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[Raf기계스토리] 일반기계기사 필기 – 동역학(7) – 감쇠 비감쇠 진동해석
오늘이 아니면 이번주 시험까지 영상을 못올려드릴것 같아서 …
몸상태가 안좋았는데 영상을 급하게 찍었습니다 ㅠㅠ
영상 퀄리티가 이전 영상들에 비해 다소 떨어져보이더라도 양해 부탁드립니다ㅠㅠㅠㅠ
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[기계 진동] 9. 1자유도 감쇠 시스템의 응답(2) – 일반감쇠운동의 …
는 ‘감쇠 고유진동수(damped natural frequency)’라고 부릅니다. 어찌보면 식이 복잡하기 때문에 계산 전략상 적절하게 치환했다고 생각해도 무방 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 12/26/2021
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메인페이지 바로가기 – 한국소음진동공학회
감쇠가 있는 계의 고유 진동수를 의미하며, 일반적으로 계의 감쇠비( ), 즉 임계 감쇠 계수에 대한 감쇠 계수의 비로 표현할 경우 다음과 같이 정의된다.
Source: www.ksnve.or.kr
Date Published: 12/23/2021
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[기계진동] 공진(Resonance)과 고유진동수(Natural frequency)
비감쇠고유진동수(Undamped natural frequency)로 나뉩니다. 두 고유진동수 모두 위의 2차 미분방정식에서 구할 수 있는데요. 흔히 고유진동수라 하면 비 …
Source: study2give.tistory.com
Date Published: 2/4/2022
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감쇠비 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
감쇠비(減衰比, damping ratio)는 보통 ζ (제타)로 표시되는 이계 상미분 방정식의 주파수 응답 특성을 나타내는 값이다. 질량 m, 감쇠계수 c, 강성 k인 감쇠조화 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 10/29/2021
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03.비감쇠 자유 진동(Undamped Free Vibration) – 병진운동
고유진동수(Natural Frequency) 라 하고 ωn 으로 표기한다. 식.5의 지수함수 해의 일반해는. 식.
Source: mathmecha.tistory.com
Date Published: 7/8/2021
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3-1.5절 감쇠 자유진동: 비비례감쇠
U 를 운동방정식에 대입하면, 복소 모드형상(complex mode shape)과 복소 감쇠 고유. 진동수(complex damped natural frequency)를 구할 수 있다.
Source: www.kim2kie.com
Date Published: 3/14/2021
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진동의 기초
고유진동수(natural frequency) … 선형 점성감쇠 : 크기는 요소의 진동속도에 비례하고 진동속도와 반대 방향으로 작용. 하는 저항력을 발생 …
Source: www.shinhoent.co.kr
Date Published: 10/12/2022
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주제에 대한 기사 평가 감쇠 고유 진동수
- Author: Raf기계스토리
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- Date Published: 2021. 9. 9.
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[기계 진동] 9. 1자유도 감쇠 시스템의 응답(2) – 일반감쇠운동의 해, The Solution of Underdamped Motion in Damped Single-Degree-of-Freedom System
[기계 진동] 9. 1자유도 감쇠 시스템의 응답(2) – 일반감쇠운동의 해, The Solution of Underdamped Motion in Damped Single-Degree-of-Freedom System이전 포스팅에서 운동방정식과 특성방정식의 해인 람다(λ)를 얻었습니다.
여기에서 감쇠비인 제타(ζ)의 범위에 따라서 람다(λ)의 특성이 달라집니다. 다시 말해서 감쇠비의 범위에 따라 운동방정식의 해가 달라지는 것이죠. 제타(ζ)의 범위에 따라 1. 일반감쇠운동(0<ζ<1), 2. 임계감쇠운동(ζ=1), 3. 과도감쇠운동(ζ>1) 으로 나눌 수 있습니다. 그러므로 제타(ζ)의 범위에 따라 운동방정식의 해가 세 종류가 됩니다.
