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라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다. 대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다.
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안녕하세요 🙂
앞으로는 미분방정식에서 중요한 개념인
‘라플라스변환’ 에 대해서 스터디 영상을 종종 올려드릴 예정이에요 ^^
같이 스터디 잘 진행봅시다 ㅎ
네이버 스터디용 블로그 : https://blog.naver.com/bmw9707121
라플라스 변환 미분 방정식 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 – 네이버 블로그
1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠. 근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요). 첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 4/12/2022
View: 1739
미분방정식의 라플라스 변환 – 권찡’s 공학이야기
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. … 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 …
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 9/5/2021
View: 6174
라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이 – Ernonia
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정..
Source: dimenchoi.tistory.com
Date Published: 11/29/2022
View: 4914
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기 – MATLAB & Simulink
Symbolic Math Toolbox™에서 다음 워크플로로 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 풉니다. 라플라스 변환의 간단한 예제는 laplace 및 ilaplace 항목을 참조 …
Source: kr.mathworks.com
Date Published: 1/11/2022
View: 4460
3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용 – 화공&책 리뷰
미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 …
Source: cccforone.tistory.com
Date Published: 7/28/2022
View: 394
[공업수학] 2. 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제
사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다. . 라플라스 변환은 미분방정식을 …
Source: subprofessor.tistory.com
Date Published: 6/20/2022
View: 2672
#3.1Laplace Transform(라플라스변환) – 공학이야기
0. Transform(변환) 이란? 미분방정식을 미분과 적분을 이용해서 풀이하는 기본적인 방법론에 대해서 이전글까지 설명했고, 앞으로 나올 주제들은 …
Source: lifelectronics.tistory.com
Date Published: 4/10/2022
View: 5629
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주제에 대한 기사 평가 라플라스 변환 미분 방정식
- Author: BOS의 스터디룸
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- Date Published: 2019. 12. 28.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=x1ldtSIVMqw
[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제
#미분적분학
사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다.
라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다.
대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!)
라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
자 드디어 저희들의 라플라스 포스팅 최종 목적지에 도착을 했습니다.
지금까지 포스팅 해왔던 내용을 바탕으로 미분방정식을 풀어보며 라플라스 포스팅을 마치도록 합시다
저희가 할 내용을 그림으로 표현해 보면
커다란 화살표처럼 한바퀴 쭉 도는 겁니다.
이번 포스팅은 새로운 개념은 없으며 그냥 문제풀이 포스팅이에요.
그럼 라플라스 변환의 필수 재료인 라플라스 변환표를 가져다 놓고 시작하도록 합시다.
참고로 학교마다 다르긴 한데 제가 아는 한도내에서는(즉 저희 학교기준으로는)
수학 시험 때는 표를 제공 안하고 외워서 보니
포스팅에서 표 보고 푼다고 표를 안 외우시면 큰일 나실 수 있습니다.
자신의 학교 시험이 표를 외워야 하는지 안외워도 되는지는 스스로 알아 두시길 바랍니다.
그럼 1번 예제 시작하겠습니다.
첫 번째 입니다.
1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠
근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요)
첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다.
변환이 완료 되었습니다.
미분에 대한 항이 다 사라졌음을 볼 수 있습니다.
바로 를 미지수로 가지는 대수 방정식이죠
이제 저 대수방정식을 풀어서 미지수 를 구해봅시다.
가 나왔습니다.
이제 무엇을 하면 될까요???
네 ㅎㅎ 바로 역변환입니다.
다행스럽게도 표에 있는 형태가 바로 나왔네요
역변환을 해보면
가 구해졌습니다.
이번엔 차수를 2차로 늘려보죠
2번째 예제는 입니다.
2차 미분방정식이니 초기값이 2개 필요하겠죠
이번엔 초기값을 주고 풀어보죠
라고 하고 풀어봅시다.
첫번째로 라플라스 변환을 해보죠
대수방정식으로 변환이 완료되었습니다.
이제 를 구해보죠
참고로 저기 붉은색 으로 색칠해 놓은 부분은 별다른 이유는 없습니다.
그냥 저것을 Characteristic Equation (특성 방정식)이라고
불리는 것 정도만 알고 계시면 됩니다.
