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강의자료, 전체 문제, 영상 중 풀이를 해드리지 않은 문제들에 대한 해설 pdf 파일입니다.
https://drive.google.com/drive/folders/1a4ymwhK9pQUNeE_m30BLi3_GSeZhEToS?usp=sharing
2021년 공학수학(1) 강의 재생목록입니다.
https://www.youtube.com/playlist?list=PLPI02NNxPmZNlWoCYFC8ZUOrXCGdGMu1B
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[강의 중 제가 잘못 적은 것]29:40 에서 y=c e^(kx) 입니다.
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2021년 공학수학 A+ 프로젝트.
1) 겨울방학 자기주도적으로 선행학습을 하는 학생
2) 학기 중 교수님 수업을 들어도 이해가 되지 않는 학생
3) 학기 중 시험대비를 위해 열심히 공부하는 학생
4) 한번 배웠던 공학수학을 다시 복습하려고 공부하는 학생
[1.25 ~ 1.5배속을 추천합니다.]============================================================
00:00 – 강의 소개
02:44 – 공학수학 목적: 미분방정식 풀기
18:11 – 형태에 따른 풀이법
22:09 – 1계 ODE 변수분리형
29:10 – 문제풀이 [1번]33:00 – 문제풀이 [2번]34:25 – 문제풀이 [3번]36:21 – 문제풀이 [4번]38:41 – 문제풀이 [5번]41:48 – 문제풀이 [9번]
공업 수학 미분 방정식 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
미분방정식 – 나무위키:대문
공업수학, 수리물리학처럼 한 교재 내에서 몇 개의 단원으로 존재하는 곳도 있고[1] 수학과처럼 미분방정식 자체가 단일과목[2]인 경우도 있다.
Source: namu.wiki
Date Published: 10/16/2021
View: 4589
[미분방정식] 1. 상미분방정식 소개 – Introduction to ODE
‘공학수학’에서는 주로 3번 단계 “작성된 수학적 모델의 해를 구한다.”에 관해서 공부하게 될 것입니다. 자연 현상의 수학적 모델은 대부분의 경우 미분 …
Source: min-97.tistory.com
Date Published: 6/24/2021
View: 1170
[공업수학] 0. 미분방정식의 소개
공업수학을 배우고 나면 사회 전반에 미분방정식이 관여하고 있음을 깨닫는다. 도대체 미분방정식이란 게 뭘까? (i) 미분방정식?
Source: subprofessor.tistory.com
Date Published: 9/27/2021
View: 8844
공업수학(미분방정식) – 전북대학교 | KOCW 공개 강의
주제분류: 자연과학 >수학ㆍ물리ㆍ천문ㆍ지리 >수학. 강의학기: 2012년 1학기. 조회수: 83,426. 평점: 4.4/5.0 (7). 이 교과목은 시간에 변화하는 현상을 미분방정식 …
Source: www.kocw.net
Date Published: 12/6/2022
View: 8645
[공업수학] 1계 미분방정식 – PinkWink
[공업수학] 1계 미분방정식 · 위 예제를 보시면, 애초 첫식에서 P(x)=-3이라고 확인 할 수 있습니다. 이를 이용하면 · e^-3x 이라는 적분인자를 찾을 수 …Source: pinkwink.kr
Date Published: 11/14/2021
View: 2262
해커스 편입수학 공업수학 미분방정식 – YES24
이론부터 실전까지 3주 완성 구성으로, 기본이 되는 필수 개념에 대한 상세한 설명, 실전대비를 위한 출제예상문제 및 실전모의고사, 3주/2주 학습 …
Source: www.yes24.com
Date Published: 5/30/2021
View: 9608
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주제에 대한 기사 평가 공업 수학 미분 방정식
- Author: 공학수학 가르치는 화공엔지니어
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- Date Published: 2020. 12. 28.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=c0AN_CsMsEI
[미분방정식] 1. 상미분방정식 소개 – Introduction to ODE
각종 공학 문제를 해결하기 위해서 기본이 되는 수학을 배우는 것이 ‘공학수학’의 목표입니다.
공학 문제를 해결하는 과정은 다음과 같습니다.
1. 자연 현상을 관찰한다.
2. 관찰 결과를 바탕으로 자연 현상을 수학적으로 모델링한다.
3. 작성된 수학적 모델의 해를 구한다.
4. 수학적 해를 바탕으로 물리적 해석을 얻어낸다.
‘공학수학’에서는 주로 3번 단계 “작성된 수학적 모델의 해를 구한다.”에 관해서 공부하게 될 것입니다.
자연 현상의 수학적 모델은 대부분의 경우 미분방정식의 형태로 주어지게 됩니다.
