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푸리에 변환(Fourier Transform) 이란 어떤 시간 도메인(time domain)에서 표현된 신호를 주파수 도메인(frequency domain)에서의 표현으로 변환해주는 것을 말한다. 영상처리에서는 2차원 푸리에 변환을 사용하게 된다.
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영상처리 14주차 1교시: 푸리에 변환 (이론)
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푸리에 변환(Fourier transform) (2) – 영상에서의 응용
본 글에서는 다양한 신호 중에 영상을 이용한 푸리에 변환의 예를 다룰 예정이다. 1. 고역통과 및 저역통과 필터(High-pass filter & Low-pass filter).
Source: funmi.tistory.com
Date Published: 9/12/2021
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영상처리[주파수 관련+푸리에변환] – 영화처럼 Tistory
고주파 성분만 취한 영상 -> 경계나 모서리만 나오는 영상(에지). – 푸리에 변환 -. * 시간에 따라 변화하는 함수를 분해하여 그 안에 들어있는 …
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Date Published: 6/19/2022
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13장. 영상 변환
디지털 영상은 아날로그 신호가 아니고 디지털 데이터이므로, 연속 푸리에. 변환에 직접적으로 적용할 수 없음. 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transformation)은 …
Source: dongseo.ac.kr
Date Published: 7/14/2022
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영상을 주파수 성분으로 변환하여 다양한 분석 및 처리를 할 수 있고 임의의 필터링 연산을 fft(fast Fourier transform)를 이용하여 고속으로 구현할 …
Source: darkpgmr.tistory.com
Date Published: 1/17/2022
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주파수 영역 영상 처리와 푸리에 변환(1) – Programming – Tistory
이러한 x위치에 따른 밝기값 그래프를 푸리에 변환과 같은 기법을 이용해 다양한 주기의 사인함수와 코사인 함수와 같은 정현파의 조합으로 분석하는 것을 …
Source: programmingfbf7290.tistory.com
Date Published: 8/1/2022
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Fourier 변환 영상의 주파수 특성을 분석하여 디지털 영상을 …
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Date Published: 4/6/2021
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- Date Published: 2020. 6. 15.
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[Image Processing] Fourier Transform (푸리에 변환)
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Fourier Transform (푸리에 변환)
푸리에 변환(Fourier Transform) 이란 어떤 시간 도메인(time domain)에서 표현된 신호를 주파수 도메인(frequency domain)에서의 표현으로 변환해주는 것을 말한다. 영상처리에서는 2차원 푸리에 변환을 사용하게 된다. 이는 영상을 x축 또는 y축 방향으로 따라가면서 픽셀의 밝기 변화를 파형 또는 신호로 보고 주파수 분석을 적용하는 것이다. 푸리에 변환을 통해 얻은 각 주파수 성분의 강도를 스펙트럼(spectrum)이라고 부른다. 이 스펙트럼도 이미지처럼 표현이 가능하다.
또한, 푸리에 변환은 신호를 주파수 영역에서 분석하기 위해 사용된다. 푸리에 변환의 기본 개념은 하나의 신호는 여러 개의 sin 신호와 cos 신호의 합으로 표현할 수 있다는 것이고, 이 sin 신호와 cos 신호의 주파수 성분이 어떻게 구성되어 있는지를 파악하여 신호를 분석하게 된다. 다음 수식은 2차원 푸리에 변환과 sin과 cos을 오일러 공식을 통해 exp로 표현하고 있다. 푸리에 변환을 통해 신호해석을 용이하게 할 수 있다.
(그림 1) A two dimensional images Fourier transform
푸리에 변환은 보통 DFT로 나타내는데 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform)으로 나타난다. 이는 이론적인 푸리에 변환을 실제 컴퓨터에서 실행 가능하게 만든 알고리즘이다. 이 DFT를 훨씬 빠르게 처리하기 위한 것이 바로 고속 푸리에 변환(FFT, Fast Fourier Transform)이다.
영상처리에서 푸리에 변환은 영상을 개선하는데 주로 많이 쓰인다. 저번에 만들어 두었던 (salt and pepper) 노이즈 예제 이미지를 가지고 푸리에 변환을 수행해 보았다.
(그림 2) 노이즈가 있는 입력영상의 푸리에 변환 이미지
이와 같이 푸리에 변환은 영상을 개선하기 위해 노이즈 처리하기 힘든 입력영상을 노이즈 처리하기에 좋은 주파수영역으로 바꾼 다음 노이즈를 제거하는 역할을 수행하게 된다. 위 이미지의 오른쪽 이미지는 푸리에 변환을 수행한 spectrum magnitude 이미지이다. 이 주파수 영역을 나타내는 스펙트럼 이미지에서 입력영상의 노이즈 부분에 해당하는, 즉 고주파 영역이나 저주파 영역에 해당하는 부분을 아래와 같이 제거해 준다면 개선된 영상을 얻을 수 있다.
(그림 3) 노이즈 영역을 제거한 스펙트럼 영상
이렇게 스펙트럼 영상에서 노이즈 영역에 해당하는 부분을 제거하고 푸리에 역변환(IDFT)을 수행하여 원래의 입력영상 도메인으로 바꾸면 개선된 이미지를 얻을 수 있게 된다. 푸리에 변환에 의한 필터링 과정은 다음과 같다.
f(x, y) ——- F(x, y) ——- H(u, v)F(u, v) ——- g(x, y)
Forward DFT Filtering InverseDFT
이러한 필터링 과정에서 H(u, v) 부분을 구현할 때 유의해야 할 점은 F(u, v)와 같은 크기의 영상 또는 행렬로 생성하지 않고, F(u, v)의 u, v 에 따라 H(u, v)의 스칼라 값을 계산하여 F(u, v)에 곱하는 방식을 사용하게 된다.
이러한 H(u, v) 부분에 적용하여 구현 할 수 있는 필터는 다음과 같은 필터가 있다.
1. 저주파 통과 필터(lowpass filtering)
저주파 통과 필터는 F(u, v)의 저주파 영역은 통과시키고 고주파 영역은 0으로 만들어 통과시키지 않는 필터를 말한다. 영상에서 잡음을 제거하거나 또는 약화시키고 블러링하여 에지 등의 세밀한 부분을 부드럽게 만드는 역할을 한다.
1.1 이상적인 저주파 통과 필터(ideal lowpass filtering)
이상적인 저주파 통과 필터는 주파수 영역의 원점으로부터 거리 D가 절단 주파수 D0 미만이만 통과시키고, 그렇지 않으면 통과시키지 않도록 하는 필터이다.
1.2 버터워스(Butterworth) 저주파 통과 필터
버터워스 필터는 절단 주파수 D0과 정수 n을 사용하여 필터H(u, v)가 완만하게 0에서 1사이의 실수 값을 갖도록 한다. 영상의 중심에서는 H(u, v) = 1 을 갖고, 멀어질수록 0에 가까운 값을 갖는다.
1.3 가우시안 저주파 통과 필터
가우시안 저주파 통과 필터는 D0을 표준편차로 갖는 가우시안 함수에 의해 H(u, v)가 완만하게 0에서 1사이의 실수 값을 갖는다. 중심에서는 H(u, v) = 1을 갖고, 중심에서 멀어질수록 0에 가까운 값을 갖게 된다.
2. 고주파 통과 필터(high pass filtering)
고주파 통과 필터는 F(u, v)의 고주파 영역은 통과시키고 저주파 영역은 0으로 만들어 통과시키지 않는 필터를 말한다. 고주파 통과 필터는 영상을 날카롭게 강조하는 샤프팅 효과를 일으킨다. 입력영상에서 고주파 통과 필터링을 하여 IDFT 하면 변화가 없는 영역은 0 의 값을, 변화가 심한 에지 영역은 양수 또는 음수의 값을 갖게 된다.
2.1 이상적인 고주파 통과 필터
2.2 버터워스 고주파 통과 필터링
2.3 가우시안 고주파 통과 필터링
이와 관련된 프로그램은 개발중이며 향후 내용에 추가할 계획이다.