(일반적인 미분방정식 풀이에서도 한번 등장했던 단어죠)
어쨋든 식이 표에 없는 모양입니다.
따라서 표에 있는 모양으로 변형시켜야 합니다.
(내고 나서 후회하는 건데 좀 식이 지저분하게 나올겁니다…..)
변형시켜 보죠
식이 변형 완료 되었습니다.
분수가 마구잡이로 들어가서 그렇지 분명 표에 있는 형태입니다.
다시 써보면 아래와 같은데
s-Shifting의 개념이 들어갔네요 ㅎㅎ
이제 계산된 결과를 역변환 해봅시다.
가 나왔습니다.
즉 미분방정식의 해는
인 것이죠
슬슬 익숙해 지셨죠 이제 진행을 빨리 해보겠습니다.
마지막 예제 입니다.
을 풀어보죠
초기값은 간단하게 을 줍시다.
먼저 변환을 하고 풀면
가 나옵니다. 표에 없으니 있는 모양으로 바꿔줍시다.
표에 있는 모양이 나왔습니다.
이번엔 t-Shfting 개념이 들어가 있네요
그것에 유의하며 역변환 해보면 아래와 같죠
이것으로 포스팅 마치도록 하겠습니다.
제 라플라스 포스팅을 보시는 분들은 이것까지만 하면 끝입니다.
아마도 뒤에 하게될 포스팅 내용은 필요 없을거에요
다음 포스팅 부터는 아마 99.99%의 분들이 필요 없을법한 브롬위치 적분을 통한 라플라스 역변환 입니다.
사실상 여기서 끝이니 인사드릴께요
지금까지 봐주셔서 감사합니다
수고하셧어요
예제풀이 포스팅 이니 만큼 요약은 없습니다.
15장 포스팅 끝
미분방정식의 라플라스 변환
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다.
가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다.
t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다.
보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다.
만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는
이런 식이 되는 것입니다.
이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다.
위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다.
앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다.
특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠
그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다.
또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경우, 라플라스 변환으로 풀릴수도 있습니다.
직접 한번 풀어보겟습니다.
초기 값이 주어졌을때 보다 간단히 해를 구할수 있습니다.
중간에 연습한다고 삼천포로 빠져서 그렇지 분수 형태로 나누고 나서 하시면 가장 편합니다.
좀 더 내용 심화를 해서 이변수 함수의 라플라스 변환에 대해서도 알고 넘어갑시다.
예를 들어봅시다.
위 내용과 같이 변수가 t에 관해 미분되어있는 경우만이 이전의 미분된 함수의 라플라스 변환 공식에 따르게 되고,
x에 관해 미분되있을 경우는 영향을 주지 못합니다.
이런 이변수함수 혹은 다변수 함수의 라플라스 변환은 편미분 방정식을 푸는 하나의 툴로써 사용되니 알아두면 좋겟죠
라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이
라플라스 변환
라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다.
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정식까지요.
오늘은 라플라스 변환에 대해 알아보겠습니다.
정의
라플라스 변환은 아래와 같이 정의됩니다.
$$
\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = \int^\infty_0 e^{-st} f(t)dt
$$
즉, 라플라스 변환은 $t$에 대한 함수 $f(t)$를 $s$에 관한 함수 $F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$로 변환합니다.
예시로 지수함수의 라플라수 변환을 보겠습니다.
$$
\begin{align}\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace &= \int^\infty_0 e^{-st}e^{-3t}dt \\ &= \int^\infty_0 e^{-(s+3)t}dt \&= \left[\frac{-e^{-(s+3)t}}{s+3}\right]^\infty_0 = \frac{1}{s+3} \end{align}
$$
단, 마지막 줄은 $s>-3$일 때만 수렴합니다. 따라서 이 변환의 정의역은 $s>-3$입니다.
나머지 함수의 라플라스 변환 결과는 아래와 같습니다.
