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상미분 방정식(常微分方程式, 영어: ordinary differential equation, 약자 ODE)은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킨다.
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업로드하여 스터디를 함께 진행하고자 합니다 ..^^
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항상 감사합니다 ^^
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[미분방정식] 1. 상미분방정식 소개 – Introduction to ODE
자연 현상의 수학적 모델은 대부분의 경우 미분방정식의 형태로 주어지게 됩니다. ODE(Ordinary Differential Equation) – 상미분방정식. – 독립 변수를 …
Source: min-97.tistory.com
Date Published: 2/12/2021
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미분방정식 – 나무위키:대문
보통 미방이라고 줄여서 부른다. 미지함수가 일변수이면 상미분항만을 포함한 상미분방정식(常微分方程式, Ordinary Differential Equation; ODE)이 되고, …
Source: namu.wiki
Date Published: 4/3/2021
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고3도 이해할 수 있는 기초 상미분방정식 풀어보자!
독립변수가 하나인 미분 방정식을 의미합니다! . 미분 방정식이란? 도함수와 도함수 이전의 함수로 구성된 방정식 입니다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 11/28/2021
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[공업수학] 1계 상미분방정식 총정리 (1) : 변수분리형, 완전미분 …
1계 상미분방정식은 네 가지 형태만 알면 됩니다. P(x)dx = Q(y)dy 꼴로 표현가능한 변수분리형과 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 꼴의 완전미분방정식, …
Source: subprofessor.tistory.com
Date Published: 4/16/2021
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[Engineering Math.] Ordinary Differential Equation (상미분 …
미분 방정식은 다양한 분야에서 사용되며 주로 어떠한 시스템을 수학적으로 모델링 할 때에 많이 사용된다. 미분 방정식은 가까운 미래의 일을 예측 할 수 있는 기능을 …
Source: beckho.tistory.com
Date Published: 9/19/2021
View: 1545
제 1 장 1계 상미분방정식 – 큐스터디
제 1 장 1계 상미분방정식. 미분방정식이란 종속변수를 독립변수에 대해 미분한 도함수를 포함하는. 방정식이다. Def (1): 미분방정식(differential equation).
Source: qstudy.kr
Date Published: 4/17/2022
View: 5898
[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법 – 경호의 개발일지
미분방정식에도 종류가 많은데 기준을 독립변수의 수라고 하면 1개인 경우가 상미분방정식, 여러 개인 경우가 편미분방정식이다.
Source: gyeonghokim.github.io
Date Published: 12/23/2022
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상미분 방정식(常微分方程式, 영어: ordinary differential equation, 약자 ODE)은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킨다. 이와 반대되는 개념은 여러 변수에 대한 함수를 편미분하는 형식을 취하는 편미분 방정식이다.
예를 들어, 뉴턴의 제2법칙은 상미분 방정식으로 나타낼 수 있는데, 어떤 시간 t {\displaystyle t} 에 대하여 거리가 x ( t ) {\displaystyle x(t)} , 힘의 크기가 F {\displaystyle F} 인 경우 운동법칙을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
m d 2 x ( t ) d t 2 = F ( x ( t ) ) {\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=F(x(t))}
상미분 방정식이 선형인 경우는 해석적인 방법으로 풀 수 있는 반면, 비선형인 경우에는 일반적인 해를 구하는 것이 힘들거나 불가능하다. 이러한 경우 근사적인 해를 구하는 접근법도 연구되고 있다.
상미분 방정식은 과학과 공학의 다양한 분야에서 널리 응용된다.
역사 [ 편집 ]
아이작 뉴턴, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠, 야코프 베르누이, 야코포 리카티(이탈리아어: Jacopo Riccati), 알렉시스 클레로, 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러 등 여러 수학자들이 상미분 방정식 이론의 발전에 기여하였다.