1. 일반감쇠운동(underdamped motion)
람다(λ)를 앞서 가정한 운동방정식의 해에 대입합니다. 감쇠비 제타(ζ)의 범위는 0과 1사이이기 때문에 0.xxx이고, 1보다 작은 수를 제곱하면 그 값은 더 작아지기 때문에 제타(ζ)의 제곱에서 1을 빼면 근호 안은 음수가 되므로 복소수가 됩니다.
는 ‘감쇠 고유진동수(damped natural frequency)’라고 부릅니다. 어찌보면 식이 복잡하기 때문에 계산 전략상 적절하게 치환했다고 생각해도 무방합니다. 그리고 오일러 공식을 적용해서 정리하면 다음과 같습니다.
이렇게 얻은 해를 시간에 대해 미분해봅시다.
아 졸라 복잡하다…
이제 이 윗 식에 초기조건을 적용(…)해 봅시다.
다시
이렇게 정리한 식에 초기조건을 적용한 A1과 A2를 대입합니다. 하…지친다 지쳐…
그럼 최종적으로 운동방정식의 해는 다음과 같습니다.
이렇게 일반감쇠운동에 대한 응답을 구했습니다.
만약 초기변위가 0 그리고 초기속도는 1, 감쇠비는 0.17, 고유진동수는 2로 주어진 시스템이 있다면, 이 시스템의 응답은 다음과 같습니다.
그래프로 나타내면 다음 그림과 같습니다.
시간이 지남에 따라 진동이 감소하는 것을 확인할 수 있습니다. 진동이 감소하는 것은 e의 지수가 음수이기 때문입니다. t를 무한대로 보내면(t→∞) 지수항은 0으로 수렴합니다.
따라서 진동은 시간이 지남에 따라 결국 소멸되겠죠. 만약 이 지수항이 없으면 해는 비감쇠 시스템의 응답과 같습니다.
D/A Converter D/A 변환기
A/D(analog to digital) 변환기의 반대되는 개념으로 이산 신호 처리를 끝낸 이산 신호를 연속 신호로 만드는 변환기이다.
Damped Natural Frequency 감쇠 고유 진동수
감쇠가 있는 계의 고유 진동수를 의미하며, 일반적으로 계의 감쇠비( ), 즉 임계 감쇠 계수에 대한 감쇠 계수의 비로 표현할 경우 다음과 같이 정의된다. 여기서 는 감쇠 고유 진동수, 은 감쇠가 없을 때의 고유 진동수, 즉 비감쇠 고유 진동수를 각각 의미한다.
Damping 감쇠
일반적으로 실제의 역학계는 어떠한 형태로든 감쇠 효과를 지니게 된다. 특히 진동계나 음향계에서는 전파되는 파(wave)의 진폭이 시간에 따라 혹은 공간에 따라 줄어드는 현상을 통칭하여 감쇠라 한다. 감쇠 효과를 일으키는 요인에 따라 쿨롱 감쇠(또는 건마찰 감쇠), 점성 감쇠(또는 유체 감쇠) 그리고 구조 감쇠 등으로 나뉘어진다.
Damping Coefficient 감쇠 계수
일반적으로 공학에서 다루는 감쇠는 운동 에너지를 다른 형태의 에너지로 소산시키는 것으로서 편의상 점성 감쇠 모델로 표현하는 경우가 많다. 점성 감쇠기(viscous dashpot 또는 damper)의 마찰력은 운동 속도에 비례한다고 가정한다. 이때 비례 상수를 감쇠 계수 c로 표현한다.
Damping Ratio 감쇠비
감쇠비는 감쇠율 또는 감쇠치(damping factor)로도 불리워지며, 계의 임계 감쇠 계수(critical damping coefficient)와 감쇠 계수(damping coefficient)의 비로서 표현한다.
여기서 는 계의 감쇠계수, 는 임계 감쇠 계수, 은 계의 질량 그리고 는 계의 스프링 상수를 의미한다.
