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[미분 방정식] 완전 미분 방정식과 그 해법 – 네이버 블로그
안녕하세요, 설군입니다. 이전 시간에 ‘변수 분리형 미분 방정식’에 대해서 알아봤고요. 이제 두 번째 미분 방정식의 형태인, ‘완전 미분 방정식’에 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 11/26/2021
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완전 미분 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
완전 미분 방정식(영어: exact differential equation)이란 상미분 방정식의 한 형태로 물리학이나 공학에서 많이 사용한다.
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 5/22/2022
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완전미분방정식 (exact differential equation) | 깔끔하게 푸는 방법
완전미분방정식을 깔끔하게! 천천히! 알아보자. 시작하기 전에 읽어보아야 할 것 간단한 형태의 미분방정식인 ydx+xdy=0은 일단 분리가능하고 선형 …
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Date Published: 5/7/2021
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[미분방정식] 3. 완전 미분방정식 – Exact Differential Equation
완전 미분방정식 – Exact Differential Equation 미적분학 시간에 함수 $u(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가진다면, $u$의 미분은 다음과 같음을 배웠 …
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Date Published: 5/27/2021
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[미분방정식] 3. 전미분, 완전미분방정식 – 고뿔잽이
완전미분방정식이 무엇인지 알아보기 전에, 먼저 전미분에 대해 알아야할 필요가 있다. 전미분이란? 대학미적분학(Calculus) 에서 배운 개념으로, 2변수 혹은 그 이상의 …
Source: aoo1206.tistory.com
Date Published: 5/22/2022
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1계 미분방정식(완전미분방정식형,Exact Differential Equation)
먼저 완전미분방정식이 어떤 것인가 정의해야합니다. 전미분 방정식(Total Differential Equation)에 대해서 알고 있다면 완전 미방을 이해하기 쉬울 …
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 2/30/2022
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[공업수학] 5. 완전미분방정식 예제 – SUBORATORY
완전미분방정식이 무엇인지, 어떻게 판별하는지, 어떻게 푸는지에 대해서는 아래 링크를 참조바랍니다. 풀이과정이 다소 길고 복잡하기 때문에 예제 …
Source: subprofessor.tistory.com
Date Published: 6/26/2021
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완전 미분방정식의 정의와 판별법
완전 미분방정식의 정의와 판별법. definition and method of determination of exact differential equations. 목차. 정의; 설명; 정리; 증명.
Source: freshrimpsushi.github.io
Date Published: 9/27/2021
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완전 미분(完全微分, Exact Differential) – 조금은 느리게 살자
식 (3)의 완전 미분 개념을 이용하여 방정식을 만들면 다음과 같은 완전 미분 방정식(exact differential equation)이 된다.
Source: ghebook.blogspot.com
Date Published: 5/10/2022
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주제에 대한 기사 평가 완전 미분 방정식
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- Date Published: 2020. 5. 25.
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[미분 방정식] 완전 미분 방정식과 그 해법
안녕하세요, 설군입니다.
이전 시간에 ‘변수 분리형 미분 방정식’에 대해서 알아봤고요
이제 두 번째 미분 방정식의 형태인, ‘완전 미분 방정식’에 대해 알아봅시다.
전미분 이라는 게 있습니다.
저는 ‘음함수의 미분’이라고 이야기하는 게 편한데요, 전미분이 뭐냐하면
어떤 변수에 대해 미분을 해주고, 그 변수에 대해 미분을 해줬다고 표현해주기위해 d를 곱해주는것입니다
이를테면 x에 대해 미분했다면, 그 미분된 항에 dx를 곱해주는것입니다.
이런식으로 말이죠.
xy를 미분하려면 곱의미분이죠 x에대해 미분하고 y는 놔두고 + x는 놔두고 y에대해 미분하고
이렇게 해주면 되는데,
x에 대해 미분하면 y인데, x에 대해 미분했다는걸 표현하기위해서 dx를 곱해주면
ydx가 될것이고
y에 대해 미분하면 x인데, y에 대해 미분했다는걸 표현하기 위해서 dy를 곱해주면
xdy가 되는것입니다.