$\mathcal{L}\lbrace t^n \rbrace=\frac{n!}{s^{n+1}}$ $\mathcal{L}\lbrace e^{at} \rbrace = \frac{1}{s-a}$ $\mathcal{L}\lbrace \sin kt \rbrace=\frac{k}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \cos kt \rbrace = \frac{s}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \sinh kt \rbrace = \frac{k}{s^2-k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \cosh kt \rbrace = \frac{s}{s^2-k^2}$
한 가지 외우는 팁을 알려드리자면,
$\sin t, \cos t$는 원 위의 점을 나타내기 때문에 라그랑주 변환의 분모가 원의 방정식 꼴을 하고 있고,
$\sinh t, \cosh t$는 쌍곡선 위의 점을 나타내기 때문에 분모가 쌍곡선의 방정식 꼴입니다.
한편 분자의 경우 $\sin$류 함수는 $k$, $\cos$류 함수는 $s$ 입니다.
그래서 저는 “SK텔레콤은 CS(Computer Science) 회사!”라고 외웠습니다 ㅎㅎ;
아직은 이게 어떻게 미방을 푸는지 전혀 모르겠습니다만, 일단 따라와주시기 바랍니다.
성질
함수가 라플라스 변환을 가지기 위해서는 다음 조건을 만족해야 합니다.
정의
$|f(t)| \leq Me^{ct}$를 만족하는 상수 $c, M>0, T>0$가 존재할 때 $f$는 지수차수 $c$인 함수라고 한다.
정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$는 $s> c$에서 존재한다.
이 정리는 아까 전에서 $\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace$의 정의역이 $s>-3$인 이유를 설명합니다.
$e^{-3t}$의 지수차수가 $-3$이므로 $s>-3$에서 라플라스 변환을 가집니다.
또한 위의 표를 보면 한 가지 공통점을 눈치챌 수 있습니다.
모든 라플라스 변환은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴합니다.
이는 다음 정리로 요약할 수 있습니다.
정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t)$은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴한다.
마지막 중요한 점, 라플라스 변환은 선형연산입니다.
이는 정적분이 선형이므로 당연한 결과이지만 매우 중요합니다.
라플라스 역변환
라플라스 역변환은 말 그대로 라플라스 변환을 거꾸로 하는 것입니다.
예를 들어 $\mathcal{L}^{-1} \lbrace \frac{1}{s+3} \rbrace = e^{-3t}$입니다.
위에서 봤다시피 대부분 라플라스 변환은 간단한 (분자)/(분모) 꼴이기 때문에, 라플라스 역변환을 하기 위해서는 부분분수로 최대한 주어진 식을 간단한 유리식으로 바꾸는 것이 좋습니다.
예시는 아래와 같습니다
$$
\begin{align}\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace \frac{s^2+6s+9}{(s-1)(s-2)(s+4)} \right\rbrace &= \mathcal{L}^{-1}\left\lbrace -\frac{16/5}{s-1} + \frac{25/6}{s-2} + \frac{1/30}{s+4} \right\rbrace \\ &= \frac{-16}{5}e^t + \frac{25}{6}e^{2t} + \frac{1}{30}e^{-45}\end{align}
$$
부분분수로 바꾸는 과정은 헤비사이드라는 방법을 사용했으니 모르시는 분은 찾아보시길 바랍니다.
마지막 줄에서 라플라스 (역)변환이 선형이라는 성질을 사용했습니다.
도함수의 라플라스 변환
정리 $\mathcal{L}\lbrace f^{(n)}(t) \rbrace = s^n F(s) – s^{n-1}f(0) – s^{n-2}f'(0) – \cdots – f^{(n-1)}(0)$
위 식은 수학적 귀납법으로 보일 수 있는데 과정이 꽤 복잡하므로 생략합니다.
중요한 것은, 이 정리가 라플라스 변환을 미분방정식 풀이의 사기캐로 만들어준다는 것입니다.
백문이 불여일견, 예시를 통해 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이를 보여드리겠습니다.
