 소개하겠다.
splendidlolli.tistory.com/276
키워드에 대한 정보 변수 분리형 미분 방정식
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