이게 전미분인데 어쨌든,
우리는 미분 방정식을 배우고 있으니까
이렇게, 어떤 함수를 전미분한 형태 = 0 의 꼴로 나와있는 것이 바로 ‘완전 미분 방정식’입니다.
이것이 완전 미분 방정식이라고 해 봅시다.
그렇다는 말은, 어떤 함수를 전미분하면 위와같은 형태로 나온다는거죠.
그 함수가 뭐냐하면
이거입니다.
정말 전미분하면 위처럼 되는지 살펴봅시다.
되네요!
그럼 과연 그 원래의 함수를 어떻게 찾느냐가 문제입니다.
이것만 주어졌을때, 과연 어떻게 원래의 함수를 찾을까요?
먼저 완전 미분 방정식인지 아닌지를 판별하는 방법을 알아봅시다.
기본적으로 이런 꼴인데요,
주의해아할 것은 M이라는 함수는 dx와 곱해져있고
N이라는 함수는 dy와 곱해져있고
둘이 덧셈으로 연결되어있다는 것입니다.
이걸 만족해야 완전 미분 방정식이라고 할 수 있습니다.
즉 문제가
이 꼴로 주어졌을 때, 위의 편미분이 서로 같은 경우 완전 미분 방정식이라는 뜻입니다.
그렇다면 이제 원래의 함수를 찾는 법을 알아봅시다.
이런 미분 방정식이 주어졌다고 해봅시다.
그러면 일단 완전 미분 방정식인지 판별해야합니다.
즉 두 값이 같으므로 위의 미분 방정식은 완전 미분 방정식입니다.
그리고 이제 적분을 통해서 원래의 함수를 구하는데
2xy라는것은, 원래의 함수를 x에 대해 미분한것이므로 2xy를 x에 관해 적분해봅니다.
그리고 (x^2-1)라는것은, 원래의 함수를 y에 대해 미분한 것이므로 이를 y에 대해 적분해봅니다.
그럼 각각 다음과 같이 나옵니다.
여기서 상수를 제외한 부분을 전부 결합하여 더해주면 그것이 원래의 함수 f가 됩니다.
이를 음함수적으로 쓴다면, 다음과같이 =상수 꼴로 쓰면 됩니다.
여기까지가 완전 미분 방정식의 해법인데,
이 다음에 완전 미분 방정식이 아닌 어떤 미분 방정식에, 어떤 함수를 곱해서 완전 미분 방정식의 형태로 만드는 법을 배웁니다.
이때 그 곱하는 함수를 ‘적분인자’라고 하는데, 적분인자에 대한 개념과, 적분인자를 구하는 방법은 좀 중요합니다.
따로 분리해서 글을 적도록 하겠습니다.
완전 미분 방정식
완전 미분 방정식(영어: exact differential equation)이란 상미분 방정식의 한 형태로 물리학이나 공학에서 많이 사용한다.
정의 [ 편집 ]
u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} 가 연속인 편도함수(continuous partial derivative)를 가질 때 u의 미분(differential)은
d u = ∂ u ∂ x d x + ∂ u ∂ y d y {\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}
이다.
u ( x , y ) = c o n s t . {\displaystyle u\left(x,y\right)=const.} 일 때, d u = 0 {\displaystyle du=0} 이므로,
M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M\left(x,y\right)dx+N\left(x,y\right)dy=0}
와 같이 표현할 수 있다.
위의 식이 완전미분방정식(exact differential equation)이 된다.
참고 문헌 [ 편집 ]
자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 완전미분방정식 (exact differential equation)
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완전미분방정식을 깔끔하게! 천천히! 알아보자.
시작하기 전에 읽어보아야 할 것
간단한 형태의 미분방정식인 ydx+xdy=0은 일단 분리가능하고 선형이다.
(그냥 방정식의 형태를 파악해준 것이다.)
이 방정식의 좌변을 잘 보면,
즉, ydx+xdy는 f(x,y)=xy의 미분형태이다! (전미분한 결과이다)
이 말을 조금 음미해보자.
“좌변인 ydx+xdy는 f(x,y)=xy를 미분한 형태이다.”
