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대학 공부 또는 일을 위해 수학 공부를 다시 시작하는 분들께
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Source: mathloving.wordpress.com
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학원 안 가고, 고등 수학 공부 하기 – 브런치
나는 이 학생이 혼자서 수학 공부를 할 수 있도록 커리큘럼을 짜 주었고, … 기본 문제집을 푸는 도중에도 이론서를 꾸준히 다시 읽어야 한다.
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- Author: 수학하는 땅우
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- Date Published: 2021. 7. 15.
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대학 공부 또는 일을 위해 수학 공부를 다시 시작하는 분들께
고등학교 때 이과를 가지 않았거나 이과로 졸업했더라도 수학을 못했기 때문에 대학 전공 공부에 차질이 있거나 회사에서 요구하는 것을 따라가는데 어려움이 있는 분들의 글을 종종 접합니다. 그때마다 대충 알 수 있는 상황에 맞춰 조언을 해드리곤 했는데, 아예 블로그에 글로 남겨볼까 합니다.
일단 파악해야 할 것들은 (1) 무엇(목표)을 준비하기 위함인가, (2) 수학의 어느 과정부터 시작할 수 있는가, (3) 어떤 도움이 필요한가 정도로 요약해 볼 수 있습니다.
(1) 무엇을 준비하기 위함인가, 즉 목표가 무엇인가: 대학생들의 경우, 공업 수학이나 통계 쪽의 공부가 필요한 경우가 많고, 일을 위해서 필요한 경우, 좀 더 다양한 것 같습니다. 게임 프로그래밍이나 통계 쪽에서 요구되는 경우가 흔히 보이긴 합니다.
궁극적으로 어떤 공부를 해야 할지 알았다면, 이것을 통해 그 것 이전에 어떤 것들을 공부해야 할지 알아낼 수 있기 때문에 구체적인 정보가 필요합니다. 대학 수업을 위한 것이라면 그 과정의 수업 계획과 함께 그 수업에서 사용할 교재를 찾아보면 어떤 지식들이 선행되어야 할 지 알 수 있습니다. 회사의 일을 위한 것이라면 회사의 선배나 상사를 통해 그 업계에서 흔히 사용되는 교재를 알아내면 됩니다.
구체적인 정보를 알아냈다면 이것을 통해 필요한 선행 지식이 무엇인지 알아내야 하는데, 이것은 그 부분까지의 수학을 잘 아는 사람에게 질문을 할 수 밖에 없겠습니다.
(2) 수학의 어느 과정부터 시작할 수 있는가, 즉 당사자의 선험 지식은 어느 정도인가: 스스로 자신이 어느 정도까지 잘하는지 알고 있다면 그 이후부터 시작하면 되겠습니다만, 그렇지 않다면 고등학교 1학년에서 시작을 해봅니다. 그 이유는 고등학교 1학년은 중학교 수학을 완전히 정리, 심화하는 과정이라 중학 과정에서 모르는 것이 있어도 여기서 역추적하면 될테니까요. 만약 누군가의 도움을 받는 다면 상담을 통해 이 부분을 해결하면 될 것 같습니다.
(3) 어떤 도움이 필요한가: 이런 상황에서는 독학이나 과외를 결정하는 경우가 대부분입니다. 수학 공부를 어떻게 해야 하고, 계획은 어떻게 세우는 것이 적절하며, 어떤 선행 지식이 필요한지를 알고 있다면 독학을 해도 좋습니다. 하지만 수학 공부를 제대로 해본 적이 없어서 수학을 어떻게 공부해야 할지도 모르겠다면 어느 정도의 도움을 받는 것이 더 나을 수도 있습니다.