참고자료 1
: http://docs.opencv.org/2.4/doc/tutorials/core/discrete_fourier_transform/discrete_fourier_transform.html
참고자료 2 : http://darkpgmr.tistory.com/14
참고자료 3 : http://paulbourke.net/miscellaneous/imagefilter/
참고자료 4 :
http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=laonple&logNo=220834097950&parentCategoryNo=&categoryNo=&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView
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푸리에 변환(Fourier transform) (2)
우리는 앞서 푸리에 변환(Fourier transform)이 무엇이고 이를 유도하는 방법에 대해서 알아보았다. 사실 푸리에 변환을 사용하기에 이전 글의 유도과정은 전혀 중요하지 않다. 공대생의 입장에서 푸리에 변환은 주어진 신호를 주파수 영역에서 손쉽게 해석 및 처리하기 위한 도구라고만 알면 끝이다. 다만 이를 사용하는 입장에서 한번쯤은 의문을 가져볼만하다.
글로 풀어진 푸리에 변환의 해석이나 유도는 여러번 보아도 전혀 와닿지 않을 것이다. 과연 이것이 어떻게 우리의 연구나 과제에 도움이 되고 어떻게 사용할지는 실제 예를 통해서 습득하는 것이 가장 효과적이다( 적어도 공대생인 필자는 그랬다. ). 이제 좀 더 눈이 보이고 직관적인 예를 통해서 자세히 알아보고자 한다.
본 글에서는 다양한 신호 중에 영상을 이용한 푸리에 변환의 예를 다룰 예정이다.
1. 고역통과 및 저역통과 필터(High-pass filter & Low-pass filter)
일반적으로 고역통과 및 저역통과 필터는 다만 영상에서 쓰일 뿐만 아니라 신호의 주파수의 필터링이 필요한 전기적 장치에서 흔히 쓰이는 말이다(전자파나 음파 분야에서는 필터보다 여파기라는 단어를 쓴다.). 아무튼 영상처리에서는 아래와 같이 정의할 수 있다.
– 고역통과 필터: 신호의 주파수 중 기준값 이하의 주파수를 제거하고, 기준값 이상의 주파수를 통과시키는 필터
– 저역통과 필터: 신호의 주파수 중 기준값 이상의 주파수를 제거하고, 기준값 이하의 주파수를 통과시키는 필터
고역통과 및 저역통과 필터를 사용하기 위해서는 신호의 푸리에 변환을 통한 주파수 확인이 필요하다. 만약 아래와 같은 영상이 있을때, 영상의 푸리에 변환 후의 신호는 다음 그림과 같다. (대부분의 영상은 이차원이므로 이차원 푸리에 변환이 필요하다. 그리고 모든 영상 정보는 신호가 연속적이지 않기 때문에 불연속 푸리에 변환을 한다. 이차원 푸리에 변환과 불연속 푸리에 변환의 자세한 내용은 본 글에서 다루고자하는 핵심 내용에 벗어나기 때문에 다루지 않겠다. )
<고양이 '삼색이' 사진> <고양이 사진의 2차원 고속 푸리에 변환 후의 실수부분 영상>
영상을 푸리에 변환을 하면 주어진 영상과 동일한 크기의 주파수 정보를 얻을 수 있다. 이는 불연속적인 픽셀로 이루어진 영상은 최대 주파수가 영상의 크기에 의해서 결정되어지기 때문이다. 이제 주파수 정보를 자세히 보면 중심부(저주파수)가 상대적으로 높은 강도의 신호를 가지고 외부(고주파수)가 상대적으로 낮은 강도의 신호를 가지는 패턴 을 볼 수 있을 것이다. 이는 대부분의 영상에서 나타나는 패턴이다. 우리가 흔히 보는 영상이 대부분 저주파수로 이루어져 있음 을 알 수 있다.
<고역통과 필터>
자, 그럼 먼저 고역통과 필터를 적용해보자. 고역통과 필터는 아래와 같이 만들 수 있다. 기준값은 임의로 결정하였다.
<고역통과 필터>
위 그림에서 흰색 영역은 1을 가지고 검정 영역은 0을 가진다. 즉, 고역통과 필터와 영상의 원소 간의 곱 을 하면 중심부의 저주파수는 사라지고 외부에 상대적으로 고주파수만 남게 된다. 그 신호를 다시 푸리에 역변환을 거치면 아래와 같은 영상을 얻을 수 있다.
<고역통과 필터링 후의 삼색이 사진>
고양이 사진을 보면 경계부분과 상세한 모양은 남아있지만 그 경계를 채워주는 요소가 결여되어 있다. 이것이 고양이 영상에서의 고주파 신호이다. 그럼 저주파 신호는 어떨까?
<저역통과 필터>
위에서와 반대로 저역필터를 만들어준다. 앞서 설정한 기준값 이하의 부분은 1을 가지고 나머지는 0을 가지는 필터이다. 아래 만들어진 저역통과 필터를 푸리에 변환된 영상의 신호에 원소 간의 곱을 한 후에 푸리에 역변환을 하면 다음 고양이을 영상을 얻을 수 있다.
<저역통과 필터> <저역통과 필터링 후 삼색이 사진>
이번 영상을 어떤가? 굉장히 오래된 핸드폰으로 찍은 낮은 해상도 그림을 보는 것 같다고 생각하면 정확하게 본 것이다. 고주파 정보란 정해진 길이의 정보(예: 고양이 사진)에서 굉장히 많은 반복수를 가진 정보이다. 다른 말로 특정 공간에서 작게 분해된 정보이고 이런 정보가 많은 영상을 고해상도라고 말한다. 위 영상은 저역통과 필터로 인해서 고해상도가 대부분 사라졌기 때문에 저해상도 영상이다.
필자가 대학교 수업을 들을 때에 담당교수님께서 하신 말씀을 빌리자면,
셀카를 찍으면 얼굴이 부어보이는 이유는 아직 카메라의 해상도가 사람의 눈을 못 따라오기 때문에 카메라에 담기는 정보는 마치 저역통과 필터를 거친 영상이므로 경계부분이 뚜렷하지 않아 그렇게 보인다. 라고 하셨다.
(사실 요즘 카메라는 예전에 비해서는 많이 좋아져서 눈에 띌 정도의 저역통과 필터는 아닌 것 같다. 하하하)
한가지 재미있는 사실을 말해보자면 사람의 눈도 볼 수 있는 최대 주파수(혹은 해상도)가 있기 때문에 멀리있는 사물을 볼 때에는 대부분 저주파수만을 보는 것과 마찬가지이다. 고양이의 원본영상과 저역통과 필터를 거친 영상을 굉장히 축소시키면 멀리서 고양이를 보는 것과 유사한데, 멀어질수록 두 영상의 차이를 점점 구별하기 힘들어진다.
<원본 영상과 저역통과 필터를 거친 영상을 축소한 결과>
2. 주파수강조 필터 (Frequency-emphasizing filter)
주파수강조 필터는 많이들 고역통과 및 저역통과 필터와 혼용되어 불리는데 나는 이를 구분하고 싶다. 주파수강조 필터는 특정주파수를 제거하는 것이 아닌 각 주파수 별로 가중치를 곱하여 데이터를 처리하는 방법이다. 본 글에서는 간단하게 대표적인 몇가지에 대해서만 알아볼 예정이다.
<영상 미분(Image gradient)>
영상처리에 대해서 한번이라도 배운적이 있다면 영상 미분이라면 한번쯤 보았을 것이다. 하지만 이것은 단순히 인접하는 두 픽셀의 값을 빼는 것으로 푸리에 변환이랑은 무관하다. 그 식은 아래와 같다.
$$ \triangledown_{x} f_{x,y} = f_{x+1,y} – f_{x,y}$$
여기서 \( f_{x,y} \) 는 영상에서의 임의의 좌표를 의미하고 \( \triangledown_{x} \)는 x방향으로의 미분을 의미한다. 이는 푸리에 변환을 이용한 해석이 가능하다.
공간좌표계에서의 이동은 주파수좌료계에서 $$ \mathcal{F}\left\{f_{x+1,y}\right\} = e^{-i(2\pi) u}\mathcal{F}\left\{f_{x,y}\right\} $$ 이므로
$$ f_{x+1,y} – f_{x,y} = \mathcal{F}^{-1}\left\{(e^{-i(2\pi) u}-1)\mathcal{F}\left\{f_{x,y}\right\}\right\} = \mathcal{F}^{-1}\left\{(\cos (2\pi u)-1-i \sin (2\pi u))\mathcal{F}\left\{f_{x,y}\right\}\right\}$$ 이다 (exponential 함수에서 삼각함수로의 변환은 오일러공식을 통해 가능하다.).