이것과 연관해서 오늘 포스팅에서 배울 것은 뭐냐면,
미분형태 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0으로 표현된 1계미분방정식을 학습할 것이다
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0는 어떠한 f(x,y)의 미분 결과일 수 있다.
만약 어떠한 f(x,y)의 미분형태가 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0이 맞다면,
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0를 적분함을 통해 f(x,y)를 구해낼 수 있다.
만약에 그러한 f(x,y)가 존재한다면 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0라는 방정식을 “완전방정식”이라고 부른다.
아래에서 ‘완전방정식’의 정의를 정리하고 가자.
완전방정식의 정의
그렇다면 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0가 어떠한 f(x,y)의 미분결과인지 아닌지를 판정하는 방법이 있을까?
즉, M(x,y) dx+ N(x,y) dy=0가 완전방정식임을 판정하는 방법이 있을까?
있다! 알고싶으면 꼭 포스팅을 천천히 읽어보길 바란다.. 어렵지 않다!
방금 바로 위에서,
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0가 어떠한 f(x,y)의 미분결과인지 아닌지를
즉, 완전방정식인지 아닌지를 판정하는 방법을 알아보자고 했다.
한번 더 예제를 가지고 설명하겠다. (이해를 돕기 위해)
1. 미분표현 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy는 일단 (x^2-5xy+y^3)를 미분한 결과이다.
2. 만약에 이것을 쉽게 알 수 있다면, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0의 해(음함수해)는 “x^2-5xy+y^3=c”임을 단번에 알 수 있을것이다. (단, c는 상수)
3. 그렇다면 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy가 어떤 함수를 미분한 결과라는 것을 판정하는 방법은 무엇일까?
즉, (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0이 완전방정식임을 알 수 있는 방법은 무엇일까?
결과부터 말하면 다음과 같다.
완전미분 판별법
이 판별법에 대한 증명은 다른 포스팅에서 다루겠다.
이 완전미분 판별법에 대하여 다시 위 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0을 적용해 설명한다면,
M(x,y) = 2x-5y
N(x,y) = -5x+3y^2
이므로, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0는 완전미분방정식이다.
참고: M의 y에대한 편미분을 저렇게 작은 아래첨자로도 나타낸다.
N의 x에대한 편미분도 마찬가지.
다시 말해서, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0은 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0형태이지만, 이런 형태의 모든 1계 미분방정식이 f(x,y)=c의 미분꼴에 해당하는 것은 아니므로(즉 완전방정식은 아니므로), 저 판정법을 사용하여 완전방정식인지 판정해야 한다는 얘기였다.
자.. 이렇게 어떠한 미분방정식이 완전미분방정식임을 알아냈다면
아, 그 미분방정식은 어떤 f(x,y)=c를 미분한 형태구나~를 판정한 것이기 때문에,
그 미분방정식의 적분을 통하여 미분방정식의 해인 f(x,y)=c를 알아낼 수 있다.
정리하면,
1. 미분방정식이 완전방정식임을 ‘판정법’을 통해 판정한다.
2. 완전방정식이 맞으면 미방을 적분한다.
3. 그럼 해를 얻는다.
2번에서 미방을 적분하자고 했는데, 음..
M(x,y) dx+ N(x,y) dy=0를 적분해서 f(x,y)를 얻으려면 어떻게 해야 할까?
1) 일단 y를 상수로 취급하여 M(x,y)를 x에 대해 적분하여 f를 구한다.
아래 식에서 g(y)는 임의의 상수다.
2) 위 식을 다시 ‘y에 대해 미분’ 한다. 즉, f를 y에 대해 편미분한다.
위에서 배웠듯이, f를 y에 대해 편미분한 결과는 N(x,y)다.
여기서 M(x,y)와 N(x,y)를 알고 있으므로, g'(y)를 바로 찾아낼 수 있다.
암기할 필요 없다! 풀이 중 자연스럽게 과정을 거치게 될 것임.
총정리 예제
위에서 배운 것들을 모두 적용하여 다음의 미분방정식을 풀어보자.
[미분방정식] 3. 완전 미분방정식 – Exact Differential Equation
완전 미분방정식 – Exact Differential Equation
미적분학 시간에 함수 $u(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가진다면, $u$의 미분은 다음과 같음을 배웠습니다.