자신의 수학 공부 방법이 독학을 해도 될 정도인지 대략 가늠해 보려면 이 방법을 써도 괜찮습니다. 적당해 보이는 내용 공부용(내신이나 수능 준비가 목표가 아니므로 문제풀이용 문제집은 필요 없음) 교재를 구입하고, (1)번에서 찾아낸 ‘필요한 선행 지식’ 부분 중 가장 처음 부분(양은 한 챕터에서 반 챕터 정도가 적당할 듯)을 택해서 내용 공부를 합니다. 그리고 나서 예제 문제(힌트와 자세한 풀이가 문제의 바로 아래에 딸려오는 그 챕터의 대표 문제들) 부분만 모아서 힌트나 내용 설명 부분을 전혀 보지 않고, 온전히 혼자만의 힘으로 8~90% 정도 풀어낼 수 있으면 독학해도 충분합니다. (혹 이 챕터 내용만 잘 아는 것 같다 싶으면 다른 챕터도 비슷한 방법으로 해보셔도 좋지만, 그럴 확률은 굉장히 낮으리라 생각됩니다.)
과외라든가 누군가의 도움을 받기로 했다면, 그것은 어디까지나 도움일 뿐이고 공부는 스스로 해야 함을 알고 시작해야 합니다. 이게 명확할 것 같은데도, 현실에서는 또 그렇지가 않은 것 같더라구요. 성인이라면 학생 때 공부를 잘하는 학생과 못하는 학생의 많은 차이 중에서 중요한 한가지는 적극성에 있다는 것을 알아야 합니다. 많은 학생들이 학원이나 선생이 알아서 해주겠지 하는 마음으로 수업을 받지만, 그런 학생들은 ‘들러리’로 불리는 상황에서 벗어나지 못한다는 현실을 말이죠.
선생님이 달라 붙어서 모든 것을 친절하게 설명해주고 당사자는 “음.. 잘 설명하고 있군.”이라는 자세로 있으면 수학 공부는 할 수 없습니다. 기본적인 공부는 어떻게 해서든 스스로 하고 그래도 어려움을 겪는 부분에서 도움을 얻는다고 생각해야 합니다.
대부분의 사람들이라면, 위의 예제 문제 풀어보기에서 50%는 커녕 한두개 맞기도 어려울 것입니다. 수학 교재를 어떻게 읽고 내용을 이해한다는 것이 무엇인지도 모르는 상태인 것이죠. 그렇다면 기본적인 공부를 어떻게 해야 할까요? 먼저 ‘공부를 하는 방법’, 즉, 교재를 읽고 내용을 이해하는 기술에 대해 도움을 얻어야 합니다. 공부를 잘하는 학생들의 상당수는 중고등학교 시절 이 방법 또는 기술을 터득합니다. 나머지는 아무도 가르쳐주지 않기 때문에 모르는 상태에서 졸업하므로, 새로운 공부를 할 때에도 어려움을 겪게 됩니다. 특히 수학이나 수학을 언어로 사용하는 학문들처럼 고도로 추상적인 학문은 이러한 영향이 훨씬 더 큽니다.
개인 과외에서 도움 받을 것: 공부하는 방법/기술 훈련, (1)번의 앞으로 공부해야 할 내용 확인, (2)번의 현 상황 파악, 앞의 두 가지를 이용하여 공부에 필요한 계획을 세울 때 가능한 계획인지 확인. 이러한 네 가지 사안에 대해 미리 이야기를 하고 들어가는 것이 좋습니다. 처음 두 가지는 모든 고등 수학 과외를 하는 사람이 다 가능한 것이 아닐 수도 있기 때문이고, 또 서로 어떤 기대를 하고 수업을 시작하는지 알 수 있기 때문입니다.
수학공부 처음부터 다시 시작하는 고딩인데요
제 수학실력이 구제불능 쓰레기라는것을 깨달았습니다
고1수학부터 미적분 자체는 이해는 하지만 상식적으로 문제푸는 속도가 사람수준이 아니라서…. ebs 50일 수학부터 완벽히 정복하려고 합니다 (병원에서 아이큐 검사하면 편차 15로 121정도 나오는 수준이라서 하드웨어가 안되는건 아닌데… 속도가 제가생각해도 너무 한심한 수준이라…)
50일 수학은 보니까 문제가 상하 합쳐서 500개 조금 넘는 것 같던데요, 50일 수학 정복하고 앞으로 다시는 단순계산 속도를 의식하지 않을 수 있을정도로 계산속도를 키우려면 어떤 문제집으로 넘어가는게 좋을까요?
