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같은 물건을 여기서 봤을 때 저기서 봤을 때 다르게 보이듯이..
신호를 다각도로 볼 수 있게 해주는 녀석입니다.
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0:00 – 푸리에 변환이란?
0:49 – 비주기 신호란?
2:19 – [[ 영상으로 보는 ]] 푸리에 변환!!
4:53 – 푸리에 변환 식 유도
10:56 – 푸리에 역변환 식 유도
16:41 – 푸리에 변환 외우지 말자! (학부생 시절 이야기…)
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04-6. 푸리에 급수 예제를 손으로 풀어보기
푸리에 변환, 신호/푸리에 변환의 모든 것 … 펄스파(pulse wave) 혹은 구형파(矩形波)라고 불리는 신호이다. 구형파의 구(矩)는 ‘네모’라는 의미의 …
Source: infograph.tistory.com
Date Published: 10/16/2021
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[Linear Algebra] Lecture 27-(1) 연속 시간 푸리에 변환 …
이제 이와 같이 생성한 사각파를 푸리에 변환(Fourier Transform)을 통해 주파수 영역으로 바꿔보자. 함수 f(t)를 만들었기 때문에 푸리에 변환식 (4.2)를 …
Source: twlab.tistory.com
Date Published: 4/8/2021
View: 5864
강철호
신호 및 시스템. 27. (a) 구형파 신호. (b) 구형파의 스펙트럼. 그림 4.18 구형파의 연속 시간 푸리에 변환. ▫ t =0 에 대하여 대칭인 구형파의 스펙트럼.
Source: electron.silla.ac.kr
Date Published: 2/18/2022
View: 5760
[선형변환] 푸리에 변환 Fourier Translation – PinkWink
위에서 부터 구형파와 삼각파, 싱크(sinc)함수를 정의합니다. 이제. 충격함수를 푸리에 변환하면 1이라는 것과 그 쌍대성을 이용하여 1을 푸리에 변환 …
Source: pinkwink.kr
Date Published: 3/13/2021
View: 8909
Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용 – 다크 프로그래머
영상을 주파수 성분으로 변환하여 다양한 분석 및 처리를 할 수 있고 임의의 필터링 연산을 fft(fast Fourier transform)를 이용하여 고속으로 구현할 …
Source: darkpgmr.tistory.com
Date Published: 10/21/2022
View: 1474
Fourier Series
복소 지수함수 Fourier Series. • 직교 함수 집합 : 구간 t … 크기가 1이고 펄스 폭이 1인 사각 펄스(구형파) … 비주기 신호의 Fourier Transform.
Source: contents.kocw.or.kr
Date Published: 6/20/2022
View: 6863
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주제에 대한 기사 평가 구형파 푸리에 변환
- Author: 혁펜하임
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- Date Published: 2019. 11. 12.
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04-6. 푸리에 급수 예제를 손으로 풀어보기
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앞 장까지 푸리에 급수에 대해 알아봤다.
푸리에 급수는 아래와 같은 식으로 표현되었다.
푸리에 급수의 삼각함수 표현
$$ \begin{align} &y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \quad \quad (식\; 1) \\ &a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \quad \quad (식\; 1-1) \\ &a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \quad \quad (식\; 1-2) \\ &b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \quad \quad (식\; 1-3) \end{align} $$
푸리에 급수의 복소지수 표현
$$ \begin{align} &y(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}{C_n e^{in\omega t}} \quad \quad (식\; 2) \\ &C_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} \quad \quad (식\; 2-1)\\ \end{align} $$
푸리에 급수의 의미를 체감하기 위해서는, 간단한 파형 하나를 정해서 직접 손으로 푸리에 급수식을 유도해보는 게 좋다.
아래와 같은 파형의 신호가 있을 때, 이를 푸리에 급수를 이용해서 주파수 영역의 함수로 바꿔 보자. 펄스파(pulse wave) 혹은 구형파(矩形波)라고 불리는 신호이다.
구형파의 구(矩)는 ‘네모’라는 의미의 한자이다. 근데, 실생활에서 이 한자가 쓰이는 부분은 거의 없다. 군대에서 똑바로 각지어서 걷는다는 ‘구보’ 정도가 이 한자를 쓰는 경우이다. square wave를 일본에서 구형파라고 이름 붙인 것을 우리가 그냥 쓰는 듯하다.
(그림 1) 시간에 대한 신호 파형
그림을 보면 주기는 $2\pi$다. 따라서 $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}$이고, $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot \frac{1}{2\pi}=1$이 된다.
$-\pi$ ~ $\pi$까지에 대해서 푸리에 급수로 표현해 보자.