이 때, $u(x,y) = const.$라면 $du = 0$ 이므로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
위 식을 치환을 통해 최종적으로 아래와 같이 간단하게 정리할 수 있습니다.
만약 식(*)이 다음과 같은 조건을 만족한다면,
(*)은 완전 미분방정식, 혹은 exact differential equation이 됩니다.
완전 미분방정식의 풀이
완전 미분방정식은 다음의 조건을 만족한다고 하였습니다.
$M$ 과 $N$ 이 연속이고, 1계 편미방이 연속이라고 가정합니다.
연속성에 의해,
따라서 만약 아래의 수식이 참이라면, (*)이 exact differential equation이라고 판단할 수 있습니다.
즉, 식 (**)을 이용해 간단하게 Exactness를 확인할 수 있습니다.
이제 적분을 수행하여 미분방정식을 풀어내면 됩니다.
아래의 예제를 통해 exact differential equation을 풀이하는 방법을 알아보겠습니다.
예제 1. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
Step 1. Exactness check. 식 (**) 이용.
Step 2. Find solution.
미지항 $k(y)$를 구하기 위해 식(***)을 $y$ 로 편미분합니다.
예제 2. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
Step 1. Exactness check.
Step 2. Find solution.
마지막으로 초기값을 이용해서 $c$를 구할 수 있습니다.
[미분방정식] 3. 전미분, 완전미분방정식
자, 오늘도 완전미분방정식이라는 특수케이스에 대해 배울것이다.
완전미분방정식이 무엇인지 알아보기 전에, 먼저 전미분에 대해 알아야할 필요가 있다.
전미분이란?
대학미적분학(Calculus) 에서 배운 개념으로, 2변수 혹은 그 이상의 다중변수에서
전체함수를 각 성분에 대해 미분한 결과값
증명과 내포하는 의미를 따지는것은 여기선 제끼겠다.
왜냐하면 이 글의 테마는 미분방정식, 즉 완전미분방정식이 무엇인가를 알아보기 위함인데,
완전미분방정식에서 필요한 전미분은 증명과 의미가 아니라 저 모양(form)이 필요한것이기 때문이다.
(특히, 상미분방정식에서는 2변수 전미분 공식)
반드시 저 공식은 눈에 익혀두길 바란다. 예시 하나 첨부할테니 확인해볼 것.
자 이제 완전미분방정식이 무엇인지 알아보자.
완전미분방정식이란?
즉, 전미분이 왜 나오는가?(증명), 전미분값이 내포하는 의미는?(내용)은 전혀 필요하지 않다.
그냥 전미분 공식 모양으로 나올경우, 미분하기 전모양인 f(x,y)=C 꼴로 되돌릴수 있기 때문에,
모양맞추기 느낌을 기억하면 될것이다.
그렇다면 이제 완전미분방정식이라면 해를 손쉽게 구할수 있긴 한데, 완전미분방정식임을 판단할수 있는 장치가 필요할것이다.
완전미분방정식을 푸는건 어렵지 않지만, 완전미분방정식인지를 모른다면 풀 수 없기 때문.
자 이로써 완전미분방정식이 무엇인가, 또 완전미분방정식인지 아닌지를 어떻게 판단하는가 에대해 알아보았다.
그렇다면 이제 완전미분방정식의 풀이를 익히고 예제를 풀며 오늘 내용을 마무리 하겠다.
마지막 예제를 보고 마치겠다.
다음 시간에는, 완전미분방정식이 아닐경우 적분인자를 추가하여
완전미분방정식을 만들고 푸는 획기적인 방법에 대하여 소개하겠다.
오늘도 수고했노라!!!
마지막 정리
전미분공식 암기 -> 전미분의 의미는 필요없다!!!
( 물론 대학미적분학 수강중이면 전미분에 대한 의미를 물어본다.