여기서 \( \cos (2\pi u)-1-i \sin (2\pi u) \) 가 영상의 푸리에 변환 후에 곱해지는 주파수 가중치이다. 복소수를 포함하고 있기 때문에 이에 절대값을 취하여 가중치의 크기만을 확인하면 다음과 같다.
$$ |\cos (2\pi u)-1-i \sin (2\pi u)| = 2 – 2\cos (2\pi u)$$
이를 그래프를 그려서 확인하면 낮은 주파수부터 가장 높은 주파수까지 점차 가중치가 상승하는 모양이다(아래 u축의 값은 신경쓰지말고 가중치가 0인 부분을 가장 낮은 주파수로 생각하면 된다.).
<주파수 영역에서의 영상 미분처리의 가중치>
즉, 영상 미분은 주파수가 0인 부분을 제거하고 고주파수를 상대적으로 증폭시키는 고주파수강조 필터이다.
<램프 필터(Ramp filter)>
영상 재건에 관심이 있다면 램프 필터를 본 적이 있을 것이다. CT와 같은 의료영상이나 그 외 회전하면 촬영하는 영상 시스템에서 많이 사용되는데, 1차원 영상을 2차원 단면영상으로 해석적으로 재건할 때에 램프필터링 후 각 영상을 합성하게 된다. 램프필터는 단순히 영상을 주파수 영역으로 변환한 뒤에 \( |u| \) 를 곱한 것이다. 이는 주파수영역에서 아래 그림과 같이 표현할 수 있다.
<주파수 영역에서의 램프 필터의 가중치> <램프필터링된 삼색이 사진>
램프필터와 같이 특정주파수 강조 필터들은 주파수를 제거하는 것이 아니고 상대적인 비율을 조절하는 것이라 고역통과 및 저역통과 필터보다 훨씬 자연스러운 이미지가 나온다. 하지만 느낌은 다르다.
이것 외에도 영상처리에서 푸리에 변환을 이용하는 경우가 무수히 많다. 본 글에서는 간단히 응용되는 예를 살펴보았다. 이 후 글에서는 좀 더 구체적인 사례들을 알아보고자 한다.
※ 본 글은 필자가 공부를 하며 얻은 이해를 바탕으로 적은 글이므로 다소 해석의 오류가 있을 수 있습니다. 글이 도움이 되었다면 하트 클릭 부탁드립니다 🙂 (비로그인으로도 가능합니다.)
영상처리[주파수 관련+푸리에변환]
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– 주파수 영역 처리 –
* 푸리에 변환을 적용하여 공간 영역에서 주파수 영역으로 변환
* 주파수 영역에서 특정한 주파수 성분을 제거하거나 증폭
* 주파수 영역에서 공간 영역으로 역변환
– 공간 주파수 –
* 화소값의 변화를 파형의 형태로 그린 것(=화소 값들의 변화율)
* 밝기의 변화 정도에 따라서 고주파 영역/저주파 영역으로 분류
– 저주파 공간 영역 –
* 화소 밝기가 거의 변화가 없거나 점진적으로 변화하는 것
* 영상에서 배경 부분이나 객체의 내부에 많다.
– 고주파 영역 –
* 화소 밝기가 급변하는 것
* 경계부분이나 객체의 모서리 부분
– 주파수 별로 분리 –
* 경계부분에 많은 고주파 성분이 제거된 영상 -> 경계가 흐려진 영상
* 고주파 성분만 취한 영상 -> 경계나 모서리만 나오는 영상(에지)
– 푸리에 변환 –
* 시간에 따라 변화하는 함수를 분해하여 그 안에 들어있는 주파수 성분을 끄집어내는 변환
* 비사인파를 사인파로 분해하거나 합하여 비사인파를 만들 수 있다.
– 이산 푸리에 변환(DFT) –
* 디지털 신호에 적용
* 복소수의 실수부와 허수부를 벡터로 가주하여 벡터의 크기 계산(주파수 스펙트럼)
* 실수부와 허수부 원소의 기울기 계산(주파수 위상)
– 주파수 스펙트럼 –
* 저주파영역이 모서리 부분에 위치. 고주파 부분이 중심부에 위치
* 사각형의 각 모서리를 중심으로 원형의 밴드를 형성하여 주파수 영역에 분포
* 보기 쉽게하기 위해 셔플링 적용(마주보는 대각선 방향으로 서로 바꿔준다.)
– 주파수 영역 변환 –
* 저주파 영역과 고주파 영역분리(특정 주파수 영역 강화, 약화, 제거 가능)
– 저주파 통과 필터링 –
* DFT 변환 영역에서 저주파 영역의 계수들은 통과, 고주파 영역의 계수 차단
– 고주파 통과 필터링 –
* 고주파 영역의 계수들을 통과시키고 저주파 영역의 계수들 차단
– 대역 통과 필터 –
* 특정한 대역에서 급격하게 값을 제거하기 때문에 결과 영상의 화질 저하
* 객체의 경계 부분 주위로 잔물결 같은 무늬 나타남
– 가우시안 필터 –
* 필터 원소의 구성을 가우시안 함수의 수식 분포를 갖게 함으로써 차단 주파수 부분을 점진적으로 구성
– 버터워쓰 필터 –
* 차단 주파수 반지름 위치와 지수의 승수인 n 값에 따라서 차단 필터의 반지름과 포물선의 곡률 결정
0. 푸리에 변환(Fourier transform)?
푸리에 변환 공식
푸리에 변환은 적분을 이용한 공식으로 어떠한 함수를 주파수로 변환하는 공식입니다. 사실상 푸리에 변환은 무언가를 주파수로 변환하는 공식이라고만 알아 두시고, 자세한 내용은 아래 위키백과를 참조하시기 바랍니다.
ko.wikipedia.org/wiki/%ED%91%B8%EB%A6%AC%EC%97%90_%EB%B3%80%ED%99%98
1. openCV에서의 푸리에 변환(Fourier transform)
영상을 주파수로 변환한다고 하면 이상하게 느껴지실 분들이 많으실겁니다. 주파수는 단위 시간에 몇 번의 변화가 일어났는지를 표현하는 방법입니다. 이를 화소의 밝기로 적용하면 영상에서 화소 밝기의 변화가 얼마나 빨리 변화하는가에 따라서 고주파와 저주파로 분류할 수 있습니다.
이렇게 영상을 위에서 나오는 푸리에 변환 공식을 사용하여 주파수로 변환할 수 있지만, 너무 힘든 과정을 거쳐야 합니다. 그렇기에 openCV에서는 자체적으로 푸리에 변환에 대한 함수를 지원하고 있습니다.
img = cv2.imread(‘lenna.png’) gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY) height, width = gray.shape
푸리에 변환은 밝기의 변화를 주파수로 변환하는 것 입니다. 그래서 영상은 그레이 스케일로 변환하도록 합니다.
dft = cv2.dft(np.float32(gray), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft) out = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
이제부터 푸리에 변환을 하도록 합니다. 이때 영상을 푸리에 변환시키는 것을 DFT라고 합니다.
openCV에 있는 dft함수는 실수로 변환된 영상을 입력받습니다. 그래서 영상을 입력할 때에는 실수로 변환해 주어야 합니다. 또한 dft를 할 때, flags를 입력해 주어야 하는데, dft 변환한 값을 얻을 때는 DFT_COMPLEX_OUTPUT을 입력해 줍니다.
그다음에 있는 np.fft.fftshift는 dpf로 변환된 주파수를 재배열해주는 함수입니다. 주파수가 0인 부분을 정 중앙에 위치시키고, 주파수가 커질수록 가장자리에 위치시킵니다.
마지막으로 우리가 볼 수 있는 영상으로 만들기 위해서 dft_shift 된 값들을 2차원 백터 값을 계산해주는 magnitude함수에 넣습니다. 이 값들은 매우 큰 값들이 나오기 때문에 log를 취해주어 출력할 수 있는 영상으로 만들어 줍니다.
여기까지가 기본적인 푸리에 변환의 방법입니다. 그런데 푸리에 변환으로 영상을 주파수로 만들 수 있지만, 같은 방식으로 주파수를 영상으로 만들 수도 있습니다. 그것을 역 푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)이라고 합니다.
inverse_shift = np.fft.fftshift(dft_shift) inverse_dft = cv2.dft(inverse_shift, flags=cv2.DFT_INVERSE) out2 = cv2.magnitude(inverse_dft[:, :, 0], inverse_dft[:, :, 1])
역 푸리에 변환을 하기 위해서는 재배열된 주파수를 다시 원래 배열로 재배열해야 합니다. 그래서 fftshift 된 dft_shift를 다시 fftshift에 넣어 변환해 줍니다.