진짜 열심히 하겠습니다…
방금전까지도 집에 있는 구교과 미적분1 풀다가 현타와서 제 실력수준을 정말 제대로 직시하고 온겁니다
학원 안 가고, 고등 수학 공부 하기
4월쯤 고1 학생이 나를 찾아왔다.
수학 학원을 다니고 있는데 수학 성적이 4등급 5등급이라는 것이다.
“수학 학원에 다녀도 성적에 큰 도움이 되지 않는 것 같아요”
나는 이 학생이 혼자서 수학 공부를 할 수 있도록 커리큘럼을 짜 주었고,
이 학생은 최선을 다 해서 공부했다.
마침내 이 학생은 내신도 아닌 전국구 고3 모의고사에서 수학 1등급을 받았다.
희망이다!
중3 겨울방학부터
고 1 첫 중간고사까지의 공
중3 겨울방학부터
중 3 학생 3명을 그룹으로 공통 커리큘럼을 짜서 공부하고, 서로의 공부 에피소드를 공유한 수업을 진행 적이 있었다.
이 3명은 평균 80점대 성적인 경재, 반에서 1등인 소민, 평균 성적 80점대 시언이다.
이 친구들은 서울대학교를 한번 가보더니 서울대가 이들의 공부 목표가 되었다. 이 친구들이 서울대 가겠다는 야심은 중3 겨울방학에 아주 큰 도움이 되었다. 정말 열심히 공부했다.
경재와 소민이는 첫 고1 중간고사에서 전교 8등, 전교 2 등을 했고, 시언이는 3등급 정도에 머물렀다.
그리고 수학 성적은 경재와 소민이는 1등과 2등급을 받았고, 시언이는 3등급을 받았다. 이들이 같은 커리큘럼으로 공부를 했는데 왜 이렇게 성과가 다른지는 다른 글에서 이야기하고자 한다.
그러나 이 3명 중에서 2명은 겨울방학 동안부터 첫 중간고사 때까지 혼자 학원 없이 공부해서 얻은 소득이 굉장하다. 혼자 공부했다. 매주 내가 커리큘럼을 짜 주었고 일주일간 공부한 경험에 대해서 이야기를 나누고 잘못된 점을 수정해주었을 뿐 공부는 학생들 스스로가 해 낸 것이다.
희망이다!
효진이는 이미 중3 때 전교 1등이었다. 중 3 겨울방학에 수학을 혼자서 공부했다. 고등학교 첫 중간고사에서 전과목 몇 개 안 틀리고 전교 1등 했다. 중간고사 수학 성적은 1등급이다.
희망이다!
위 학생들이 혼자서 공부했던 수학 공부법을 소개하려고 한다.
건강, 사회성, 개인 성격, 재정상의 이유 등으로 학원에 다니기 힘든 학생들이 가끔 있다. 나는 이 친구들에게 혼자서 공부해도 꿈을 이룰 수 있다고 희망을 주고 싶다.
선행이 안된 수학 88~100점 중상위권 학생을 타겟팅한다. 수학 88점 과 수학 100점 사이의 실력 차이는 존재하지만, 이들이 할 수 있는 공부 방법은 크게 다르지 않다. 수학 공부를 하는 과정에서 공부를 하는 태도(사고력, 꼼꼼함, 집요함)는 다르지만, 이들이 하는 공부의 큰 틀은 다르지 않다. 이론을 이해하고 이해한 이론을 바탕으로 문제를 풀어 나가는 것이다.
그러나 문제 해결력의 경우, 개인차가 매우 크다. 문제 해결력이 없는 학생의 경우는 사고력이 약하고 생각하는 힘이 부족하다. 이 경우 사고력 학원을 다니는 것이 해결책이 아니다. 현재 수학 과정을 하면서 스스로 사고력을 기르려고 노력해야 한다. 늘 왜? 인과 관계를 찾으려고 노력해야 한다. “이런 건 이렇게 푸는 거야” 식으로, 즉 문제 유형별로 풀잇법을 암기하는 방식의 공부를 하는 학생들이 있다. 이런 학생들은 고등수학을 잘 하기 힘들다. 중학교 때 수학 성적이 안 좋았어도 모든 것을 왜? 왜? 그럴까?하고 의문을 품고 공부하는 학생들은 고등 수학을 잘 한다. 암기력 좋은 아이들이 가끔 풀이 과정 암기로 수학 문제를 해결하려고 한다.