하지만 완전미분방정식에서 필요한 전미분은 의미가 아니라 공식꼴!!!! )
전미분 꼴로 표현된 미분방정식을 완전미분방정식이라고 한다 -> 완전미분방정식의 정의 가져가기
완전미분방정식 판단법 -> 필요충분조건을 통하여 판단한다 – 공식 반드시 기억
이후 dx 쪽에 있는것이 원함수를 x에 대해 편미분한 꼴이고
dy쪽에 있는것이 원함수를 y에 대해 편미분한 꼴임을 이용하여
둘중 간단한 함수를 뽑아냄 ( dx쪽이 간단하다고 가정하자 )
dx쪽에 있는 함수를 x에 대하여 편적분 – 적분상수 g(y) 생성 ( 왜냐면 y는 상수취급이니까 )
그 결과는 원함수이므로 y에대해 다시 편미분 -> dy쪽에 있는 함수와 동일해야함
이를 이용하여 g'(y)를 구하고 g(y) 를 복원하여 원함수를 표현하면 끝!!!
1계 미분방정식(완전미분방정식형,Exact Differential Equation)
먼저 완전미분방정식이 어떤 것인가 정의해야합니다.
전미분 방정식(Total Differential Equation)에 대해서 알고 있다면 완전 미방을 이해하기 쉬울것입니다.
이변수 함수의 u(x,y)=c 의 전미분을 하면 아래의 식으로 정의됩니다.
이 식을 통해서 1계 미분방정식의 형태로 바꿀수가 있는데
이때 아래와 같이 가정해봅시다.
이 식을 전미분방정식에 대입하면
이러한 전미분방정식으로 됩니다.
위 전미분 방정식이 를 만족하는 이변수함수 u가 존재하면 이를 두고 와전 미분방정식이라고 합니다.
우리가 마주하는 미방이 완전미방인지 아닌지 아는 방법은 간단합니다.
위의 조건이 만족하면 완전 미분방정식이 성립하는 것이죠.
예를 들어서 완전미방을 설명하도록 하겠습니다.
위와 같은 미분방정식이 있을때 완전 미방임을 확인해 봅시다.
dx 앞에 식을 M(x,y) 로 보고 dy앞에 식을 N(x,y)라고 본다면
M을 y로 편미분, N을 x로 편미분해서 확인합니다.
값은 같은 것을 확인했습니다. 이럴 경우 완전미분방정식의 해법으로 푸는 것입니다.
일반해의 형태부터 보겠습니다.
복잡해보이는 식입니다.
그러나 위 식을 자세하게 살펴보면 위식은 원래의 이변수 함수 u(x,y)를 구해내는 식임을 알수 있습니다. 이때 u함수를 potential function이라고 부르며
영어 의미 그대로 원래의 본함수라는 의미입니다. 즉 완전미방의 해는 potential function이다 라는 것이죠.
쉬운것 하나 예를 들어보겠습니다.
이 식이 완전미방인지 확인했으니 potential function를 구해봅시다.
M(x,y)가 potential function의 x편미분식이고, N(x,y)가 potential function의 y편미분식입니다.
반대로 연산한다고 생각해보죠. 각각 변수에 맞게 적분 한다는 것이죠.
공통된 부분은 중복된다 보고 따로 있는것은 그냥 씁니다.
이것이 potential function 함수가 되는 것이죠.
즉 위 미방의 해는
u(x,y)=c(적분상수)
조금 복잡해보이는 미분방정식을 보여드리면
이 문제의 해를 구해봅시다.
앞서 배운 변수분리법으로 풀리지 않을것 같습니다. 그렇다면 완전미방인지 확인해보겠습니다.
완전미분방정식이네요.
그렇다면 해를 구하는 것은 간단합니다. potential function를 구하면 됩니다.
완전 간단한 미분방정식 풀이네요.
[공업수학] 5. 완전미분방정식 예제
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완전미분방정식이 무엇인지, 어떻게 판별하는지, 어떻게 푸는지에 대해서는 아래 링크를 참조바랍니다. 풀이과정이 다소 길고 복잡하기 때문에 예제 파트를 따로 나누었습니다. 이번 포스팅에서는 네 개의 미분방정식 예제를 소개하는데, 이를 통해 완전미분방정식에 대한 감이 잡히길 바랍니다..!
blog.naver.com/subprofessor/222094820066
(예제 1) 다음 미분방정식의 완전성을 검사하여라
dx앞에 있는 놈들을 y에 대해 편미분해주고, dy앞에 있는 놈들을 x에 대해 편미분해줍니다.