아래 미분방정식을 풀어보겠습니다.
$$
y’ + 3y = 13 \sin 2t, \quad y(0)=6
$$
1단계: 양변에 라플라스 변환을 취한다
$\mathcal{L}\lbrace y \rbrace = Y(s)$라고 두고 라플라스 변환을 취하겠습니다.
$$
\mathcal{L} \lbrace y’ + 3y\rbrace = sY(s) – y(0) + 3Y(s) = \mathcal{L} \lbrace 13\sin 2t \rbrace = \frac{26}{s^2+4}
$$
2단계: $Y(s)$를 부분분수로 표현한다
$$
Y(s) = \frac{6s^2+50}{(s+3)(s^2+4)}=\frac{8}{s+3}+\frac{-2s+6}{s^2+4}
$$
3단계: 라플라스 역변환을 취한다.
$$
y = 8e^{-3t} -2 \cos 2t + 3 \sin 2t
$$
짠! 이렇게 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
나중에 기회가 된다면 조금 더 복잡한 함수에 대해서 라플라스 변환을 적용하는 방법을 알아보겠습니다.
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
Symbolic Math Toolbox™에서 다음 워크플로로 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 풉니다. 라플라스 변환의 간단한 예제는 laplace 및 ilaplace 항목을 참조하십시오.
정의: 라플라스 변환
함수 f ( t ) 의 라플라스 변환은 다음과 같습니다.
F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e – ts dt .
개념: 기호 워크플로 사용하기
기호 워크플로에서는 계산을 수치 형식이 아닌 자연적인 기호 형식으로 유지합니다. 이 접근 방식은 해의 속성을 이해하고 정확한 기호 값을 사용하게 해줍니다. 수치 결과가 필요할 때나 기호적으로 진행할 수 없을 때만 기호 변수에 숫자를 대입합니다. 자세한 내용은 수치 연산방식 또는 기호 연산방식 선택하기 항목을 참조하십시오. 일반적으로 단계는 다음과 같습니다.
방정식을 선언합니다. 방정식을 풉니다. 값을 대입합니다. 결과를 플로팅합니다. 결과를 분석합니다.
워크플로: 라플라스 변환을 사용하여 RLC 회로 풀기
방정식 선언하기
라플라스 변환을 사용하여 초기 조건이 있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어, 다음 회로와 같은 저항-인덕터-커패시터(RLC) 회로를 풀 수 있습니다.
저항(단위: 옴): R 1 , R 2 , R 3
전류(단위: 암페어): I 1 , I 2 , I 3
유도용량(단위: 헨리): L
정전용량(단위: 패럿): C
AC 전압원(단위: 볼트): E ( t )
커패시터 전하(단위: 쿨롬): Q ( t )
키르히호프의 전압 및 전류 법칙을 적용하여 다음 방정식을 얻습니다.
I 1 = I 2 + I 3 L dI 1 dt + I 1 R 1 + I 2 R 2 = 0 E ( t ) + I 2 R 2 – Q C – I 3 R 3 = 0
위의 방정식에 관계식 I 3 = d Q / d t (커패시터 충전 속도)를 대입하여 RLC 회로의 미분 방정식을 얻습니다.
dI 1 dt – R 2 L dQ dt = – R 1 + R 2 L I 1 dQ dt = 1 R 2 + R 3 ( E ( t ) – Q C ) + R 2 R 2 + R 3 I 1
변수를 선언합니다. 물리량이 양수 값을 가지므로, 변수에 이에 해당하는 가정을 설정합니다. E ( t ) 를 1V의 교류 전압이라고 하겠습니다.
syms L C I1(t) Q(t) s R = sym( ‘R%d’ ,[1 3]); assume([t L C R] > 0) E(t) = 1*sin(t); % AC voltage = 1 V
미분 방정식을 선언합니다.
dI1 = diff(I1,t); dQ = diff(Q,t); eqn1 = dI1 – (R(2)/L)*dQ == -(R(1)+R(2))/L*I1
eqn1(t) = ∂ ∂ t I 1 ( t ) – R 2 ∂ ∂ t Q ( t ) L = – I 1 ( t ) R 1 + R 2 L
eqn2 = dQ == (1/(R(2)+R(3))*(E-Q/C)) + R(2)/(R(2)+R(3))*I1
eqn2(t) = ∂ ∂ t Q ( t ) = sin ( t ) – Q ( t ) C R 2 + R 3 + R 2 I 1 ( t ) R 2 + R 3
방정식 풀기
eqn1 과 eqn2 의 라플라스 변환을 계산합니다.