정의 [ 편집 ]
변수 x {\displaystyle x} 에 대한 함수 y ( x ) {\displaystyle y(x)} 에 대해, x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , y ′ {\displaystyle y’} 의 도함수로 구성된 어떤 방정식이
F ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) , ⋯ , y ( n − 1 ) ( x ) ) = y ( n ) ( x ) {\displaystyle F(x,y(x),y'(x),\cdots ,y^{(n-1)}(x))=y^{(n)}(x)}
와 같은 형태로 표현될 수 있는 경우 ( y ( k ) {\displaystyle y^{(k)}} 는 y {\displaystyle y} 의 k {\displaystyle k} 차 도함수), 이 방정식을 n차 상미분 방정식이라고 정의한다.
만약 방정식이
F ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) , y ″ ( x ) , ⋯ , y ( n ) ( x ) ) = 0 {\displaystyle F(x,y(x),y'(x),\ y”(x),\ \cdots ,\ y^{(n)}(x))=0}
의 모양으로 표현된다면 이를 내재적 형태(영어: implicit form)라고 한다. 이에 반해 첫 번째 식의 경우는 명시적 형태(영어: explicit form)라고 한다.
선형 상미분 방정식 [ 편집 ]
상미분 방정식이 y 도함수의 선형 결합인 경우, 즉
y ( n ) = ∑ i = 0 n − 1 a i ( x ) y ( i ) + r ( x ) {\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}
의 꼴로 표현할 수 있는 경우 이 상미분 방정식은 선형 상미분 방정식(영어: linear ordinary differential equation)이라고 정의한다.
여기서 a i (x)와 r(x)는 변수 x에 대한 연속함수이다. 함수 r(x)는 초항(source term)이라 부르며, 만약 r(x)=0 이라면 이 선형 미분방정식은 동차 선형 상미분 방정식(영어: homogeneous linear ordinary differential equation)이라고 한다.
제차 선형 상미분 방정식 [ 편집 ]
1계 제차 선형 상미분 방정식 [ 편집 ]
y ′ + p ( x ) y = 0 {\displaystyle y’+p\left(x\right)y=0}
와 같은 1계 제차 선형 상미분 방정식은 변수분리를 통해
d y y = − p ( x ) d x {\displaystyle {\frac {dy}{y}}=-p\left(x\right)dx}
로 나타낼 수 있고, 적분을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.
ln | y | = − ∫ p ( x ) d x + c ∗ {\displaystyle \ln \left|y\right|=-\int _{}^{}{p\left(x\right)dx+c*}}
따라서 아래의 식으로 손쉽게 1계 제차 선형 상미분 방정식의 해를 구할 수 있다.
y ( x ) = c e − ∫ p ( x ) d x {\displaystyle y\left(x\right)=ce^{-\int _{}^{}{p\left(x\right)dx}}} y ≠ 0 {\displaystyle y
eq 0} c = ± e c ∗ {\displaystyle c=\pm e^{c*}}
이때, c = 0 {\displaystyle c=0} 이면 자명한 해 y ( x ) = 0 {\displaystyle y(x)=0} 를 얻는다.
2계 제차 선형 상미분 방정식 [ 편집 ]
2계 선형 상미분방정식은 역학, 파동, 열전도 등에서 많이 이용된다. 다음 식으로 표현되는 2계 제차 선형 상미분 방정식은
y ″ + a y ′ + b y = 0 {\displaystyle y”+ay’+by=0}
은 다음과 같은 특성방정식(characteristic equation; 보조방정식)을 이용해 특성을 알아내고, 그 해를 구할 수 있다
λ 2 + a λ + b = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+a\lambda +b=0}
특성방정식의 각각의 경우에 대한 일해 및 설명은 아래 표와 같다.