Day-night Noise Level 주야 소음 레벨
소음 레벨 척도의 하나로서 하루 24시간(86400초) 동안의 평균 음압 레벨을 의미하며, 야간의 소음 레벨에 10 dBA의 가중치를 주어 계산한다. 주야 소음 레벨 은 다음과 같이 정의된다. 여기서 , 오전 7시부터 오후 10시 동안(또는 10, 오후 10시부터 오전 7시동안), 는 번째 시간간격에서의 A 가중치 소음 레벨(a-weighted sound pressure), 는 번째 시간간격(초)이다.
dB(Decibel) 데시벨
소음과 진동이 발생할 경우 인간이 느끼는 물리량의 범위가 매우 광범위하여 선형 척도로 이러한 물리량을 표현하는 것은 적절치 못하다. 또한 인간의 귀나 감각 기관은 자극에 대하여 대략 로그 함수적으로 반응하기 때문에 물리량을 로그값으로 표현하면 인간이 느끼는 자극의 정도와 상응하게 되는 등의 이유로 인하여 데시벨(dB)이라는 측정단위를 사용한다.
일반적으로 데시벨은 물리량 와 기준물리량 와의 비를 상용 로그 함수를 이용하여 다음과 같이 표현한다. 여기서 일반적으로 기준 물리량은 음압의 경우 20 , 가속도의 경우 10 (KS, JIS)를 사용한다. 20 이라는 음압의 기준은 절대적인 의미라기보다는 “건강한 성인 청년이 들을 수 있는 최소 음압” 등의 상당히 주관적으로 표현되는 기준 음압이다.
dBA(A-weighted Decibel) 청감 보정 데시벨 (A 가중 등가 레벨)
소리에 대하여 인간의 청각에 좀 더 가깝게 그 레벨을 표현하기 위한 한 방법으로서 가청 주파수 대역(20 Hz~20 kHz)에 대하여 각 주파수별로 적당한 가중치를 주어 측정하는 방법이다.
A 청감 보정 이외에 B, C, D, E 청감 보정 역시 유사한 개념으로 지정된 청감 보정 방법으로 국제적으로 표준화되어 있다.
A, B, C, D, E 보정곡선
Decade 데케이드
주파수 폭 혹은 비에 대한 용어로서, 임의의 주파수에서 부터 10배의 주파수 대역을 의미한다. 일반적으로 해석하고자 하는 물리량을 데시벨 단위로 표현할 경우 dB/decade로 그 대략적인 추세를 표현한다. 음향학에서 사용하는 데케이드는 3개의 옥타브(octave) 주파수 대역과 1개의 1/3 옥타브(1/3 octave) 대역의 합을 의미한다. 따라서 엄밀한 의미에서 기준 주파수에 대하여 10배는 아니지만, 통상
1 decade = 3 octave + 1/3 octave
로 사용한다.
Deconvolution 역승적
[기계진동] 공진(Resonance)과 고유진동수(Natural frequency)
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이번 포스팅에서는 공진(Resonance)과 고유진동수(Natural frequency)에 대해 알아봅시다.
공진(Resonance)이란?
공진이란, 특정 주파수에서 사물이 큰 진폭으로 진동하는 현상입니다.
그 특정 주파수를 우리는 고유진동수(Natural frequency)라고 합니다.
각 사물은 그 물체만의 고유진동수를 가지고 있습니다.
또한 현실에서 사물의 고유진동수는 무한히 많습니다.
고유진동수의 개수는 자유도의 수만큼 존재하기 때문인데요.
이론으로 진동을 다룰 땐 사물을 이산화하여 다루기 때문에
그 갯수가 제한적이지만, 현실세계에서 사물은 모두 연속체이기 때문이죠!
정리하면,
고유진동수는 사물의 자유도의 갯수만큼 존재하며, 현실세계에선 무한히 많이 존재합니다.
공진 시 물체의 진폭과 그 때의 주파수를 나타낸 그래프. 출처 – 위키피디아 :https://ko.wikipedia.org/wiki/공명
고유진동수(natural frequency)
고유진동수 구하는 방법을 간단하게 알아봅시다.
우리 주변의 모든 시스템은 2차 미분방정식의 형태로 표현할 수 있습니다.
즉, 아래의 형태와 같습니다.