수학 공부할 때는 모든 것에 왜? 이렇지? 하고 의문을 품어야 한다. 풀이과정을 외워서 해결하려고 하면 수학 실력은 늘지 않는다.
다음은 수학이 쉽지 않은 평범한 상위권 학생에게 사용하는 예비 고1 커리큘럼이다.
이론서(ex: 수학의 바이블) 책을 여러 번 읽고, 이론을 철저하게 이해하고 암기한 후에, 기본 문제집(ex: 개념원리)로 들어간다. 기본 문제집을 푸는 도중에도 이론서를 꾸준히 다시 읽어야 한다. 기본 문제집은 한 번으로 안 된다. 필수 예제만 따로 3-5번을 돌린다. 기본 문제집은 전체적으로 3-5번을 풀어야 한다. 이해해서 적용할 줄 아는 능력과 시험 때 실수하지 않도록 하는 능력을 같이 길러야 하므로 문제집은 3~5번을 푼다. 방법은 전체 다 돌려 풀기도 좋고, 실력이 좋으면 필수 예제와 오답만 돌려 풀 수도 있고, 연습문제만 돌려 풀 수도 있고, 자신의 직관으로 결정한다. 디테일한 방법은 상황에 맞게 결정한다.
기본서에서 틀리는 문제가 없도록 무한 연습하면서, 문제 유형 문제집과 모의고사 기출문제를 풀면서 수준 높은 문제도 같이 경험한다. 이 경우는 돌려 풀기엔 시간이 부족하므로 틀린 문제만 돌려 풀거나 전체를 1~2번 돌려 푸는 것도 좋다. 물론 주어진 시간에 따라서 결정할 문제이다.
모의고사 기출문제집은 전체를 여러 번 돌려 푸는 것이 가장 좋다. 이 경우 3번 돌려 풀면 실력이 확 느는 것을 본인이 느낀다. 3번 돌려 푼 이후에는 오답만 공부하면 시간을 관리할 수 있다. 수학은 방학 중에 이론서와 기본 문제집이 완벽하게 끝나야 한다. 방학 전에 기본 문제와 중간 난이도 문제는 틀리지 않을 정도의 실력이 되어야 하고, 나머지 실력은 학교 다니면서 보강한다. 수학은 중간고사 시험 보기 2주 전까지 완성되어야 한다. 이 공부를 해 내려면 하루 종일 공부해야 한다. 큰 노력이 필요한 공부이다. 절대 쉬운 방법은 아니다. 하지만 결과는 달다.
무조건 어려운 문제집으로 공부한다고 결과가 잘 나오는 것은 아니다.
수학적 사고력이 뛰어난 경우는 블랙라벨을 잘 풀기도 하며 공부하는 시간을 얼마 투자하지 않아도 수학 시험을 잘 보는 아이도 있었다. 이 경우는 공부의 순서를 위에서 제안하는 대로 하되 돌려 푸는 방식 말고 오답만 공부하면 된다. 이런 학생들은 익숙함의 과정에 투자하는 시간이 단축된다. 하지만 평범한 학생들은 기초를 이해하는 데에도 엄청난 시간이 필요하고 기초를 응용하는 능력이 없어서 기초를 응용하는 연습을 수없이 반복해야 한다. 이런 평범한 학생들도 100점을 맞을 수 있다. 포기하지 않고 열심히 하는 평범한 학생이 수학적으로 탁월하지만 게으른 학생보다 시험 성적은 더 좋다. ‘나는 수학적으로 뛰어나지 않으니 열심히 꼼꼼하게 완벽하게 공부해내야 한다’고 생각하는 학생이 훨씬 좋은 결과를 만든다. ‘나는 수학 천재가 아니다’라고 생각하는 독한 학생이 시험 결과는 더 좋을 수 있다.
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