경우 근 기저 일반해 a 2 − 4 b > 0 {\displaystyle a^{2}-4b>0} 서로 다른 실근 λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} e λ 1 x , e λ 2 x {\displaystyle e^{\lambda _{1}x},e^{\lambda _{2}x}} y = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x {\displaystyle y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}} a 2 − 4 b = 0 {\displaystyle a^{2}-4b=0} 실이중근 λ = − 1 2 a {\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}a} e − a x / 2 , x e − a x / 2 {\displaystyle e^{-ax/2},xe^{-ax/2}} y = ( c 1 + c 2 x ) e − a x / 2 {\displaystyle y=\left(c_{1}+c_{2}x\right)e^{-ax/2}} a 2 − 4 b < 0 {\displaystyle a^{2}-4b<0} 공액 복소수 λ 1 = − 1 2 a + i ω , λ 2 = − 1 2 a − i ω {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}=-{\frac {1}{2}}a+i\omega ,\\&\lambda _{2}=-{\frac {1}{2}}a-i\omega \\\end{aligned}}} e − a x / 2 cos ω x e − a x / 2 sin ω x {\displaystyle {\begin{aligned}&e^{-ax/2}\cos \omega x\\&e^{-ax/2}\sin \omega x\\\end{aligned}}} y = e − a x / 2 ( A cos ω x + B sin ω x ) {\displaystyle y=e^{-ax/2}\left(A\cos \omega x+B\sin \omega x\right)} 비제차 선형 상미분 방정식 [ 편집 ] 비제차 상미분 방정식은 y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ′ + a 0 y = r ( x ) {\displaystyle y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left(x\right)} 와 같이 우항의 r ( x ) {\displaystyle r\left(x\right)} 가 '0'이 아닌 경우를 말한다. 비제차 상미분 방정식의 일반해는 y ( x ) = y h ( x ) + y p ( x ) {\displaystyle y\left(x\right)=y_{h}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)} 와 같은 형태이다. 비제차 상미분 방정식을 풀이하는 방법에는 다음의 방법들이 있다. 비제차 상미분 방정식의 r ( x ) {\displaystyle r\left(x\right)} y h ( x ) {\displaystyle y_{h}\left(x\right)} 우항의 r ( x ) {\displaystyle r\left(x\right)} 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 풀이한다. 비선형 상미분 방정식 [ 편집 ] 선형이 아닌 상미분 방정식을 비선형 상미분 방정식(영어: nonlinear ordinary differential equation)이라 부른다. 비선형 상미분 방정식의 해는 선형방정식에 비해 매우 복잡하다. 비선형 방정식의 풀이법으로는 다음이 있다. 또한, 베르누이 방정식과 같은 특수한 경우에는 선형 상미분 방정식으로 변환시킬 수 있다. 예 [ 편집 ] 다음은 대표적인 상미분 방정식의 예이다. 참고 문헌 [ 편집 ] Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2 .
[미분방정식] 1. 상미분방정식 소개 – Introduction to ODE
각종 공학 문제를 해결하기 위해서 기본이 되는 수학을 배우는 것이 ‘공학수학’의 목표입니다.
공학 문제를 해결하는 과정은 다음과 같습니다.
1. 자연 현상을 관찰한다.
2. 관찰 결과를 바탕으로 자연 현상을 수학적으로 모델링한다.
3. 작성된 수학적 모델의 해를 구한다.
4. 수학적 해를 바탕으로 물리적 해석을 얻어낸다.
‘공학수학’에서는 주로 3번 단계 “작성된 수학적 모델의 해를 구한다.”에 관해서 공부하게 될 것입니다.
자연 현상의 수학적 모델은 대부분의 경우 미분방정식의 형태로 주어지게 됩니다.
ODE(Ordinary Differential Equation) – 상미분방정식
– 독립 변수를 하나만 포함하며, 하나 이상의 도함수를 가지고 있는 미분방정식
ODE와 반대되는 개념의 미분방정식은 PDE(Partial Differential Equation) – 편미분방정식이며, 두 개 이상의 독립 변수로 구성된 미분방정식을 의미합니다.
1장에서 다룰 미분방정식은 1차 상미분방정식입니다.
1차 상미분방정식 – Fisrt-Order ODEs
1차 ODE의 기본 형태는 다음과 같습니다.
예제 1. $y = ce^{0.2t}$를 생각해봅시다.
따라서, $y’ = 0.2y$꼴의 미분방정식은 $y = ce^{0.2t}$라는 해를 가집니다.
여기서, $c$라는 임의의 상수가 해에 포함되어 있기 때문에, 미분방정식 $y’ = 0.2y$은 무수히 많은 해를 가지고 있습니다.
이러한 해를 general solution이라고 합니다.
(Matlab을 이용하여 그래프 그리는 방법은 아래 페이지에서 학습할 수 있습니다.)