$-\pi$에서 $\pi$까지의 함숫값은,
$$ \left\{\begin{matrix} -1 & -\pi< t \leq 0 \\ 1 & 0 < t \leq \pi \end{matrix}\right.$$ 먼저 (식 1-1)을 이용해서 $a_0$를 구해보면 $a_0=0$이 됨을 알 수 있다. $$ \begin{align} a_0 &= \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \\ & = \frac {1}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {-1}dt + \frac {1}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {1}dt \\ & = \frac {1}{2\pi} \left [ -t \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac {1}{2\pi} \left [ t \right ] _{0} ^{\pi} \\ & = \frac {1}{2\pi}(0-\pi) + \frac {1}{2\pi}(\pi-0) \\ & = 0 \end{align} $$ (식 1-2)를 이용해서 $a_n$을 구하면, $a_0$와 마찬가지고 $0$이다. $$\begin{align} a_n &= \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \\ &= \frac{2}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {(-1)\cos {nt}}dt + \frac{2}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {(1)\cos {nt}}dt\\ &= \frac{1}{\pi} \left [ -\frac{1}{n} \sin {nt} \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac{1}{\pi} \left [ \frac{1}{n} \sin {nt} \right ] _{0} ^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} (0+0) + \frac{1}{\pi} (0-0) \\ & = 0 \end{align}$$ (식 1-3)을 이용해서 $b_n$을 구하면, $$ \begin{align} b_n &= \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \\ &= \frac{2}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {(-1)\sin {nt}}dt + \frac{2}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {(1)\sin {nt}}dt\\ &= \frac{1}{\pi} \left [ \frac{1}{n} \cos {nt} \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac{1}{\pi} \left [ -\frac{1}{n} \cos {nt} \right ] _{0} ^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} (\frac{1}{n} \cdot 1-\frac{1}{n} \cos {n\pi}) + \frac{1}{\pi} (-\frac{1}{n} \cos {n\pi}+\frac{1}{n} \cdot 1) \\ &= \frac {1}{\pi}(\frac{2}{n} - \frac{2}{n}\cos{n\pi}) \\ &=\frac{1}{n\pi}(2-2(-1)^n) = \left\{\begin{matrix} 0 & (n:even\; number)\\ \frac{4}{n\pi} & (n:odd\; number) \end{matrix}\right. \end{align} $$ $b_n$ 값이 짝수일 때는 0이고 홀수일 때 $\dfrac {1}{n\pi}$이기에, $n=1$ ~ $\infty$ 값에 대해서는 $b_n=\dfrac {1}{(2n-1)\pi}$ 이라고 할 수 있다. 이제 $a_0$, $a_n$, $b_n$을 (식 1)에다가 넣으면, $$ \begin{align} y(t) &= a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \\ &= 0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(0 + \frac{1}{(2n-1)\pi} \sin n\omega t)} \\ &= \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n-1)\pi} \sin n\omega t} \tag{식 3} \end{align} $$ (식 3)을 자세히 보면, 사인 그래프인데, 진폭은 $\dfrac {1}{(2n-1)\pi}$이고 주파수는 $n\omega$이다. $n$이 커짐에 따라 진폭과 주파수가 달라지는데, 진폭의 경우 $n$이 분모에 있기 때문에, $n$이 커짐에 따라 진폭은 점점 작아질 것이고, 주파수의 경우는 $n$이 커짐에 따라 점점 커진다. 실제 그래프를 그려보면, $n$이 $1$일 때는 그냥 사인 곡선인데, $n$이 커짐에 따라 점점 펄스파에 가까운 모습으로 변한다. $n=999$ 정도 되면 거의 완벽한 펄스파가 된다. n을 크게 했다는 것은, n개만큼의 서로 다른 주파수 파형을 합쳤다는 것이다. 더 정확한 표현은, 기본 주파수의 정수배가 되는 파형들을, 주파수가 커짐에 따라 진폭은 작게 해서 합쳤다는 것이고, 이렇게 더 많은 주파수들을 합칠수록 펄스파에 가깝게 되는 것이다. -끝- 반응형
[Linear Algebra] Lecture 27-(1) 연속 시간 푸리에 변환 (Continuous-Time Fourier Transform)
지난 시간까진 임의의 주기함수를 sin과 cos함수와 같은 기저함수(basis function)의 선형조합(Linear combination)으로 표현하는 방법인 푸리에 급수(Fourier Series)를 배웠다. 또한 여기에 허수(imaginary number)를 도입하여 지수함수로 간단히 표현하는 방법인 복소푸리에급수(Complex Fourier Series)에 대해서도 공부하였다. 이제 이번 강의부터는 복소푸리에급수로부터 출발하여 시간 영역에서 수집된 신호를 주파수 영역으로 변환시키는 푸리에 변환(Fourier Transform)에 대해 공부하도록 하겠다.
1. 푸리에 급수(Fourier Series)에서 푸리에 변환(Fourier Transform)으로
– Basic idea of Fourier Transform
지난 강의에서 배웠던 푸리에 급수는 임의의 주기함수(periodic signal)를 다루는 방법이다. 하지만 살다보면 주기함수보다 비주기함수(aperiodic signal)를 접할 경우가 훨씬 많다. 우리가 일상생활에서 대화할 때 내는 목소리, 콘서트장에서 듣는 가수의 음성, 자동차 경적 소리, 심지어 우리가 보는 창밖 풍경도 카메라로 찍어 2차원의 이미지로 변환했을 때의 신호는 비주기 신호이다. 이처럼 우리는 주기함수보다 비주기함수를 다루고 해석해야 할 일이 훨씬 많다. 그러나 푸리에 급수는 주기신호에만 작동하기 때문에 비주기 신호를 다룰 수 없다. 그렇다면 어떻게 비주기 신호를 다룰 수 있을까? 이러한 비주기 신호를 주기신호로 만들어주면 가능하다. 아래의 그림을 살펴보자.