eqn1LT = laplace(eqn1,t,s)
eqn1LT = s laplace ( I 1 ( t ) , t , s ) – I 1 ( 0 ) + R 2 Q ( 0 ) – s laplace ( Q ( t ) , t , s ) L = – R 1 + R 2 laplace ( I 1 ( t ) , t , s ) L
eqn2LT = laplace(eqn2,t,s)
eqn2LT = s laplace ( Q ( t ) , t , s ) – Q ( 0 ) = R 2 laplace ( I 1 ( t ) , t , s ) R 2 + R 3 + C s 2 + 1 – laplace ( Q ( t ) , t , s ) C R 2 + R 3
함수 solve 는 기호 변수에 대해서만 방정식을 풉니다. 따라서 solve 를 사용하려면 먼저 laplace(I1(t),t,s) 와 laplace(Q(t),t,s) 에 변수 I1_LT 와 Q_LT 를 대입하십시오.
syms I1_LT Q_LT eqn1LT = subs(eqn1LT,[laplace(I1,t,s) laplace(Q,t,s)],[I1_LT Q_LT])
eqn1LT = I 1 , LT s – I 1 ( 0 ) + R 2 Q ( 0 ) – Q LT s L = – I 1 , LT R 1 + R 2 L
eqn2LT = subs(eqn2LT,[laplace(I1,t,s) laplace(Q,t,s)],[I1_LT Q_LT])
eqn2LT = Q LT s – Q ( 0 ) = I 1 , LT R 2 R 2 + R 3 – Q LT – C s 2 + 1 C R 2 + R 3
I1_LT 와 Q_LT 에 대해 방정식을 풉니다.
eqns = [eqn1LT eqn2LT]; vars = [I1_LT Q_LT]; [I1_LT, Q_LT] = solve(eqns,vars)
I1_LT = L I 1 ( 0 ) – R 2 Q ( 0 ) + C R 2 s + L s 2 I 1 ( 0 ) – R 2 s 2 Q ( 0 ) + C L R 2 s 3 I 1 ( 0 ) + C L R 3 s 3 I 1 ( 0 ) + C L R 2 s I 1 ( 0 ) + C L R 3 s I 1 ( 0 ) s 2 + 1 R 1 + R 2 + L s + C L R 2 s 2 + C L R 3 s 2 + C R 1 R 2 s + C R 1 R 3 s + C R 2 R 3 s
Q_LT = C R 1 + R 2 + L s + L R 2 I 1 ( 0 ) + R 1 R 2 Q ( 0 ) + R 1 R 3 Q ( 0 ) + R 2 R 3 Q ( 0 ) + L R 2 s 2 I 1 ( 0 ) + L R 2 s 3 Q ( 0 ) + L R 3 s 3 Q ( 0 ) + R 1 R 2 s 2 Q ( 0 ) + R 1 R 3 s 2 Q ( 0 ) + R 2 R 3 s 2 Q ( 0 ) + L R 2 s Q ( 0 ) + L R 3 s Q ( 0 ) s 2 + 1 R 1 + R 2 + L s + C L R 2 s 2 + C L R 3 s 2 + C R 1 R 2 s + C R 1 R 3 s + C R 2 R 3 s
I1_LT 와 Q_LT 의 라플라스 역변환을 계산하여 I 1 과 Q 를 계산합니다. 결과를 단순화합니다. 출력값이 너무 길기 때문에 이를 표시하지 않습니다.
I1sol = ilaplace(I1_LT,s,t); Qsol = ilaplace(Q_LT,s,t); I1sol = simplify(I1sol); Qsol = simplify(Qsol);
값 대입하기
결과를 플로팅하기 전에 먼저 기호 변수에 회로 소자의 수치적 값을 대입합니다. R 1 = 4 Ω , R 2 = 2 Ω , R 3 = 3 Ω , C = 1 / 4 F , L = 1 . 6 H 라고 하겠습니다. 초기 전류는 I 1 ( 0 ) = 2 A 이고 초기 전하는 Q ( 0 ) = 2 C 라고 가정합니다.