반면에, $c=0.2$ 등으로 상수 값을 특정지으면 해는 하나로 정의됩니다.
이러한 해를 particular solution이라고 합니다.
Particular solution을 갖는 대표적인 미분방정식으로는 초기값문제(IVP)가 있습니다.
IVP(Initial Value Problem) – 초기값문제
위와 같이 초기값이 주어진 미분방정식을 IVP라고 하며, particular solution을 구할 수 있습니다.
예제 2. IVP의 particular solution을 구해봅시다.
Erwin Kreyszig, “Advanced Engineering Mathematics”, 10th Edition을 참조하여 제작하였습니다.
[공업수학] 1계 상미분방정식 총정리 (1) : 변수분리형, 완전미분방정식, 선형 상미분 방정식, 베르누이 방정식
따라서 Mdx + Ndy = 0 꼴의 미분방정식에서 dx 앞의 항과 dy 앞의 항을 각각 y, x에 대해 미분했을 때 같은 결과가 나온다면 그 해는 u(x,y)=C꼴로 나타낼 수 있다는 것입니다. 또한 M와 N은 u의 편도함수라는 의미에서 연관성이 생기구요.
완전미분방정식을 푸는 방법을 정리하면 다음과 같습니다.
(1) 완전성 검사 : M을 y에 대해 편미분한 것과 N을 x에 대해 편미분한 것을 비교한다.
(2) u = int(M) dx +k(y) 로 설정. 또는 u = int(N)dy + k(x) 로 설정.
(3) u의 편도함수가 N임을 (M임을) 이용해 k(y) 또는 k(x)를 결정한다.
(4) u = C꼴의 해를 정리한다.
[Engineering Math.] Ordinary Differential Equation (상미분 방정식) 1
미분 방정식은 다양한 분야에서 사용되며 주로 어떠한 시스템을 수학적으로 모델링 할 때에
많이 사용된다. 미분 방정식은 가까운 미래의 일을 예측 할 수 있는 기능을 가지고 있다.
(먼 미래의 일을 예측 하기 위해서는 여기에 확률, 통계적인 요소가 첨가 되어야 한다.)
상미분 방정식(Ordinary Differential Equation)을 줄여서 O.D.E라 한다.
편미분 방정식(Partial Differential Equation)은 P.D.E.
여기서 다룰 내용은 상미분 방정식에서도 선형(Linear)인 선형 상미분 방정식의 풀이방법이다.
선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현된다.
1차 선형 상미분 방정식: y’ + p(x)y = r(x)
2차 선형 상미분 방정식: y” + p(x)y’ + g(x)y = r(x)
3차 선형 상미분 방정식: y”’ + p(x)y” + g(x)y’ + l(x)y = r(x)
(상미분 방정식은 독립변수 하나에 종속변수가 하나이므로 y’=dy/dx로 표현 가능 하다.)
여기서 y변수 앞의 계수들이 위와 같이 x로만 표현 될 수 있으면 선형이며,
그렇지 않다면 비선형이다.
1차 선형 상미분방정식은 총 6가지의 방법으로 풀 수 있다.
1차 선형 상미분방정식을 푸는 6가지의 방법을 살펴 보자.
1. 변수 분리법
2. 치환을 통한 변수 분리법의 활용
3. Exact Method
다음과 같은 선형 상미분 방정식이 있다.
이런 형태의 미분 방정식의 풀이법은 다음과 같다.
우선 하나의 가정을 세운다.
우리가 최종적으로 구하려고 하는 함수 식을 u라고 했을 때,
M은 u식을 x에 대해 편미분을 한 것이고, N은 u식을 y에 대해 편미분 한 것이라 가정 한다.
그러면 다음과 같이 M을 y에 대해 미분하고, N을 x에 대해 미분하면
두 값은 같아 질 것이다.
그렇다면, 다음의 식을 써서 u를 구할 수 있다.
왜냐하면, 식 u를 x에 대해 편미분 했을 때에는 x항의 미분값만 남고 y항은 제거 될테고,
식 u를 y에 대해 편미분 했다면 y항의 미분값만 남고 x항은 제거될 것이기 때문에
u식을 2가지 루트로 구할 수 있다.