이렇게 변환된 주파수를 다시 dft함수에 넣어줍니다. 하지만 이번에 flags는 주파수를 역으로 영상으로 만들어주는 DFT_INVERSE를 입력해 줍니다.
마지막으로 INVERSE된 값들을 magnitude 함수에 넣어서 영상으로 변환해 줍니다.
마지막으로 결과 영상을 보겠습니다. 주파수 영상은 cv2로 출력하게 되면 정상적인 영상이 나오지 않아서, pyplot을 사용하도록 합니다.
좌 : 원본영상 / 중 : 주파수 변환 영상 / 우 : 주파수 역변환 영상
주파수로 변환된 영상을 보시면 가운데가 밝은 것을 보실 수 있습니다. 이는 영상이 저주파가 많다는 뜻이며, 밝기의 변화가 급격하게 일어나지 않는다는 뜻입니다.
또한 역변환된 영상은 원본 영상과 똑같은 영상이 나오는 것을 보실 수 있습니다.
2. 마치며
일반적인 푸리에 변환은 시간에 대한 연속성이 고려되지 않았습니다. 그래서 연속적인 영상은 변환하기 힘들다는 단점은 있습니다.
def fourier(): img = cv2.imread(‘lenna.png’) gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY) height, width = gray.shape dft = cv2.dft(np.float32(gray), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft) out = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1])) inverse_shift = np.fft.fftshift(dft_shift) inverse_dft = cv2.dft(inverse_shift, flags=cv2.DFT_INVERSE) out2 = cv2.magnitude(inverse_dft[:, :, 0], inverse_dft[:, :, 1]) plt.subplot(131) plt.imshow(gray, cmap=’gray’) plt.title(‘original’) plt.subplot(132) plt.imshow(out, cmap=’gray’) plt.title(‘dft’) plt.subplot(133) plt.imshow(out2, cmap=’gray’) plt.title(‘inverse’) plt.show()
출처: https://marisara.tistory.com/entry/파이썬-openCV-25-주파수-푸리에-변환Fourier-transform [마리사라의 본진]
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다크 프로그래머 :: Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용
푸리에 변환(Fourier transform)에 대해서는 예전부터 한번 정리를 해야겠다고 생각만 했었는데 이번에 기회가 되어 글을 올립니다.
푸리에 변환(Fourier transform)은 신호처리, 음성, 통신 분야에서 뿐만 아니라 영상처리에서도 매우 중요한 개념으로 다양한 응용을 가지고 있습니다. 영상을 주파수 성분으로 변환하여 다양한 분석 및 처리를 할 수 있고 임의의 필터링 연산을 fft(fast Fourier transform)를 이용하여 고속으로 구현할 수도 있습니다. 그리고 푸리에 변환과 같은 근원적인 이론들은 특정 응용에 국한되지 않기 때문에 한번 알아두면 분야를 떠나서 두고두고 도움이 됩니다.
이 글에서는 푸리에 변환(Fourier transform)이 무엇이고 어디에 쓸 수 있는지, 그리고 어떻게 쓸 수 있는지 직관적 이해와 유용한 성질들, 영상처리 응용, 그리고 푸리에 변환(Fourier transform)을 실제 활용하는데 있어서 필요한 사항들을 최대한 직관적으로 정리하고자 합니다.
그동안 푸리에 변환(Fourier transform)에 대해 개인적으로 가지고 있었던 의문은 푸리에 변환을 통해 얻어지는 스펙트럼과 페이즈(phase) 중 페이즈(phase)가 무엇인가? 그리고 푸리에 주파수 공간의 좌표값을 어떻게 해석할까입니다. 아마도 비슷한 의문을 가진 분들도 꽤 있을 것으로 생각됩니다. 이 글을 통해서 그러한 의문에 대한 답도 같이 다루게 됩니다.
1. 푸리에 변환(Fourier transform) – 직관적 이해
모든 공부의 시작은 핵심 개념을 정확히 이해하는데 있다. 그리고 그 이해는 가급적 직관적일수록 좋다.
푸리에 변환(Fourier transform)을 직관적으로 설명하면 푸리에 변환은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 주기함수들의 합으로 분해하여 표현하는 것이다.
좀더 들어가면, 푸리에 변환에서 사용하는 주기함수는 sin, cos 삼각함수이며 푸리에 변환은 고주파부터 저주파까지 다양한 주파수 대역의 sin, cos 함수들로 원본 신호를 분해하는 것이다.
아래 그림(그림 1)의 예를 보자. 맨 앞의 붉은 색 신호는 입력 신호이고 뒤의 파란색 신호들은 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 얻어진 (원본 신호를 구성하는) 주기함수 성분들이다. 각각의 주기함수 성분들은 고유의 주파수(frequency)와 강도(amplitude)를 가지고 있으며 이들을 모두 합치면 원본 붉은색 신호가 된다.
그림 1. 푸리에 변환 (그림출처: 위키피디아)
여기서 입력 신호는 전파, 음성 신호 등과 같이 시간축(time)에 대해 정의된 신호일 수도 있고 이미지(image) 등과 같이 공간축에 대해 정의된 신호일 수도 있다. 통신 분야에서는 푸리에 변환(Fourier transform)을 time domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 하고, 컴퓨터 비전(computer vision), 영상처리 쪽에서는 spatial domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 부른다. 명칭이야 어쨌든 그 핵심은 입력 신호를 sin, cos의 주기성분으로 분해하는 것이다.
푸리에 변환(Fourier transform)의 대단한 점은 입력 신호가 어떤 신호이든지 관계없이 임의의 입력 신호를 sin, cos 주기함수들의 합으로 항상 분해할 수 있다는 것이다. 그리고 그 과정을 수식으로 표현한 것이 푸리에 변환식이다.
2. 푸리에 변환(Fourier transform) – 수식적 이해
어떤 개념을 직관적으로 이해했다면 그 개념에 대한 수식적 이해는 그 개념을 한층 풍성하고 깊이있게 이해하게 해 준다.
푸리에 변환(Fourier transform)은 프랑스의 수학자 Joseph Fourier (1768 ~ 1830)가 제안한 방법으로서 수학사(해석학)의 역사가 새로 씌여질 정도로 대단한 발견이었다고 한다. 그 유명한 푸리에 변환의 수식은 다음과 같다.
, — (1)
. — (2)
여기서 j는 허수단위 , f(x)는 원본 입력 신호, ej2πux는 주파수 u인 주기함수 성분, F(u)는 해당 주기함수 성분의 계수(coefficient)를 나타낸다.
일단 식을 있는 그대로 해석하면 식 (1)은 입력신호 f(x)가 ej2πux들의 합으로 표현(분해)된다는 의미이다 (적분은 합한다는 의미를 갖는다). 그리고 식 (2)는 f(x)를 주기함수 성분으로 분해했을 때의 계수(coefficient) F(u)가 식 (2)로 주어진다는 의미이다. 앞서 그림 1과 연관해 보면 ej2πux는 f(x)를 구성하는 (파란색의 주파수 u인) 주기함수 성분들이고 F(u)는 해당 주기함수 성분의 강도(amplitude)를 나타낸다.
☞ 푸리에 변환에 대한 일반적인 설명 방식은 두번째 식 (2)를 푸리에 변환이라고 정의하고 첫번째 식 (1)을 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)이라고 정의하는 것이다. 그리고 푸리에 역변환을 하면 다시 원래의 함수로 돌아온다고 한다. 하지만 이러한 기계적인 이해(푸리에 변환을 어디 하늘에서 뚝 떨어진 정의로만 받아들이는 것)는 푸리에 변환의 본질을 이해하는데 별 도움이 되지 않는다.
이제 식으로 좀더 들어가 보자. 일단, 식 자체는 푸리에 변환의 대단함에 비추어 매우 단순하다 (Simple is the best!!). 다만 한 가지 ej2πux의 의미만 이해하면 된다. 그리고 이를 위해서는 오일러 공식(Euler’s formula)이 필요하다.
오일러 공식(Euler’s formula)은 복소지수함수를 삼각함수로 변환할 수 있도록 하는 유명한 식이다.