음! 뭔가 둘이 안맞네 하죠? 맞아요 완전미분방정식이 아닙니다. 이런 간단한 문제가 시험에 나올 일은 없지만 만약 나온다면 저는 이렇게 답안을 작성할 것 같네요
해당 미분방정식에 대해 완전성 검사를 시행한 결과
이므로 완전미분방정식이 아닙니다. 라고 말이죠
(예제 2) 다음 미분방정식의 완전성을 검사하여라
똑같이 dx 앞에 있는 애들을 y에 대해, dy 앞은 x에 대해 각각 편미분해서 비교합니다.
즉 두 편미분값이 같으므로 완전미분방정식입니다.
(예제 3) 다음 미분방정식의 해를 구하여라
(a) 완전성 검사
깔끔합니다. 넘어갑시다
(b) u 세우기
완전미분방정식의 해법 파트에서 배운대로 적용하면 위와 같이 u를 설정할 수 있구요 부정적분을 해주면 다음과 같은 식을 얻습니다.
(c) y에 대해 편미분해서 k(y) 구하기
위에서 세운 u를 y에 대해 편미분한 것입니다.
이제 이것을 N(x,y)즉 처음에 주어진 미분방정식에서 dy앞과 비교해주면 됩니다.
2xy가 깔끔하게 소거되므로 다음과 같은 과정을 통해 u를 구할 수 있습니다.
여기서 끝? u=C라는 관계식을 사용해 적분상수로 정리해주어야 합니다. 따라서 주어진 미분방정식의 해는 다음과 같습니다.
깔끔합니다.
(예제 4) 다음 초깃값 문제를 푸시오
음.. 뭔가 우리가 그동안 보던 형태랑 차이가 있어보이죠? 겁먹을 필요 없이 dy와 dx를 분리해서 생각합시다.
이제 완전성 검사를 시작합시다.
깔끔하네요. 이제 u를 세워봅시다.(이번에는 N을 가지고 풀어볼게요)
이렇게 세울 수 있겠죠? 부정적분을 계산해주면 다음 식을 얻습니다.
다음은 M(x,y)와 비교합시다.
2y가 소거되므로 k(x)는 -e^x가 됩니다. u는 다음과 같이 정리할 수 있구요
초깃값 y(0)=0을 대입하면 주어진 미분방정식의 특수해는 아래와 같습니다
이제 좀 감이 오시나요? 완전성 검사부터 완전미분방정식의 해를 구하는 과정까지 네 개의 예시를 통해 알아봤습니다. 혹시 오타를 발견하셨거나 질문거리가 있으시면 편하게 댓글 달아주세요 🙂
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완전 미분방정식의 정의와 판별법
완전 미분방정식의 정의와 판별법
완전 미분방정식의 정의와 판별법
definition and method of determination of exact differential equations
정의
다음과 같이 주어진 미분방정식
$$ M(x,y)+N(x,y)y^\prime=0 $$
에서
$$ \dfrac{\partial \psi }{\partial x}=M(x,y) \quad \And \quad \dfrac{\partial \psi }{\partial y}=N(x,y) $$
를 만족하는 $\psi=\psi(x,y)$가 존재하면 완전exact 미분방정식이라고 한다.
설명
주어진 미분방정식이 완전 미분방정식이면 미분방정식을 $\psi(x,y)$에 대한 전미분으로 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align*} &&M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \\ \implies && \dfrac{\partial \psi }{\partial x}dx + \dfrac{\partial \psi }{\partial y}dy=0 \end{align*} $$
이 때 $d\psi(x,y)=\dfrac{\partial \psi }{\partial x}dx + \dfrac{\partial \psi }{\partial y}dy$ 이므로 $d\psi(x,y)=0$이다. 따라서
$$ \psi(x,y)=C,\quad \mathrm{C\ is\ constant} $$
즉, 미분방정식의 해가 $y=y(x)$꼴의 양함수로 표현되는 것이 아니라 $\psi(x,y)=C$꼴의 음함수로 나타난다. 한편 주어진 미분 방정식이 완전한지 아닌지는 아래의 정리에 따라 판별할 수 있다.