M을 x에 대해 적분한 후 제거 되었던 y에 대한 항을 더해서 구하거나
N을 y에 대해 적분한 후 제거 되었던 x에 대한 항을 더해서 구할 수 있다.
제거 된 항들에는 당연히 적분 상수도 포함 되어 있을 것이다.
다음 예제를 보자.
예제 1) 다음과 같은 미분 방정식이 있을 때,
우선 M과 N을 위 처럼 정의 하고, 조건을 만족하는지 검사 한다.
조건을 만족하므로 앞서 보았던 정리를 사용할 수 있고, 가정 또한 만족 한다.
u를 구해 보면,
(여기서 사용한 방법은 M을 x에 대해 적분하고 편미분에 의해 소거 되었던 y에 대한 항을
구하는 방법이다.)
k(y)를 구하면,
최종적으로 u를 구해 낼 수 있다.
예제 2)
(여기서 사용한 방법은 N을 y에 대해 적분하고 편미분에 의해 소거 되었던 x에 대한 항을
구하는 방법이다.)
4. Reduction to Exact Method
3번과 같은 문제에서 다음이 성립 되지 않는 경우가 있다.
이런 경우에는, 각 함수 M,N 앞에 Integrating Factor F(x,y)를 양변에 곱하여
다음이 성립하도록 만드는 것이다.
즉, F·P를 M으로, F·Q를 N으로 보고 3번과 같이 Exact Method를 사용하여 문제를 풀면 된다.
Integrating Factor F(x,y)를 구하는 방법을 보자.
F는 x만의 함수이거나 y만의 함수이어야 한다.
(3번에서 Exact Method로 풀지 못하면 여기서와 같이 양변에 Integrating Factor를 곱해
풀어보면 된다. 하지만 F가 x만의 함수도, y만의 함수도 아닌게 나오게 되면 이 방법으로
조차 풀수 없는 문제이니 다른 방법을 생각 해야 한다.)
우선, F를 구하는 식은 다음과 같이 두가지 이다.
만일 F가 x만의 함수라면 다음과 같이 구할 수 있고
F가 y만의 함수라면 다음과 같이 구할 수 있다.
적분 안에 들어가 있는 R값은 다음과 같이 구한다.
F가 x만의 함수라면,
F가 y만의 함수라면,
이렇게 구해낸 Integrating factor F를 양변에 곱한 후
3번과 같이 Exact Method를 사용하여 문제를 풀면 된다.
다음 예제를 보자.
예제)
이 방정식은 다음의 조건이 성립 되지 않으므로,
Integrating Factor를 구해 보면,
1. 우선, F가 x만의 함수라 가정해 보면
이는 변수 y를 포함하고 있으므로 x만의 함수가 아니다. 이는 사용할 수 없다.
2. 그렇다면 F가 y만의 함수라 가정해 보자.
-1은 x만의 함수라 할 수도 있고, y만의 함수라 할 수도 있으므로 이를 사용하여 F를 구해 보면
F를 양변에 곱하면,
이제, 이 식을 Exact Method를 사용하여 풀면 답을 찾을 수 있다.
5. 선형 공식을 이용한 풀이 방법
앞서 선형 1차 상미분 방정식의 풀이 방법들을 봤는데,
지금 소개할 방법은 ‘만능 선형 1차 상미분 방정식 풀이기’ 이다.
즉, 앞서 소개 했던 방법들을 죄다 모른다 해도 이 방법 하나만 알고 있으면
모든 선형 1차 상미분 방정식의 해를 구할 수 있는 것이다.
(그럼 왜 앞서 소개 했던 방법들을 배울까?? 지금 소개할 방법으로 풀면 죄다 풀릴 텐데.
앞서 설명한 방법들은 특정 형태의 방정식에서 해를 찾을 수 있는 지름길을 설명해 준것일 뿐이다.
앞의 예제들을 지금 소개할 방법으로 풀어 보라. 풀리긴 하겠지만 시간이 더 많이 걸릴 것이다.)
다음과 같은 1차 선형 상미분 방정식이 있다고 할 때,
일반해(General solution, 이하 G.S)는 Particular solution(이하 P.S)과
Homogeneous solution(이하 H.S)으로 구성 되어있다.