— (3)
식 (3)은 증명 가능한 식이며 그 증명은 인터넷에서 어렵지 않게 찾을 수 있다. 어쨌든 오일러 공식을 이용하면 식 (1)의 ej2πux는 실수부가 cos(2πux), 허수부가 sin(2πux)인 주기함수임을 알 수 있다.
— (4)
여기서 cos(2πux), sin(2πux) 모두 주기(period)가 1/u, 주파수(frequency) u인 주기함수이므로 결국 ej2πux는 주파수 u인 정현파(sinusoidal wave)의 복소지수함수 표현임을 알 수 있다.
주기: 파동이 한번 진동하는데 걸리는 시간, 또는 그 길이. sin(wx)의 주기는 2π/w 임.
주파수: 1초 동안의 진동 횟수. 주파수와 주기는 서로 역수 관계 (주파수 = 1/주기)
☞ 정현파(sinusoidal wave)는 파형이 sin 또는 cos 함수인 파동(wave)을 말한다. 그런데, 여기서 왜 갑자기 복소수가 나오고 또 주기함수를 저렇게 표현하느냐고 따질 수 있다. 하지만 여기서는 그냥 복수지수함수는 정현파(sinusoidal wave)를 표현하는 방법 중 하나라는 정도로만 알아두자. 정현파 및 복수지수함수 표현에 대한 보다 자세한 내용은 AngeloYeo님의 페이저(phasor)에 대한 설명글을 참고하기 바란다.
이제 다시 원래의 식 (1), (2)로 돌아가 보자. 식 (1)은 함수 f(x)를 모든 가능한 주파수(u)의 주기함수들(ej2πux)의 일차결합으로 표현한 것이다. 그리고 그 일차결합 계수 F(u)는 식 (2)로 항상 주어질 수 있다는 것이 요지이다. 이와 같이 푸리에 변환식을 볼 수 있다면 푸리에 변환의 핵심을 이해한 것이다.
☞ 식 (1), (2)의 푸리에 변환(Fourier transform)식은 언뜻 보면 정의(definition)로 보이지만 사실은 증명해야 할 정리(theorem)이다. 즉, 식 (2)의 F(u)를 식 (1)에 대입하면 항상 f(x)가 나옴을 증명해야 한다. 이것이 증명되면 모든 임의의 신호함수는 항상 주기함수들의 일차결합으로 분해될 수 있음이 증명되는 것이다 (증명은 이곳 참조).
마지막으로, (증명은 아니지만) 왜 일차결합의 계수 F(u)가 식 (2)로 주어지는지를 선형대수학과 연관지어 직관적으로 이해해 보자. 식 (1)에서 ej2πux, u = 0, ±1, ±2, …은 모든 신호를 생성할 수 있는 직교(orthogonal) 기저(basis) 함수들로 볼 수 있다 (편의상 u를 정수 범위로 표기했으나 u는 실수 전체 범위임). 그러면 입력 신호 f(x)를 이들 기저함수들로 분해했을 때의 계수 F(u)는 f(x)와 기저함수의 내적(dot product)으로 계산될 수 있다 (아래의 ☞선형대수학 관련 설명 참조). 식 (2)는 f(x)와 ej2πux의 함수 내적이기 때문에 그 결과는 f(x)를 ej2πux들로 분해했을 때의 계수가 된다. 따라서, F(u)가 식 (2)로 주어지는 이유가 설명이 되었다. 참고로, 식 (2)에서 j 앞에 -가 붙은 이유는 복소수에서의 내적은 어느 한쪽에 켤레(conjugate) 복소수를 취한 후 계산되기 때문이다.
☞ 선형대수학(linear algebra)에서는 어떤 벡터 공간을 생성할 수 있는 일차독립인 벡터들의 집합을 기저(basis)라고 한다. 만일 기저(basis) 벡터들이 v1, v2, …, vn라 하면 이 벡터공간에 속하는 임의의 벡터 v는 v = a1v1 + a2v2 + … + anvn (ai는 상수)와 같이 기저 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 있다 (왜냐하면 vi들이 이 벡터공간의 모든 벡터들을 생성할 수 있으니까). 그런데 만일 기저벡터들이 서로 수직(vi·vj = 0)인 단위벡터라면 일차결합 계수 ai는 내적을 이용하여 ai = v·vi로 손쉽게 계산할 수 있다 (∵ v·vi = (a1v1 + … + anvn)·vi = ai*(vi·vi) = ai). 어떤 벡터와 기저(basis) 벡터를 내적하면 이 벡터에 포함된 기저 성분의 계수가 얻어진다는 것은 선형대수학에서 매우 유용한 성질이다.
☞ F(u)가 식 (2)로 주어지는 이유에 대한 선형대수학적 설명은 개인적 이해 방식이라서 증명이 있거나 근거 문헌이 있는 내용은 아닙니다. 그냥 그런 식으로 이해할 수도 있구나 하고 참고만 하기 바랍니다. 정말 그런지 수학적으로 증명해 봐라 하면 골치아픕니다..
3. 이미지(영상신호)에서의 푸리에 변환(Fourier transform)
푸리에 변환(Fourier transform)을 영상처리에 적용하기 위해서는 이미지(영상신호)가 가지고 있는 몇 가지 차이점을 인지해야 한다. 먼저, 이미지는 2차원의(x축 방향의 변화와 y축 방향의 변화가 동시에 포함된) 신호이기 때문에 2차원에서 정의되는 푸리에 변환이 필요하다. 2차원 신호에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.
, — (5)
. — (6)
단, 여기서 F(u, v)는 x축 방향으로 주파수(frequency) u, y축 방향으로 v인 주기함수 성분의 계수이다. 그리고 그 값은 식 (6)에 의해 계산된다.
그런데 이미지는 연속(continuous)이 아닌 이산(discrete) 신호이다. 그리고 한정된 유한(finite) 구간에서 정의되는 신호이다. 따라서, 이산 데이터에서 정의되는 푸리에 변환이 필요하다. W x H 크기의 이미지 f(x, y)에 대한 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.
, —(7)
. —(8)
단, x = 0, 1, …, W-1, y = 0, 1, …, H-1이고 u = 0, 1, …, W-1, v = 0, 1, …, H-1.
식 (7)에서 ej2π(ux/W+vy/H)는 x축 방향으로 주파수가 u/W, y축 방향으로 주파수가 v/H인 sinusoidal 주기함수이다 (by 오일러 공식). 일반적인 푸리에 변환식과는 달리 W와 H로의 나누기가 들어있음에 유의해야 하며 이는 데이터가 정의된 구간을 하나의 단위 주기(unit period)로 만드는 효과가 있다. 일종의 정규화 팩터(normalization factor)라고 생각하면 된다.
여기서 2D 이미지를 어떻게 신호로 해석할 수 있는지, 그리고 2D 정현파(sinusoidal wave) ej2π(ux/W+vy/H)가 도대체 어떤 모습일지 아마도 의아해할 수 있다. 첫째, 이미지를 신호로 해석하는 문제는 x 또는 y축을 시간축으로 놓고 좌표의 변화에 따라 변하는 이미지 픽셀의 밝기 변화를 신호로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 다음으로, 2D에서 정의되는 정현파(sinusoidal wave)의 모습은 아래 그림과 같이 모든 방향으로의 단면이 sinusoidal이 되는 물결 형태의 파동을 생각하면 된다.
그림 2. 2D에서의 sinusoidal wave
앞서 그림 1의 1D 푸리에 변환의 경우와 유사하게 생각해 보면, 이미지에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)은 그림 2와 같은 형태의 다양한 2D 정현파들의 합으로 이미지를 분해하여 표현하는 것으로 이해할 수 있다.
이미지에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)에서 한 가지 주의해야 할 것은 푸리에 변환의 계수 F(u, v)가 ej2π(ux+vy)의 계수가 아니라 ej2π(ux/W+vy/H)의 계수라는 점이다. 즉, 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 주파수 u, v 성분이 아니라 주파수 u/W, v/H 성분에 대한 계수를 나타낸다.