vars = [R L C I1(0) Q(0)]; values = [4 2 3 1.6 1/4 2 2]; I1sol = subs(I1sol,vars,values)
I1sol = 200 cos ( t ) 8161 + 405 sin ( t ) 8161 + 16122 e – 81 t 40 cosh ( 1761 t 40 ) – 742529 1761 sinh ( 1761 t 40 ) 14195421 8161
Qsol = subs(Qsol,vars,values)
Qsol = 924 sin ( t ) 8161 – 1055 cos ( t ) 8161 + 17377 e – 81 t 40 cosh ( 1761 t 40 ) + 1109425 1761 sinh ( 1761 t 40 ) 30600897 8161
결과 플로팅하기
전류 I1sol 과 전하 Qsol 을 플로팅합니다. 2개의 서로 다른 시간 구간 0 ≤ t ≤ 15 와 2 ≤ t ≤ 25 를 사용하여 과도 상태 동작과 정상 상태 동작을 모두 표시합니다.
subplot(2,2,1) fplot(I1sol,[0 15]) title( ‘Current’ ) ylabel( ‘I1(t)’ ) xlabel( ‘t’ ) subplot(2,2,2) fplot(Qsol,[0 15]) title( ‘Charge’ ) ylabel( ‘Q(t)’ ) xlabel( ‘t’ ) subplot(2,2,3) fplot(I1sol,[2 25]) title( ‘Current’ ) ylabel( ‘I1(t)’ ) xlabel( ‘t’ ) text(3,-0.1, ‘Transient’ ) text(15,-0.07, ‘Steady State’ ) subplot(2,2,4) fplot(Qsol,[2 25]) title( ‘Charge’ ) ylabel( ‘Q(t)’ ) xlabel( ‘t’ ) text(3,0.35, ‘Transient’ ) text(15,0.22, ‘Steady State’ )
결과 분석하기
초기에는 전류와 전하가 지수적으로 감소합니다. 그러나 장기적으로는 진동합니다. 이러한 동작은 각각 “과도 상태”와 “정상 상태”라고 합니다. 기호 결과를 사용하면 결과의 속성을 분석할 수 있습니다. 이는 수치 결과를 사용할 때는 가능하지 않습니다.
I1sol 과 Qsol 을 시각적으로 검토합니다. 항들의 합을 볼 수 있습니다. children 을 사용하여 항을 구합니다. 그런 다음 [0 15] 에 대해 항을 플로팅하여 항의 비중을 구합니다. 플롯에서 과도 상태 항과 정상 상태 항을 볼 수 있습니다.
I1terms = children(I1sol); I1terms = [I1terms{:}]; Qterms = children(Qsol); Qterms = [Qterms{:}]; figure; subplot(1,2,1) fplot(I1terms,[0 15]) ylim([-0.5 2.5]) title( ‘Current terms’ ) subplot(1,2,2) fplot(Qterms,[0 15]) ylim([-0.5 2.5]) title( ‘Charge terms’ )
플롯을 통해 I1sol 에는 하나의 과도 상태 항과 하나의 정상 상태 항이 있고 Qsol 에는 하나의 과도 상태 항과 두 개의 정상 상태 항이 있음을 볼 수 있습니다. 시각적 검토를 통해 I1sol 과 Qsol 에 exp 함수를 포함하는 하나의 항이 있는 것을 알 수 있습니다. 이 항이 과도 지수 감쇠의 원인이 된다고 가정합니다. has 를 사용하여 exp 가 있는 항이 있는지 확인함으로써 I1sol 과 Qsol 의 과도 상태 항과 정상 상태 항을 분리합니다.
I1transient = I1terms(has(I1terms, ‘exp’ ))
I1transient = 16122 e – 81 t 40 cosh ( 1761 t 40 ) – 742529 1761 sinh ( 1761 t 40 ) 14195421 8161
I1steadystate = I1terms(~has(I1terms, ‘exp’ ))
I1steadystate = ( 200 cos ( t ) 8161 405 sin ( t ) 8161 )
마찬가지로, Qsol 을 과도 상태 항과 정상 상태 항으로 분리합니다. 이 결과는 기호 계산이 문제를 분석하는 데 어떻게 도움이 되는지 보여줍니다.