ODE(Ordinary Differential Equation) – 상미분방정식
– 독립 변수를 하나만 포함하며, 하나 이상의 도함수를 가지고 있는 미분방정식
ODE와 반대되는 개념의 미분방정식은 PDE(Partial Differential Equation) – 편미분방정식이며, 두 개 이상의 독립 변수로 구성된 미분방정식을 의미합니다.
1장에서 다룰 미분방정식은 1차 상미분방정식입니다.
1차 상미분방정식 – Fisrt-Order ODEs
1차 ODE의 기본 형태는 다음과 같습니다.
예제 1. $y = ce^{0.2t}$를 생각해봅시다.
따라서, $y’ = 0.2y$꼴의 미분방정식은 $y = ce^{0.2t}$라는 해를 가집니다.
여기서, $c$라는 임의의 상수가 해에 포함되어 있기 때문에, 미분방정식 $y’ = 0.2y$은 무수히 많은 해를 가지고 있습니다.
이러한 해를 general solution이라고 합니다.
(Matlab을 이용하여 그래프 그리는 방법은 아래 페이지에서 학습할 수 있습니다.)
반면에, $c=0.2$ 등으로 상수 값을 특정지으면 해는 하나로 정의됩니다.
이러한 해를 particular solution이라고 합니다.
Particular solution을 갖는 대표적인 미분방정식으로는 초기값문제(IVP)가 있습니다.
IVP(Initial Value Problem) – 초기값문제
위와 같이 초기값이 주어진 미분방정식을 IVP라고 하며, particular solution을 구할 수 있습니다.
예제 2. IVP의 particular solution을 구해봅시다.
Erwin Kreyszig, “Advanced Engineering Mathematics”, 10th Edition을 참조하여 제작하였습니다.
[공업수학] 0. 미분방정식의 소개
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미분방정식이란 말은 왠지 모르게 멋있다. 고등학교 들어와서 ‘미분방정식’푸는 공대 형들이 참 멋있어보였다. 나만 그런가..? 아무튼, 실제로 미분방정식은 “멋있다.” 자동차를 굴리는 힘인 엔진에서도 미분방정식을 빼놓고 설명할 수 없으며 바짓주머니 속에 있는 스마트폰에서도, 릴라드가 던진 클러치 3점슛에서도 미분방정식은 등장한다. 공업수학을 배우고 나면 사회 전반에 미분방정식이 관여하고 있음을 깨닫는다. 도대체 미분방정식이란 게 뭘까?
(i) 미분방정식?
미분방정식이라는 건 [미분]+[방정식] 같은 느낌으로 이해하면 된다. 고등학교 때 배우는 미적분과 초등학교 때 배우기 시작하는 방정식의 ‘역대급’ 콜라보 랄까? 한창 과외를 할 때 방정식의 정의를 모르는 학생들을 참 많이 만났다. 방정식의 정의는 다음과 같다.
음! 아직 와닿지가 않는다. 이 정의를 쓴 사람은 멋있어보이려는 마음이 컸던 걸까? 미지수는 뭐고 특정한 값은 뭘까.. 하는 사람들까지 유감스럽게도 내가 공업수학 파트에서 케어해줄 수는 없다. 그점에서는 미안하게 생각한다. 그냥 이런 게 있구나 하고 스크롤을 내려준다면 감사하겠다. 혹 방정식에 대한 정의에 대해 더 알아보고 싶은 마음이 있다면 아래 링크를 타고 가면 된다.
ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D
쉽게 말하자면 “x의 값에 따라 참과 거짓이 성립하는 식”이 바로 방정식이다. 이때 중요한 것은 ‘거짓’이다. 항상 성립하는 식은 ‘항등식’이고 거짓인 경우가 존재하면 ‘방정식’이 된다. 예를 들어보자.
위 등식은 x= -10일때만 성립한다. x가 0이거나 1일때는 성립하지 않는다. 이런 식을 우리는 방정식이라고 부른다. 여기에 ‘미분’이란 개념이 추가되는 거다. 미분방정식의 정의를 보자.
위키피디아로 연결됩니다
음! 더 어려워진 것 같다. 이번에는 먼저 예시를 보자.
위 등식의 의미는 이렇다. “x에 대한 함수 y가 있는데, 그것의 도함수가 x의 제곱입니다.” 이 형태는 고등학교 미적분에서도 많이 볼 수 있다. 아주 쉬운 형태의 미분방정식이다. 공업수학이 다루는 미분방정식은 2계도함수는 기본으로 들어간다.
라던지
라던지!