W × H 이미지에 대한 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 – x축 주파수 u/W, y축 주파수 v/H인 주기함수 성분에 대응 – 주기로는 x축 방향 W/u 픽셀, y축 방향 H/v 픽셀인 주기성분을 나타냄 (주기 = 1/주파수)
☞ 바로 이 부분이 개인적으로 푸리에 변환에 대해서 혼동스러웠던 부분 중 하나이다. W x H 이미지의 푸리에 변환에서 F(u, v)는 주파수 u, v의 성분이 아니라 주파수 u/W, v/H 성분이다. 따라서, 주파수 공간에서 특정 F(u, v) 값이 높게 나타났다면 원래의 이미지 공간에서는 x축 방향으로 주기가 W/u 픽셀, y축 방향 주기가 H/v 픽셀인 주기성 성분이 존재한다는 의미가 된다.
참고로, 1차원에서의 함수 f(x), x = 0, 1, 2, …, W-1에 대한 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.
— (9)
— (10)
☞ 1차원 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)식은 실제 푸리에 변환을 컴퓨터로 구현하는데 있어서 가장 기본이 되는 식이다. 왜냐하면 파동과 같은 연속 신호라 할지라도 실제 분석에 있어서는 샘플링된 이산 데이터를 이용해야 하고 2차원 푸리에 변환에 대한 구현도 내부적으로는 1차원 푸리에 변환을 이용하여 구현되기 때문이다.
4. 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 페이즈(phase)
이제 실제로 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 얻어지는 F(u, v) 값들이 어떤 의미를 가지며 어떤 형태(visualization)를 갖는지 살펴보자.
푸리에 변환을 통해 얻어지는 F(u, v)는 복소수(complex number)이며 실수부(Real)와 허수부(Imaginary)로 구성된다 (1차원 푸리에 변환의 경우도 마찬가지이다).
— (11)
이 때, 복소수 F(u, v)의 크기 |F(u, v)|를 푸리에 변환의 spectrum(스펙트럼) 또는 magnitude라고 부르고, F(u, v)의 각도 Φ를 phase(페이즈) angle 또는 phase spectrum이라고 부른다.
— (12)
— (13)
A. 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)
먼저, 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)에 대해 살펴보자. 푸리에 스펙트럼은 해당 주파수 성분이 원 신호(이미지)에 얼마나 강하게 포함되어 있는지를 나타낸다. W x H 이미지를 푸리에 변환(Fourier transform)하면 식 (7), (8)에 의해 W x H의 F(u, v), u = 0, …, W-1, v = 0, …, H-1 가 얻어진다. 따라서, |F(u, v)|를 픽셀값으로 잡으면 아래 예와 같이 푸리에 스펙트럼을 원본 이미지와 동일한 크기의 이미지로 시각화할 수 있다.
그림 3. 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 좌표계
(a) 입력 이미지, (b) 푸리에 스펙트럼, (c) shifted 스펙트럼
푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)을 이미지로 시각화하는 데에는 2가지 문제점이 있다. 먼저, 푸리에 스펙트럼은 저주파 영역은 매우 큰 값을 갖는 반면에 대부분의 다른 영역은 0에 가까운 값을 갖는다. 따라서 푸리에 스펙트럼을 그대로 이미지로 시각화하면 검은 바탕 위에 흰점 하나만 존재하는 형태가 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 스펙트럼을 이미지로 표현할 때에는 그림 3(b)처럼 스펙트럼에 log를 취하는 것이 일반적이다. 다음으로, 원래의 스펙트럼 이미지는 그림 3(b)처럼 모서리로 갈수록 값이 높아지기 때문에 스펙트럼의 형태를 파악하기 힘들다. 따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 그림 3(c)처럼 원점이 중심(center)에 오도록 스펙트럼의 위치를 이동시킨(shift) 형태의 이미지를 사용하는 것이 일반적이다 (아래 ☞설명 참조). 앞으로 푸리에 스펙트럼 이미지라 하면 그림 3(c)와 같은 shifted 스펙트럼 이미지를 생각하면 된다.
☞ 그림 3(c)와 같은 shift가 가능한 이유는 푸리에 스펙트럼이 원점대칭인 주기함수이기 때문이다. 사실 식 (9), (10)로 주어지는 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)식은 f(x)가 주기함수일 때에만 성립하는 식이다. 원래의 입력신호 f(x)는 x = 0, 1, …, W-1의 유한 구간에서 정의된 함수이다. 우리가 관심있는 부분은 0 ~ W-1 구간에서의 특성이므로 그 외의 구간에 대해서는 함수를 어떻게 정의해도 무방하다. 따라서, 푸리에 변환 적용을 위해 이 함수를 확장하여 f(x + W) = f(x)인 주기함수(0 ~ W-1에서의 함수값이 다른 구간에서도 계속 반복)로 가정하고 식을 세운 것이 식 (9), (10)이다. 이 때, F(u) 또한 f(x)와 동일한 주기(W)의 주기함수가 된다. 즉. F(u) = F(u + W). 또한 식 (10)에서 |F(u)| = |F(-u)|임도 쉽게 알 수 있다. 즉, 이산 푸리에 스펙트럼은 원점대칭이면서 W를 주기로 하는 주기함수 형태임을 알 수 있다. 2차원의 경우도 마찬가지이며 F(u, v) = F(u + W, v) = F(u, v+ H) = F(u + W, v + h), |F(u, v)| = |F(-u, -v)|인 주기함수가 된다. 그리고 이러한 원점 대칭성과 주기성으로 인해 스펙트럼 이미지를 그림 3(c)와 같이 shift하여 표현하는 것이 가능해진다.
shifted 스펙트럼을 이해하기 위해 한 예로 아래 그림 4의 왼쪽과 같은 형태의 스펙트럼 신호를 생각해 보자. 그런데 만일 스펙트럼이 원점대칭이고 W를 주기로 반복된다면 푸리에 스펙트럼은 오른쪽과 같은 형태가 될 수밖에 없음을 알 수 있다. 원래의 푸리에 스펙트럼의 형태는 구간 0 ~ W의 형태(그림 3b)이지만 (어차피 정보가 반복되기 때문에) 이를 구간 -W/2 ~ W/2 형태(그림 3c)로 shift하여 표현한 것이 shifted 스펙트럼이다.
그림 4. 푸리에 스펙트럼의 주기 특징
B. 푸리에 스펙트럼의 해석
앞서 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)은 해당되는 주파수 성분의 강도를 나타난다고 했는데, 정말 그런지 그리고 이 값이 이미지 도메인에서 어떻게 해석될 수 있는지 실제 예를 통해서 살펴보자.
아래 예는 이미지에 인위적으로 주기성분을 추가하였을 때 주파수 공간에서의 푸리에 스펙트럼이 어떻게 변하는지를 보여준다. 원본 이미지의 해상도는 205 × 205 픽셀이며(W = 205, H = 205) 따라서 스펙트럼 이미지도 205 x 205 해상도를 갖는다.
그림 5. 주기성분 추가에 따른 푸리에 스펙트럼의 변화
먼저, 그림 5(a)는 원본 이미지 및 대응되는 푸리에 스펙트럼 이미지를 보여준다. 그림의 예와 같이 일반적인 푸리에 스펙트럼 이미지는 원점 F(0, 0) 주변의 저주파 영역에서 강한 피크(peak)가 나타나고 원점에서 멀어질수록 즉, 고주파 영역으로 갈수록 값이 급격히 작아지는 형태를 갖는다.
그림 5(b)는 (a)의 이미지에 5 픽셀(pixel) 간격의 수평선을 인위적으로 추가한 경우이다. 그러면 주파수 공간에서는 그림과 같이 F(0, 41), F(0,82)에 강한 피크(peak)가 나타난다. 앞서 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 x축 주기 W/u 픽셀, y축 주기 H/v 픽셀인 주기성분의 계수라 했다. 그러면, F(0, 41)은 주기가 x축 방향 205/0 = ∞, y축 방향 205/41 = 5 픽셀인 주기성분에 대응된다. 그리고 이것은 그림 5(b)를 만들 때 사용한 수평선의 주기(세로방향 5픽셀)와 정확히 일치한다.
☞ F(0, 82)에도 피크(peak)가 나타나는 것은 y축 방향으로 205/82 = 2.5 픽셀 간격의 주기 성분이 입력 이미지에 있다는 의미이다. 이는 이미지에 추가한 수평선이 정현파(sinusoidal wave)가 아니라 계단 형태이기 때문에 5 픽셀 주기의 정현파와 2.5 픽셀 주기의 정현파를 합쳐서 그러한 계단 형태를 근사했기 때문이다.