고유진동수를 이야기할 때엔, 물체에 외력이 없는 상태를 이야기하므로
F(t) = 0입니다.
이 때, 고유진동수는 다시 감쇠고유진동수(Damped natural frequency)와
비감쇠고유진동수(Undamped natural frequency)로 나뉩니다.
두 고유진동수 모두 위의 2차 미분방정식에서 구할 수 있는데요.
흔히 고유진동수라 하면 비감쇠고유진동수를 말합니다.
먼저 비감쇠 고유진동수를 구하는 공식은 아래와 같습니다.
비감쇠고유진동수 공식
감쇠고유진동수를 구하는 공식은 아래와 같습니다.
감쇠고유진동수 공식 감쇠비와 임계감쇠계수
각 고유진동수를 구하는 공식에서 알 수 있다시피,
고유진동수는 시스템의 질량과 강성에 의해 결정되며,
감쇠가 있는 시스템의 고유진동수는 없는 것에 비해 낮아지게 됩니다.
이상 공진과 고유진동수에 대해 알아보았습니다.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
감쇠비(減衰比, damping ratio)는 보통 ζ (제타)로 표시되는 이계 상미분 방정식의 주파수 응답 특성을 나타내는 값이다.
질량 m, 감쇠계수 c, 강성 k인 감쇠조화진동계의 감쇠비는 다음과 같다.
ζ = c 2 k m = c 2 m ω n {\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}={\frac {c}{2m\omega _{n}}}}
미분방정식에서 감쇠비의 의미 [ 편집 ]
감쇠조화진동의 지배방정식은 다음과 같다.
m x ¨ + c x ˙ + k x = 0 , {\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0,} x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} m {\displaystyle m} x ¨ + c m x ˙ + k m x = 0 , {\displaystyle {\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,}
고유진동수 ω n = k m {\displaystyle \,\omega _{n}={\sqrt {k \over m}}\,} 와 감쇠비 2 ζ ω n = c m {\displaystyle \,2\zeta \omega _{n}={c \over m}\,} 를 도입하고, 소멸미분연산자(Annihilated Differential Operator)를 대입하면,
x = e s x , x ˙ = s e s x , x ¨ = s 2 e s x {\displaystyle x=e^{sx},{\dot {x}}=se^{sx},{\ddot {x}}=s^{2}e^{sx}\,} 로 가정하면,
s 2 e s x + c m s e s x + k m e s x = 0 {\displaystyle s^{2}e^{sx}+{c \over m}se^{sx}+{k \over m}e^{sx}=0} e s x ( s 2 + c m s + k m ) = 0 {\displaystyle e^{sx}(s^{2}+{c \over m}s+{k \over m})=0} {\displaystyle } s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 = 0 {\displaystyle s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}=0}
s {\displaystyle s} 의 해를 찾으려면 2차 방정식에 근의 공식을 대입하면,
s = − 2 ζ ω n ± ( 2 ζ ω n ) 2 − 4 ω n 2 2 {\displaystyle s={\frac {-2\zeta \omega _{n}\pm {\sqrt {(2\zeta \omega _{n})^{2}-4\omega _{n}^{2}}}}{2}}}
s = − ζ ω n ± 2 2 ζ 2 ω n 2 − 2 2 ω n 2 2 2 {\displaystyle s=-\zeta \omega _{n}\pm {\frac {\sqrt {2^{2}\zeta ^{2}\omega _{n}^{2}-2^{2}\omega _{n}^{2}}}{\sqrt {2^{2}}}}}
이를 정리하면,
s = − ζ ω n ± ω n ζ 2 − 1 {\displaystyle s=-\zeta \omega _{n}\pm \omega _{n}{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}
특성방정식이 두 개의 실근이 있을 때를 과(도)감쇠(overdamped)라고 하며, 이때 응답은 지수로 감소하며, 진동은 발생하지 않는다.
x ( t ) = e − ζ ω n t [ A e ζ 2 − 1 ω n t + B e − ζ 2 − 1 ω n t ] {\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[Ae^{{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\omega _{n}t}+Be^{-{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\omega _{n}t}\right]}
여기서 A와 B는 초기조건에서 결정되는 상수이다.