Qtransient = Qterms(has(Qterms, ‘exp’ ))
Qtransient = 17377 e – 81 t 40 cosh ( 1761 t 40 ) + 1109425 1761 sinh ( 1761 t 40 ) 30600897 8161
Qsteadystate = Qterms(~has(Qterms, ‘exp’ ))
3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용
Contents
1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 이용하면 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
예시를 통해서 라플라스 변환을 이용해서 ODE를 풀어내는 방법을 살펴보겠습니다.
EX
우선 각 항에 라플라스 변환을 취해서 식을 대수 영역으로 전환해줍니다.
그 후 라플라스 변환이 취해진 해에 대해 식을 다시 정리할 수 있습니다.
우리가 원하던 해는 대수방정식의 해가 아니라 미분방정식의 해이기 때문에 위의 결과에 라플라스 역변환을 취해줍니다. 그러면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.
2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
제차 미분방정식을 풀이할 때와 마찬가지로 라플라스 변환을 취하고, 라플라스 변환된 해에 대해 식을 정리할 수 있습니다.
정리된 식의 형태를 살펴보면 homogeneous 일 때의 해($Y_h(s)$)와 특수해($Y_p(s)$)의 조합인 것을 확인할 수 있습니다. 이제 라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 구할 수 있을 것입니다.
이해를 위해 예시를 살펴보겠습니다.
EX
우선 라플라스 변환을 취해서 대수방정식을 얻은 후 식을 정리합니다.
이제 라플라스 역변환을 취해 식을 정리해주어야 하는데, 이를 위해서 식을 재정리할 필요가 있습니다. 보통 라플라스 역변환을 위한 식 정리는 유리식의 항등성을 이용합니다.
라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.
여기서 $H(t)$는 Heviside Step Function이고, 주어진 미분방정식을 $t>0$에 대해 고려하면 $H(t)=1$로 두고 미분방정식의 해를 사용하면 됩니다. (사실 $t$가 시간인 경우가 많아 $t>0$에 대해서 고려하긴 합니다.)
[공업수학] 2. 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제
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사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다.
라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다.
대수방정식은
이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!)
라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다
미분방정식의 해를 구하기 위해서는 두 가지 공식을 사용한다. ①기본 변환표, ②미분공식. 추가적으로 적분공식도 올려놓는다
s-shifting 이나 t-shifting 에 대해서는 따로 언급하지 않겠다. 보다 자세히 다루는 것은 추후 공업수학에서 포스팅할 때이지 않을까 싶다
(0) 라플라스 변환의 정의
라플라스 변환의 정의
이 정의를 이용해 시간에 대한 함수 f를 s라는 새로운 변수에 대한 함수 F로 변환시킬 수 있다. 물론 F(s)=f(t)를 의미하지는 않는다. s와 t 사이에는 어떠한 관계도 성립하지 않기 때문에.
예시를 통해 라플라스 변환을 더 알아보자
이에 더해 라플라스 변환이 가지고 있는 매우 중요한 성질, 선형성 또한 유도해보자
라플라스 변환의 선형성(Linearity)
미분방정식은 대개 여러 개의 항으로 구성되어있기 때문에 선형성을 가진다는 사실을 알고 있어야 정상적으로(정석적으로) 해를 구할 수 있다
(1) 라플라스 변환표
erwin kreyszig 의 advanced engineering mathematics 10th edition
공식이 더 있긴 한데 이정도면 충분하다. 나머지는 미분공식, 적분공식으로 직접 구할 수 있는 것들이다. 왼쪽에 F(s)가 위치한 이유는 위 테이블을 가지고 역변환 하라고.
(2) 미분공식, 적분공식
미분방정식은 함수f의 도함수가 포함되어있는 방정식이다. 따라서 미분방정식을 라플라스 변환을 통해 풀 때 도함수에 대한 라플라스 변환을 수행하는 것은 필수적이다. 추가적으로 적분에 대한 공식 또한 미분공식의 유도과정과 같은 방식으로 유도할 수 있다
라플라스 미분공식
유도 과정은 다음과 같다
먼저, 1계 도함수에 대한 유도 과정이다
다음으로 n계 도함수에 대한 유도과정이다
+) 적분공식
출처 : erwin kreyszig 의 advanced engineering mathematics 10th edition
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(3) 라플라스 변환을 이용해 미분방정식 풀기
(예제 1)
(예제 2)
기본적으로 변환표를 이용하기 위해서는 부분분수 합 꼴로 변환해주어야 한다
Any Qustions, Any Comments WELCOME 🙂
오타나 오류 지적 감사히 받습니다
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#3.1Laplace Transform(라플라스변환)
#0. Transform(변환) 이란?