위 식에서 우변 r(x)가 0인 경우를 Homogeneous equation,
0이 아닌경우를 Nonhomogeneous equation이라 하는데, Homogeneous식의 해를 Homogeneous solution, Nonhomogeneous식의 해를 Particular solution이라 한다.
G.S은 항상 P.S + H.S로 표현 되는데, H.S만으로는 충분히 의미가 있을 수 있지만,
P.S만으로는 의미가 없으며 P.S만 존재 할 수도 없다.
H.S은 알다 시피 r(x)가 0으로 두고 풀면 구할 수 있다.
위와 같은 1차 선형 상미분 방정식의 일반해(G.S)는 다음의 공식을 사용하여 구할 수 있다.
이 식의 유도과정은 이 페이지 제일 아래에 있다.
만일 일반해가 아닌 Homogeneous sol.만을 구하려고 하는 경우에도
위 식을 그대로 사용할 수 있는데, H.S의 경우 위 식에서 우변 r(x)=0인 경우의 해 이기 때문에
에서 r에 0을 대입해 보면, 위 식의 첫 번째 항은 0이 되고 뒤의 C·e^(-h)만 남는다.
남은 Ce^(-h)이 Homogeneous solution이다.
예제를 풀어보자.
예제 1)
풀이
예제 2)
풀이
6. Bernoulli’s Equation (베르누이 방정식)
이 페이지의 맨 앞에서 미리 말을 한대로, 상미분 방정식의 변수 앞의 계수들이
x로만 표현 될 수 있으면 선형이라고 했지만, 베르누이 방정식의 경우 비선형이다.
베르누이 방정식은 다음과 같다.
즉, 5번에서 본 식에서 r(x)자리에 y의 상수승이 곱해져 있는 형태 이다. (a=상수)
이 식은 비선형 방정식이지만, 다른 비선형 방정식과 다르게 베르누이 방정식만은
5번 에서와 같이 선형 공식을 이용하여 풀 수 있다.
우선 위와 같이 치환 후, 미분 하면,
이 되고, y^(1-a)=u 이므로 정리 하면
이제 이 식에 5번에서 썼던 공식을 그대로 사용하여 풀면 된다.
예제를 보자.
예제)
[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법
미분방정식
도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식이라 한다
미분방정식에도 종류가 많은데 기준을 독립변수의 수라고 하면 1개인 경우가 상미분방정식, 여러 개인 경우가 편미분방정식이다.
미분방정식의 차수
미분방정식안에 들어있는 도함수 중에 최고로 높은 차수, 그러니까 제일 많이 미분했는 항이 몇 번 미분한 건지가 그 미분방정식의 차수가 된다.
1계 상미분방정식
독립변수 하나에 최고차수가 1차, 그러니까 한번 미분한 함수가 최고인 미분방정식이다.
아래에 나오는 미분방정식은 전부 1차임을 가정하고 푼다.
이런 미분방정식을 푸는 법에는 여러가지가 있다.
변수분리 풀이법 완전미분방정식 풀이법 선형상미분방정식 풀이법 베르누이 방정식 풀이법
변수분리
가장 쉽게 떠올릴 수 있는 방법으로, 같은 것끼리 묶어둔 꼴(독립변수는 전부 우변, 종속변수는 전부 좌변 이런 식)로 정리를 한 뒤에 독립변수에 대해 적분을 하면 된다. \(\frac{y}{x}\) 꼴로 정리되는 미분방정식도 있는데 그 때는 그 분수 통째로 치환해서 정리하면 변수분리가 가능해진다.
\(g(y)\dot{y}=f(x)\)
\({\int_{}{}g(y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}={\int_{}{}f(x)\text{d}x} + c\)
여기서 골때리는게 나는 미분법이라던가 적분법을 모른다.
걱정하지 말자, 군대갔다오면 전부 그렇다. 나도 \(x^{n}\) 미분못해서 충격받고 한참 울었다.
어쩔 수 없지. 자주 나오는 미분법과 적분법을 외워 보자.
자주나오는 미분
미분할 때 규칙이다.