다음으로, 이번에는 그림 5(c)와 같이 대각선 방향의 정현파를 (a)의 이미지에 추가해 보자. 추가한 정현파는 x축 방향 주기 20 pixel, y축 방향 주기 10 픽셀인 2D sin 함수를 이용했다. 이 때, 푸리에 스펙트럼에는 F(10, 20.5)에 강한 피크(peak)가 생성됨을 확인할 수 있다. 즉, x축 방향으로는 W/u = 205/10 = 20.5 픽셀, y축 방향으로는 H/v = 205/20.5 = 10 픽셀의 주기 성분이 입력 이미지에 있음을 의미한다. 그리고 이는 실제 입력 이미지에 추가된 주기 성분과 정확히 일치한다 (소수점 오차는 u, v좌표를 정수로 표현함에 의한 것이다).
이상으로 주파수 공간에서의 F(u, v)가 입력 이미지 공간에서 어떻게 연관되어 해석될 수 있는지를 실제 예를 통해서 살펴보았다. 마지막으로 앞서 그림 5(b), (c)에서 스펙트럼의 피크(peak) 영역을 지운 후 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)하면 아래와 같은 재미있는 결과를 얻을 수 있다 (지운다는 의미는 해당되는 F(u, v) 값들을 0으로 만든다는 의미이다).
그림 6. 푸리에 변환을 이용한 주기 성분 제거
☞ [개발한 것들] – FFT와 모아레 제거 프로그램을 이용하면 이미지의 푸리에 변환, 특정 스펙트럼 삭제 및 역변환을 직접 테스트해 볼 수 있다.
C. 푸리에 변환의 페이즈(phase)
푸리에 변환(Fourier transform)에서 스펙트럼(spectrum)은 잘 알려진 반면 페이즈(phase)는 상대적으로 잘 알려져 있지 않다. 하지만 페이즈(phase)에도 스펙트럼(spectrum) 못지 않은 중요한 정보가 담겨 있다고 한다.
페이즈(phase)를 우리말로 번역하면 ‘단계’가 되고 전문용어로는 ‘위상’이 된다. 위키피디아에는페이즈(phase, 위상)를 ‘반복되는 파형의 한 주기에서 첫 시작점의 각도 혹은 어느 한 순간의 위치’라고 정의한다. 즉, 파형(wave)의 시점이 어디인지가 페이즈(phase)이다. 예를 들어, sin 파와 cos 파는 90도의 페이즈(phase, 위상) 차이가 존재하는 동일한 파형으로 볼 수 있다.
푸리에 변환의 관점에서 보면 페이즈(phase)는 원본 신호를 주기 신호로 분해했을 때 각 주기성분의 시점이 어딘인지(즉, 각 주기성분들이 어떻게 줄을 맞춰서 원본 신호를 생성했는지)를 나타내는 요소가 된다.
아래 그림은 페이즈(phase)의 영향을 보여주는 예로서 파란색 주기성분 신호들을 합쳐서 빨간색 신호가 생성되는 예를 보여준다. 왼쪽, 오른쪽 경우 모두 동일한 주파수의 주기성분들을 합쳤지만 각 성분의 페이즈(phase) 차이로 인하여 전혀 다른 신호가 생성됨을 확인할 수 있다.
그림 7. 페이즈(phase) 차이에 따른 신호 생성의 차이
다음으로 푸리에 변환의 페이즈(phase)가 어떻게 수식으로 표현되는지 살펴보자. (1차원) 푸리에 변환의 계수 F(u)는 식 (12), (13) 및 오일러 공식에 의해 다음과 같이 극좌표(polar coordinate) 형태로 표현될 수 있다 (설명의 편의상 1차원의 경우를 예로 든다).
— (14)
☞ 실수축이 x축, 허수축이 y축인 복소평면에서 F(u)는 x축과 이루는 각이 Φ인 막대기의 끝점 (R, I)에 대응된다. 이 때, R = |F|cosΦ, I = |F|sinΦ이므로 F = |F|cosΦ + j|F|sinΦ = |F|ejΦ.
이제 식 (14)를 식 (1)에 대입하면,
. — (15)
와 같이 페이즈(phase) 텀이 주기함수 성분의 시점을 조절하는 텀이 된다.
즉, 푸리에 계수 F(u)에는 대응되는 주기함수 성분의 강도(amplitude)를 나타내는 스펙트럼 정보 |F(u)|와 시점을 조절하는 페이즈(phase) 정보 Φ(u)가 함께 포함되어 있음을 알 수 있다.
참고로, 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 페이즈(phase)에 관한 재미있는 비교 결과를 하나 소개한다. 아래 그림 8에서 (a)는 원본 이미지, (b)는 푸리에 스펙트럼을 보존하고 페이즈(phase)를 랜덤(random)하게 했을 때의 역변환 결과, (c)는 페이즈(phase)를 보존하고 스펙트럼을 랜덤하게 했을 때의 역변환 결과이다. 결과를 보면 이미지의 푸리에 변환에서 스펙트럼(spectrum)보다 페이즈(phase)에 보다 더 중요한 정보가 포함되어 있음을 확인할 수 있다.
그림 8. 푸리에 스펙트럼과 페이즈의 중요도 비교
5. 푸리에 변환의 유용한 성질들
마지막으로 푸리에 변환(Fourier transform)에 대한 몇 가지 유용한 성질들을 정리하면 다음과 같다.
– 주파수 공간의 원점 F(0, 0)의 값은 이미지의 평균값과 일치
– Impulse 함수(Dirac delta 함수)에 대한 푸리에 변환/역변환은 유니폼(uniform) 함수 (아래 식에서 푸리에 변환/역변환 관계를 ⇔ 로 표기).
– 가우시언(Gaussian) 함수의 푸리에 변환/역변환은 가우시언 함수가 됨
6. 맺음말
이상으로 푸리에 변환(Fourier transform)에 대한 정리를 마칩니다. 원래는 이렇게까지 길게 쓸 생각은 아니없는데 쓰다 보니 글이 길어졌네요.. ^^
참고자료 및 유용한 관련 글 링크
푸리에 변환 by jipark
푸리에 급수의 시작 by 전파거북이
푸리에 변환 by 전파거북이
페이저(phasor) by AngeloYeo
허수의 존재 의미에 대하여 by AngeloYeo
Magnitude and Phase by Deepa Kundur (토론토 대학)
What information is contained in the phase spectrum of a signal?
by 다크 프로그래머
주파수 영역 영상 처리와 푸리에 변환(1)
※ 주파수 영역
영상에서 주파수가 높다는 것은 영상 밝기값 변화가 자주 일어나는 것이고 주파수가 낮다는 것은 밝기값 변화가 비교적 드물게 일어난다는 것을 의미한다. 밑에 있는 그림을 보면 윗 부분은 밝기값 변화가 거의 없다. 그래서 저주파 영역이다. 밑 부분은 밝기값 변화가 자주 일어나다. 그래서 고주파 영역이다. 아래 그림의 저주파 영역과 고주파 영역의 단면을 그래프로 나타내면 아래 그래프와 같이 나타낼 수 있다. x축은 단면이기 때문에 영역의 x 위치가 되고 y 축은 밝기값이 된다. 저주파 영역의 경우 밝기값 변화가 거의 없으므로 그래프가 일정한 선을 그리며 떨림이 거의 없다. 고주파 영역의 경우 밝기값 변화가 많으므로 그래프가 크게 요동을 치고 떨림이 많이 있다. 이러한 x위치에 따른 밝기값 그래프를 푸리에 변환과 같은 기법을 이용해 다양한 주기의 사인함수와 코사인 함수와 같은 정현파의 조합으로 분석하는 것을 주파수 영역으로 변환한다고 한다. 변환 결과로 x축은 주파수, y축은 각 주파수 값에 대한 신호 성분의 세기를 나타내는 그래프가 나오게 된다. 해당 그래프는 아래에 있다. 좀 더 쉽게 주파수 영역 변환에 대해서 말하자면 아래의 주파수 변환 전 그래프, x축이 영역의 x위치고 y축이 밝기 값인 그래프 즉, 기존 신호가 여러 주파수로 이루어져 있고 이를 사인과 코사인으로 된 함수들 각각의 배수 합 즉, 가중치 합으로 나타낼 수 있다. 각 사인과 코사인 함수는 하나의 주파수이고 이들의 가중치가 x축이 주파수, y축이 각 주파수 값에 대한 신호 성분 세기 그래프에서 y축인 주파수 값에 대한 신호 성분 세기가 되는 것이다.