그렇다. 어떤 함수를 미분한 함수 즉 도함수가 포함된 형태의 등식을 바로 미분방정식이라고 한다. 2계도함수가 있으면 2계 미분방정식이 되고, 3계도함수가 있으면 3계 미분방정식이 된다. 이와 같은 미분방정식의 ‘분류’에 앞서 “왜 미분방정식인가?”라는 물음에 대해 알아보자
(ii) 왜 미분방정식인가?
‘미분’이 함수의 ‘변화’를 의미하는 것은 아마 다 알고 있을 것이다. 세상에 멈춰있는 것은 아무것도 없다. 테이블 위의 놓여있는 물 한 컵도 사실은 물 분자들이 계속해서 움직이고 있으며, 공부할 때 쓰는 지우개조차 깊게 들어가보면 전자가 쉬지 않고 움직이고 있어 눈으로 보는 것 조차 불가능할 정도다. 그렇다. 너무 억지스럽다. 조금 더 와닿는 예로 처음에 말한 릴라드의 3점슛을 보자
포틀랜드의 릴라드가 플레이오프 파이널 7차전 4쿼터 0.5초를 남겨두고 스텝백 3점을 던졌다.
릴라드가 쏘아올린 작은 공이 어떻게 움직일까? 어떤 궤적을 그리면서 골대 안으로 빨려들어가는지에 대한 표현은 여러가지가 있지만 가장 간단하며 실용적인 식이 바로 미분방정식이다. 릴라드가 던진 공의 ‘속력’과 ‘중력가속도’라는 위치변화율을 토대로 우리는 공의 위치를 파악할 수 있다.
이와 같이 미분방정식의 궁극적인 목적은 ‘변화’를 토대로 ‘미래’를 예측하는 데 있다. “일정한 속력 5 m/s로 움직이는 물체의 5초 뒤 변위를 구하여라”, “어떤 물질의 반감기가 5년일 때, 이 물질이 처음의 1/10이 되는 시간을 계산하여라”같은 문제들을 푸는 유용한 “도구”가 바로 미분방정식이다. 이 예시 말고도 정말정말 다양한 활용이 가능하다. RLC회로, 파동, 인구모델, 경제지표 등등..
미분방정식을 배워야 하는 이유는 이 정도로 마무리하자. 이 밖에도 뉴턴과 라이프니츠의 소송 등 재미있는 이야기들이 참 많지만.. 갈 길이 멀다!
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공업수학(미분방정식) – 전북대학교
1. 미분방정식의 소개 시간에 변화하는 현상을 미분방정식으로 세우고 이를 푸는 방법을 공부한다.
2. 변수분리형 변수분리형 방정식 문제를 푼다
4. 완전미분방정식 완전미방문제를 푼다
5. 대입법 동차형, 독립, 종속변수 없는 형을 푼다
6. 선형모형 공학현상과 관련된 선형미방을 푼다
7. 비선형모형 공학현상과 관련된 비선형미방을 푼다.
9. 고계선형미분방정식 고계선형미분방정식을 소개한다
10. 고계선형미분방정식-동차형 고계선형미방 동차형 문제를 푼다
11. 미정계수법 미정계수법에 의한 특수해를 구해본다.
12. 매개변수 매개변수변화법에 의한 특수해를 구해본다.
14. 비선형방정식 비선형방정식 문제를 푼다
15. 고계선형모형-초기값문제 고계선형모형의 초기값 문제를 해결한다
연립방정식의 해법 연립방정식 문제를 푼다
Laplace 변환의 소개 Laplace변환의 정의 및 성질을 소개한다
도함수의 Laplace변환 Laplace 변환에 도함수를 적용해본다.
Laplace 변환-이동정리 Laplace 변환의 이동정리를 살펴본다
Laplace 변환-부가적성질 Laplace 변환의 부가적 성질을 알아본다
[공업수학] 1계 미분방정식
1계 미분방정식의 해법은 대체로 정형화되어 이미 정립되어있습니다. 그 방법의 유도과정이나 증명은 공대학생이라면 누구나 가지고 있을 공업수학책이나 각종 인터넷 자료를 참조하시고, 여기서는 몇몇 예제를 통해 풀이만 살펴보도록 하겠습니다.
먼저 위와 같은 형태를 가지는 1계 미방이 있다면, 변수분리형으로 풀 수가 있습니다.
위 예제인데요. 적절히 잘 정리하면 첫 식과 같은 형태로 꾸밀 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
이렇게 말이지요.
그리고, 양변을 적분합니다. 그러면, 적분결과를 얻을 수 있고 (물론 적분상수도 나타나겠지요)
위와 같이 정리가 가능해집니다.
이 문제 하나를 더 보죠. 변수분리가 가능하고, y끼리 x끼리 모아서
양변을 적분하면 위의 결과가 나타납니다.
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