상수 미분하면 0 분배법칙 성립 두 종속변수의 곱을 미분하면 각각을 따로 미분해서 더하면 됨 두 종속변수의 분수꼴을 미분하면 분모는 제곱, 분자는 따로 미분해서 빼면됨 체인 룰 성립
다항함수는 이렇게 미분한다.
지수를 아래로 내리고 지수에 1을 빼면 된다.
\({(x^{n})}^\prime = nx^{n – 1}\)
지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수는 이렇게 미분한다.
\({(e^{x})}^\prime = e^{x}\)
\({(a^{x})}^\prime = {a^{x}}\ln(a)\)
\((\sin(x))^\prime = \cos(x)\)
\(\cos(x)^\prime = -\sin(x)\)
\(\tan(x)^\prime = \sec^2(x)\)
\(\cot(x)^\prime = -\csc^2(x)\)
\(\sinh(x)^\prime = \cosh(x)\)
\(\cosh(x)^\prime = \sinh(x)\)
이상한 내 친구처럼 고등학교 졸업하고 대학교 1학년에 미적보다 공수1을 먼저 듣거나 군대를 갔다온 사람이라면 쌍곡함수는 몰라야 정상이다. 어차피 미적분수업아니니까 자세히 알 필요는 없고 분자에 자연상수로 이상한 짓거리를 한 분수 정도로 알면 된다. 삼각함수랑 아무짝에도 관련없다. 자연상수 미분하면 똑같이 나오니까 -1이 안붙는다고 이해하면 된다.
로그함수, 역삼각함수는 이렇게 미분한다.
\((\ln{x})^\prime = \frac{1}{x}\)
\((\log_{a}{x})^\prime = \frac{1}{x\ln{a}}\)
\((\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arccos{x})^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arctan{x})^\prime = \frac{1}{1 + x^2}\)
\((\arccot{x})^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}\)
자주 나오는 적분
적분은 미분의 역연산이다.
타자치기가 귀찮다.
완전상미분방정식과 적분인자
첫번째,
어떤 함수가 독립변수 두 개를 가지고 있다고 하자. 그 때 각각의 독립변수에 대해 편미분한 함수가 모두 연속이면 그것의 전미분이
\(du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\) 이다.
기억은 안나지만 군대가기 전에 이 사실을 배웠다고 한다. 받아들이자.
두번째,
상수를 미분하면 0이 나온다.
어떤 미분방정식을 정리해보았더니 좌변이 완전미분이고 우변이 0나오면 이걸 완전미분방정식이라고 부르고 위 두 사실을 이용해서 원래 함수를 찾을 수 있다.
완전미분의 꼴임을 어떻게 알 수 있는가
\(y^\prime = \frac{dy}{dx}\) 이다.
양 변에 dx를 곱하고 dx와 dy에 대한 항으로만 묶이는 꼴로 정리가 가능하면 일단 완전미분일 가능성이 있다.
\[M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0\]
이렇게 정리를 해두었을 텐데 M과 N이 각각 우리가 구하려는 함수의 x에 대한 편미분, y에 대한 편미분이어야 한다.
만약 위 식이 완전미분방정식이라면 M을 y에 대해 편미분한 값과 N을 x에 대해 편미분한 값이 같아야 한다(연속성의 가정).
\[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\]
만약에 같다?
그러면 둘 중에 적분하기 쉬운거 하나 골라서 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 풀린다. 자세한 과정은 laTex문법을 잘 몰라서 안적겠다. 여기까지 읽을 정도의 깡과 집중력이라면 이 정도는 스스로 찾아볼 수 있다고 생각한다. 잠깐 구글에 first order exact ODE라고 검색해서 읽어보자.
적분인자
\[P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0\]
문제를 막 풀다가 결국 위 꼴로 방정식이 정리가 된다면
교수님이 이 문제를 완전미분방정식 풀이법으로 풀라고 만들었다는 뜻이다. 근데 좌변이 완전미분이 아닐 때가 있다.
이럴 때는 특정한 함수를 양 변에 곱해서 완전미분방정식으로 만들어보라는 뜻이다.