정리
함수 $M,\ N,\ M_{y},\ N_{x}$가 연속이라고 하자. 아랫 첨자는 해당 변수에 대한 편미분을 의미한다. 그러면 미분방정식
$$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 $$
이 완전한 것은
$$ \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x} $$
인 것과 동치이다.
$$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \mathrm{\ is\ exact} \iff M_{y}=N_{x} $$
증명
$(\implies)$
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$가 완전하면 정의에 의해 다음을 만족하는 $\psi$가 존재한다.
$$ M(x,y)=\dfrac{\partial \psi }{\partial x} \quad \And \quad N(x,y)=\dfrac{\partial \psi }{\partial y} $$
각각 $y, x$에 대해서 편미분하면 다음과 같다. $$ \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) }{\partial y \partial x} \quad \And \quad \dfrac{\partial N(x,y)}{dx}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) } {\partial x \partial y} $$
연속성에 대한 가정에 의해 다음이 성립한다.
$$ \psi_{xy}=\psi_{yx} $$
따라서
$$ \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) }{\partial y \partial x}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) } {\partial x \partial y}=\dfrac{\partial N(x,y)}{dx} $$
즉,
$$ \dfrac{\partial M(x,y)}{dy}=\dfrac{\partial N(x,y)}{dx} $$
■
$(\impliedby)$
$M_{y}=N_{x}$라고 가정하자. 그리고 다음을 만족하는 $\psi(x,y)$가 있다고 하자.
$$ \begin{equation} \psi_{x}=\dfrac{\partial \psi(x,y)}{\partial x}=M(x,y) \label{eq1} \end{equation} $$
그러면 $\psi(x,y)$가 $\psi_{y}=N$을 만족함을 보이면 증명이 끝난다. $\eqref{eq1}$의 양변을 $x$에 대해서 적분하면,
$$ \begin{equation} \psi (x,y) = \int _{x_0} ^{x} M(s,y) ds + h(y) \label{eq2} \end{equation} $$
$\psi$가 $x,y$에 대한 이변수 함수이므로 적분상수가 $C$가 아닌 $y$에 대한 함수 $h(y)$임을 주의하자. $h(y)$를 $x$에 대해서 미분하면 $0$이다. 이제 $\eqref{eq2}$의 양 변을 다시 $y$로 미분하면,
$$ \psi_{y}=\dfrac{\partial \psi (x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\int _{x_0} ^{x} M(s,y) ds + h^\prime (y) $$
위 식을 $h’(y)$에 대해서 정리하면
$$ h^\prime (y) =\dfrac{\partial \psi(x,y)}{\partial y}-\dfrac{ \partial }{ \partial y}\int _{x_0} ^{x} M(s,y) ds \tag{3} $$
위 식을 잘 보면 좌변은 오로지 $y$에 대한 함수이다. 따라서 우변도 그렇다는 의미이고 이는 우변을 $x$로 미분하면 $0$이라는 말과 같다. 우변을 $x$에 대해서 미분하면
$$ \begin{align*} 0 &= \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial \psi}{\partial y} – \dfrac{\partial }{\partial x} \left[ \dfrac{\partial }{ \partial y} \left(\int_{x_0}^x M (s,y)ds \right) \right] \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x} \dfrac{\partial \psi}{\partial y}-\dfrac{\partial M}{\partial y} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x}\dfrac{\partial \psi}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial y}-N \right) \end{align*} $$
세번째 등호는 $M_{y}=N_{x}$라는 가정에 의해 성립한다. $N=N(x,y)$이고 $N$에 무관하게 $0$이되야하므로 마지막줄의 괄호는 $0$과 같다. 따라서
$$ \dfrac{\partial \psi}{\partial y}=N $$
따라서 $M_{y}=N_{x}$이면 $\psi_{x}=M \ \mathrm{and}\ \psi_{y}=N$인 $\psi (x,y)$가 존재하므로 주어진 미분방정식은 완전하다.
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