임계감쇠 [ 편집 ]
임계감쇠(critically damped)는 감쇠비 ζ = 1 {\displaystyle \zeta =1} 인 경우로 특성방정식은 하나의 실근(중근)을 가지며, 과감쇠와 저감쇠의 경계가 된다. 과감쇠와 마찬가지로 응답이 지수로 감소하며, 진동이 발생하지 않는다.
초기조건 x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} , x ˙ ( 0 ) = x ˙ 0 {\displaystyle {\dot {x}}(0)={\dot {x}}_{0}} 을 갖는 임계감쇠일 땐 미분방정식의 해는 다음과 같다.
x ( t ) = e − ω n t [ x 0 + t 2 + x ˙ 0 t ] {\displaystyle x(t)=e^{-\omega _{n}t}\left[x_{0}+t^{2}+{\dot {x}}_{0}t\right]}
특성방정식이 두 개의 허근을 갖는 경우를 저감쇠(과소감쇠)(underdamped)라고 하며, 이 때는 진동이 발생한다. 즉, 응답은 지수로 감소함과 동시에 진동을 한다….
초기조건 x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} , x ˙ ( 0 ) = x ˙ 0 {\displaystyle {\dot {x}}(0)={\dot {x}}_{0}} 에 해는,
x ( t ) = e − ζ ω n t [ x 0 cos ω D t + x ˙ 0 + ζ ω n x 0 ω D sin ω D t ] {\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[x_{0}\cos {\omega _{D}t}+{\frac {{\dot {x}}_{0}+\zeta \omega _{n}x_{0}}{\omega _{D}}}\sin {\omega _{D}t}\right]}
여기서 감쇠진동수 ω D 는 다음과 같다.
ω D = ω n 1 − ζ 2 {\displaystyle \omega _{D}=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
03.비감쇠 자유 진동(Undamped Free Vibration) – 병진운동
1자유도 시스템에서 가장 단순한 모델인 비감쇠 자유 진동에 대해 알아보자.
‘비감쇠’ 이므로 에너지 소모가 없다.
자유 진동(Free Vibration)은 초기 에너지나 변위에 의해 감쇠에 의해 저항을 받지 않고 같은 진폭으로 계속 되는 진동을 뜻한다.
아래 그림.1과 같은 비감쇠 1자유도 시스템이 있을 때,
그림.1 비감쇠 1자유도 시스템
자유물체도(FBD)는 아래 그림.2와 같다.
그림.2 비감쇠 1자유도 시스템의 자유물체도
δ는 정적 평형상태의 변위로써 자중에 의한 변위이다.
정적 평형상태에서의 스프링 하중과 자중은 서로 같으므로
식.1
앞으로 고려 대상에서 제외한다.
뉴턴 제 2법칙을 통해
식.2
운동방정식을 구해보자.
식.3
정리하면
식.4
식.4와 같은 2계 제차 미분방정식의 해는 지수함수 형태이다.
식.5 지수 해
(r, s는 상수)
식.5를 식.4에 대입하면
식.6
가 ‘0’이면 진동하지 않으므로
식.7
이어야 한다. 미지수 s를 풀면
식.8
이 때, 식.9를
식.9 고유진동수(병진)
고유진동수(Natural Frequency) 라 하고 ωn 으로 표기한다.
식.5의 지수함수 해의 일반해는
식.10 일반해
식.10은 오일러(Euler) 공식을 통해
식.11 오일러 공식
아래 식.12와 같이 정리된다.
식.12 일반해
결국
식.13 1자유도 비감쇠 자유 진동 응답 함수(병진)
로 정리된다.
단,
식.14
이다.
식.13을 진동을 그래프로 그려보면 아래 그림.3과 같은 응답을 보인다.
그림.3 1자유도 비감쇠 자유 진동 응답 그래프
감쇠가 없기 때문에 일정한 폭과 주기로 진동하는 것을 알 수 있다.
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