그림1
영상에서 주파수의 의미를 대략 알아보았다. 영상 신호를 주파수 영역으로 변환하면 회선연산이 편리해진다. 우리는 앞에서 가우스 필터를 이용한 회선 연산으로 영상 잡음을 제거 했는데 가우스 필터의 마스크 크기가 증가할수록 연산 시간이 마스크 면적에 비례하여 증가했었다. 주파수 영역으로 변환된 신호에서 회선 연산은 주파수 성분 사이의 곱셈 연산으로 수행되 마스크의 크기에 상관 없이 연산 시간이 일정하게 유지된다. 따라서 영상을 주파수 영역으로 변환하면 여러 가지 마스크를 이용한 필터링 연산을 더욱 효율적으로 수행할 수 있다.
또한 영상을 주파수 영역으로 변환하게 되면 영상의 메모리 용량을 줄이는 압축 작업도 할 수 있다. 위에서 주파수 영역으로 변환한 그래프를 보면 영상의 대부분이 저주파 성분으로 되어 있다. 따라서 미미하게 존재하는 고주파 성분을 영상 저장 과정에서 생력하면 시각적으로 식별할 수 있는 영상의 품질 저하를 최소화하면서 저장에 사용하는 메모리 용량도 최소화 할 수 있다. 이렇게 영상의 일부 성분을 제거하여 압축하는 것을 손실 압축이라고 하는데 주파수 영역 변환을 이용한 방법은 손실되는 정보에 비하여 메모리 용량 감소가 뛰어나다는 장점이 있다.
※ 주파수 변환
이번에는 주파수 영역으로 변환하는 법을 알아보자. 먼저 변환 전 공간 영역(영상의 x위치)의 원본 신호를 g(t)라고 하자. t는 위의 x에 대한 밝기값 그래프에서 영상의 가로 좌표를 말하고 g(t)는 각 위치 픽셀의 밝기값에 해당한다. 영상의 주파수 영역 변환이란 신호를 구성하는 각 주파수 성분들의 크기를 구하는 것이다. 원본 신호 g(t)를 서로 다른 주파수를 가지는 기본 신호, 즉 기저 함수들의 선형 조합으로 나타내는 것이다. 기저함수를 s(t)라 할 때 원본 신호 g(t)를 구성하는 선형 조합의 계수가 곧 주파수 성분의 크기에 해당한다. 보통 기저함수 s(t)는 사인, 코사인 함수로 되어 있다. 다음 그림을 보자.
위 그림은 원본 신호 g(t)를 기저함수 여러 개의 코사인, 사인 함수들의 선형 조합으로 나타내는 것을 도식화했다. 각 사인, 코사인 함수 앞에 곱해진 값들이 계수 즉, 주파수 성분의 크기에 해당한다. 계수 [0.5, 0.4, -0.2, -0.3, 0.1, -0.1] 을 구하는 것이 원본 신호 g(t)를 주파수 변환한 결과가 된다. 따라서 영상에서 주파수로 변환하는 것은 고유 주파수를 가진 기저 함수들에 대한 계수를 찾는 것이고, 반대로 주파수 변환의 역변환은 주어진 계수와 기저함수를 이용하여 원본 신호를 찾는 것이다. 다음 식은 주파수 변환을 표현한 식이다.
G(f)가 기저 함수 s(t)의 계수에 해당하는 값으로 주파수 함수라고 한다. 위 식과 같이 원본 신호 g(t)는 가능한 모든 주파수 f에 대하여 f에 해당하는 기저 함수와 그 계수의 선형 조합으로 구한다. 따라서 적분 형태로 표현된다. 주파수 영역으로 변환하는 것은 주어진 기저 함수에 대하여 계수를 나타내는 주파수 함수인 G(f)를 구하는 것이다. 제일 위 그림에서 밑에 있는 그래프의 x축은 주파수 값 f 가 되고 y축은 각 주파수 성분의 계수 G(f)가 된다.
※ 푸리에 변환, 이산 푸리에 변환(DFT)
주파수 변환을 하기 위해서는 기저함수가 필요한 데 일반적으로 사인, 코사인 함수를 사용한다. 이런 사인, 코사인 함수를 사용하여 변환하는 대표적인 방법이 푸리에 변환이다. 다음 수식은 기저함수를 나타낸다.
기저 함수 s(t)는 위와 같이 사인과 코사인 함수로 나타낼 수 있다. 두 번 째 등식은 오일러 공식에 의해서 나온 것으로 푸리에 변환에서는 기저함수를 사인 코사인을 변환 시킨 자연 지수 함수를 사용한다. 다음은 자연 지수 함수를 이용한 원본 신호 g(t)를 구하는 공식이다.
위 식은 주파수 함수 G(f)로부터 원본 신호 g(t)를 얻는 것으로 푸리에 변환의역변환에 해당한다. 원본 신호로부터 주파수 함수를 얻는 것은 위 식에서 다음과 같이 유도할 수 있다.
위 두 식은 t가 실수 값으로 주어지는 연속적인 1차원 신호에 대한 푸리에 변환과 역변환이다. 따라서 이를 영상에 적용하려면 디지털 신호를 위해 고안된 이산 푸리에 변환(DFT)를 사용해야한다. 또한 1차원 푸리에 변환을 영상은 가로 세로가 있기 때문에 가로와 세로 방향에 대해 각각 차례로 수행해야 한다. 이산 푸리에 변환은 픽셀 값과 같이 정의역이 정수 값 신호를 위한 것으로 적분을 유한 개의 원소 합 형태로 표현한다. 다음은 이산 푸리에 변환의 공식이다.
g[n]은 정의역이 정수 n으로 주어지는 원본 디지털 신호(밝기값)를 나타낸다. G(k)는 주파수 k에 대한 함수(주파수 성분 크기)를 나타낸다. 다음은 주파수 역변환을 통하여 주파수 함수 G(k)로부터 원본 신호 g[n]을 얻는 공식이다.
2차 평면 영상에 대한 푸리에 변환에서 영상의 가로와 세로 좌표가 n,m에 대응하고 해당 위치의 픽셀 값을 g[n,m]이라고 하자. 그리고 주파수의 가로, 세로 좌표가 k,l에 대응하고 해당 위치의 주파수 함수값을 G(k,l)이라고 하자. 다음은 2차원 평면에서 이산 푸리에 변환과 역변환 공식이다.
2차원 평면 상에서 이산 푸리에 변환와 역변환은 1차 푸리에 변환과 역변환을 영상 가로방향으로 한 후에 결과를 세로 방향으로 다시 1차 푸리에 변환, 역변환을 한 것이다. 따라서 2차원 평면 상 이산 푸리에 변환과 역변환을 코드로 구현할 때는 1차원 변환을 수행하는 코드만 있으면 된다. 그리고 변환과 역변환 공식이 기저 함수가 사용하는 지수의 부호만 다를 뿐 나머지는 같다는 것이다. 따라서 변환과 역변환에 같은 코드를 사용하면서 변환의 방향에 따라 전체 결과를 신호의 길이에 나누는지와 지수의 부호만 바꾸도록 구현하면 편리하다.
1차원 이산 푸리에 변환에서 각 원소의 계산은 위에서 언급한 오일러 공식을 사용하여 쉽게 구할 수 있다. 이 때 원본 신호 g[n]도 허수부를 가지는 복소수를 두고 식을 유도하는 데 이는 영상 등의 실제 신호는 보통 실수부만 가지지만 주파수 함수는 허수부도 가지므로 역변환까지 다룰 수 있는 코드를 유도하기 위해서이다.
g[n]의 실수부를 Re{g[n]}, 허수부를 Im{g[n]} 이라고 하면, 주파수 함수에서 k번째 원소의 실수부 Re{G(k)}와 허수부 Im{G(k)}는 오일러 공식을 사용하여 다음 식과 같이 구할 수 있다.
역변환은 각 삼각 함수에서 각도의 부호만 바꾸어 다음과 같이 구할 수 있다.
다음은 1차원 이산 푸리에 연산의 코드이다.
int isign = 1; // 역변환일 때는 -1
double sumRe = 0;
double sumIm = 0;
for ( int n=0; n
Fourier 변환 영상의 주파수 특성을 분석하여 디지털 영상을 변환하는 방법
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