미분방정식을 미분과 적분을 이용해서 풀이하는 기본적인 방법론에 대해서 이전글까지 설명했고, 앞으로 나올 주제들은 “변환”에 관한 이야기입니다. “변환”이라고 하면 일단 무언가를 다른세상으로 끌고 간다고 생각하면 될 것 같습니다. 우리가 “변환”을 하는 이유는 어떤 식이 다루기가 좀 힘들때, 이 식을 변환시켜 우리가 다루기 쉬운형태로 만들고자 할때 “변환” 을쓰게 됩니다.
예를 들면, 초월함수나 삼각함수의 경우 함수의 특성상 계산이 복잡해지거나, 다루기가 힘들어집니다. 이것을 변환을 통해 다항함수나 유리함수정도로 바꿀 수 있다면, 계산과정이 훨씬 줄어들게 되겠죠. Laplace Transform도 이와마찬가지입니다. 미분이 껴있어서 다루기가 힘든 미분방정식을 Laplace Transform을 통해 사칙연산이 가능한 형태로 만들어서 풀이한 다음, 다시 inverse Transform을 통해 원래상태로 돌아가는 방법입니다.
#1. Laplace Transform (라플라스변환)
라플라스변환에서는 t세상이 있고, 변환후엔 s세상이 있습니다.(쉽게 비유를 한것입니다.) t세상은 현재 미분방정식을 다루는 세상이고, 이것을 라플라스 변환을 하여 s에 관한 세상으로 끌고 가는 것입니다.(s에 관한식) s세상에서는 미분과 적분이 곱셈과 나눗셈을 통해 연산하게 됩니다. t세상에서보다 훨씬 간단한 방법으로 계산할 수 있게 되겠죠. 그리고 계산이 끝난 뒤에는 다시 inverse Transform(역변환)을 통해 다시 t세상 돌아오는 겁니다.
오늘은 그 첫번째 관문인 t에서 s세상으로 가는 변환에 대해 정의하겠습니다.
#2.Laplace Transform의 정의
라플라스변환은 적분을 통해 정의 됩니다. 적분식이 dt이므로 t에 관해서 적분하죠? 즉 s는 여기서 상수취급이 되게 됩니다. 이 변환을 거치게 되면 식이 s에 관한식으로 변환이 되는 것입니다. 그렇다면 반대로 s세상에서 t세상으로 돌아가는 inverse Transform도 식이 있겠죠? inverse Transform의 식은
이렇게 됩니다….. 이해가 안가죠? 적분 구간에 복소수가 포함되어있고 심지어는 밖에도 복소수가 포함되어있습니다. 이걸 풀어내기 위해서는 복소수관련 파트를 공부해야한다고 합니다.(매우 어렵다고 하네요.)그래서 대부분의 공학수학책에서는 Laplace Transform만을 식으로 공부하고, 역변환은 표를 주고 외우게 만듭니다.
이렇게 우리가 많이 쓰는 식들에 대해서는 표를 이용하는 것이 훨씬 빠르고 편하기 때문에 이 표를 통해 라플라스 변환을 하게 될겁니다. 여러가지 변환에 대한 풀이들은 다음 글에서 다루기로 하고 오늘은 가장 간단한 식을 하나 풀어보고 마무리하도록 하겠습니다.
#3. 예제
1. f(1) 의 Laplace Transform
2. f(e^at) 의 Laplace Transform
이건 약간 느낌이 특이하죠? 1번과 비교해봤을때 -a가 추가되었습니다. 이것을 s-Shifting 이라고 합니다. Shifting 과 관련해서는 다음글에서 한번에 다루도록 하겠습니다.
표를 보지 않고 한번 직접 적분식을 써가면서 변환을 해보길 바랍니다. 나중에 익숙해지면 바로바로 식을 라플라스 변환을 통해 s에 관한 식으로 바꿀 수 있을겁니다.
키워드에 대한 정보 라플라스 변환 미분 방정식
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