그 특정함수를 적분인자라고 부르고 적어도 내가 공수1 시험에서 봤던 문제들에서는 적분인자가 하나의 변수만의 함수였다. 그러므로 적분인자 F함수가 x 또는 y만의 함수임을 가정하고 정리하면 최종적으로
\(F(x) = e^{\int_{}^{}R(x)dx }, R(x) = \frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial x})\)
또는
\(F(y) = e^{\int_{}^{}R(y)dy }, R(x) = \frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y})\)
이렇게 된다. 나는 x변수일때 큐피큐, y변수일때 피큐피 이렇게 외웠다.
적분인자를 구했으면 원래 정리된 미분방정식의 양 변에 곱하고 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 답나온다.
선형상미분방정식
선형이 무엇인가에 대해 고민할 필요가 있다. 이게 고차 선형상미분방정식을 선형대수학적으로 이해하는데에 열쇠가 된다. 이거 이해하려고 개고생했다. 그러니 이 글을 읽는 사람들은 한방에 이해하길 바란다. 이거 진짜 중요하다.
여기서 또 골때리는게 군대를 갔다온 우리 친구들은 선형대수학을 문서상으로는 이수했는데 머릿속에는 없다라는 특징을 가지고 있다.
여기서 잠깐 끊고 유튜브에 3Blue1Brown이라고 검색하고 그 채널에서 “Essence of linear algebra” 시리즈 6강까지 보고 다시 돌아오자. 영상이 꽤 많긴한데 이거 안보면 내가 밟은 길을 여러분도 그대로 밟게된다. 한마디로 개고생한다. 일단 보고 오자.
선형성을 만족하는 방정식은 중첩의 원리가 적용된다.
책에는 무슨무슨 꼴의 대수적 형태로 정리가 되면 선형이다! 이런식으로 설명이 되어있는데 우리가 이해해야 하는건 이런게 아니고 이 미분방정식은 중첩의 원리가 적용된다는 것이다.
즉, 선형상미분방정식의 해는 기저들의 linear combination으로 나타낼 수 있다는 것이고 이는 고차 선형미분방정식의 풀이의 핵심이다. 미리 설명하면, 고차 항들 각각을 독립적으로 한번만 미분한 변수로 생각하고 그것들로 1차 선형미분방정식들의 선형연립방정식을 세운다. 그 연립방정식을 행렬곱으로 표현하고 거기서 나온 기저해들의 linear combination이 고차 미분방정식의 해 space(일반해)가 된다는 것이다. 여기서 나온 기저해들은 지수에 행렬을 달고 있는데 이러면 불편하니까 기저변환행렬에 해당하는 행렬의 고윳값을 구해서 행렬을 상수로 바꿔버린다. 그말은 곧 고차 미방을 풀려면 1차 선형미방의 해를 구할 줄 알아야 한다는 것이다.
어쨋든 저렇게 중첩의 원리가 적용되는 1계 상미분방정식은 대수적으로
\[y^\prime + p(x)y = r(x)\]
꼴이다.
여기서 r(x)가 해당 구간에서 0이면 제차, 0이 아니면 비제차이다.
제차의 경우, 변수분리 후 적분하면
\(y = ce^{-\int_{}{}pdx}\)
여기서, c가 0일 때 \(y = 0\)인 trivial solution이므로 모든 제차 선형미분방정식은 \(y = 0\)인 trivial solution을 포함한다고 할 수 있다.
비제차의 경우는
\(e^{\int_{}{}pdx}\)
라는 적분인자가 존재함이 이미 알려져 있고 이를 양변에 곱해서 변수분리 후 적분하면
Bernoulli 방정식
\[y = e^{-h}(\int_{}{}e^{h}rdx + c),h = \int_{}{}p(x)dx\]
비선형상미분방정식은 풀기 어렵다. 근데 그 중, Bernoulli 방정식의 꼴을 한 비선형상미분방정식의 경우는 적절한 치환을 통해 선형상미분방정식으로 변형할 수가 있다.
\[y^\prime + p(x)y = g(x)y^a\]
에서 \(u = y^{1 – a}\) 치환하면 선형상미분방정식의 꼴이 나오고 바로 위에서 정리한 공식을 이용할 수 있다.
끝
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