Fig. 1 비주기 신호[Up]를 주기 신호[Down]로 만드는 과정
Fig. 1의 첫 번째 그림은 -T1에서 T1의 시간 동안 측정된 어떤 비주기 신호 f(t)를 나타낸다. 가로축은 시간 t를 나타내고 세로축은 신호의 강도를 의미한다. 이 f(t)는 어떤 반복되는 패턴이 없이 불규칙한 파형을 보이는 비주기 신호이다. 이미 배웠듯이 이러한 상태로는 푸리에 급수를 이용하여 신호를 나타낼 수 없다. 따라서 이 비주기 신호를 주기신호로 만들어야 한다. 어떻게 만들 수 있을까?
주기신호로 만들기 위한 핵심 아이디어는 바로 -T1~T1 사이의 신호를 하나의 주기 동안 반복되는 패턴이라고 생각하는 것이다. 즉 현재의 비주기 함수 f(t)를 기준으로 주기 T만큼 떨어진 곳에 똑같은 패턴의 신호를 놓는 것이다. 그렇게되면 원래의 비주기 함수 f(t)가 T주기로 계속 반복되는 패턴이 형성되어 결과적으로 주기신호가 만들어지는 것이다. 이렇게 만든 주기함수가 바로 Fig. 1의 아래쪽의 그래프이다.
Fig. 1의 아래쪽에 보이는 비주기 신호 f(t)로부터 만들어진 주기 신호는 f(t)에 물결표시를 붙여서 $\tilde{f}(t)$ (f tilde로 발음)로 표기한다. 양의 방향과 음의 방향으로 각각 T의 주기마다 원래의 비주기 신호가 반복되는 모습이다.
여기서 우리는 한 가지 매우 중요한 사실을 알 수 있는데, Fig. 1에서 한 주기 T의 구간만 놓고 봤을 때, 즉 -T/2~T/2 혹은 0~T에서는 주기신호와 비주기신호가 같다는 것이다. 별것 아닌 것으로 보이겠지만, 이는 매우 중요한 포인트이며 푸리에 급수에서 푸리에 변환으로 넘어가는 아주 핵심 개념이 된다. 이것이 첫 번째 핵심 아이디어이고, 두 번째 핵심 아이디어는 주기를 늘리는 것으로부터 시작한다. Fig. 1의 아래 그림에서 period T라고 표시된 주기를 점점 늘려나가는 상상을 해보자. 즉 가운데 있는 비주기신호와 그 다음 나타나는 비주기신호 사이의 거리가 점점 늘어나서 무한대로 멀어진다고 생각해보자. 이때의 그림은 바로 Fig. 1의 위에 나타난 비주기신호의 그림과 동일해질 것이다. 이와 같이 두 번째 핵심아이디어는 비주기신호로부터 만들어진 주기신호는 주기가 무한대로 증가할수록 원래의 비주기신호와 점점 같아진다는 것이다. 이 두 가지 핵심 아이디어를 식으로 표현하면 아래와 같다.
식 (1.1)은 첫 번째 핵심아이디어를 나타낸다. 즉 t의 크기가 T/2보다 작다는 것은 t가 한 주기 T내에 존재할 때를 의미하며, 이때 주기신호와 비주기신호는 같으며, Fig. 1의 아래의 주기신호에서 가운데 -T/2~T/2사이의 신호만을 의미한다. 식 (1.2)는 두 번째 핵심 아이디어를 의미하며, 주기신호 f(t)의 주기 T가 무한대로 갈수록 주기신호는 비주기신호와 점점 같아진다는 것이다. T가 무한대로 간다는 것은 Fig. 1의 아래의 주기신호에서 가운데 신호와 양 옆의 신호들과의 간격이 점점 넓어지는 것을 의미한다. 이 두 가지 핵심 아이디어를 푸리에 급수에 적용하면 우리는 비주기신호를 다룰 수 있는 푸리에 변환(Fourier Transform)을 정의할 수 있다. 이제 푸리에 급수에 이 아이디어를 적용해보자.
2. 분석방정식(Analysis equation)과 합성방정식(Synthesis equation)
– Analysis equation for Aperiodic signal
지금부터 공부할 내용은 앞서 배웠던 두 가지 아이디어를 푸리에 급수에 적용하여 분석방정식(Analysis equation)을 도출할 것이다. 분석방정식이라고 거창하게 이야기 했지만 사실 푸리에 급수의 계수를 구하는 식을 분석방정식이라 표현하는 것이므로 너무 어렵게 생각하지 말자. 우선 지난 시간에 배웠던 복소푸리에급수의 식을 다시 써보자.
식 (2)는 지난 시간에 배웠던 복소푸리에급수의 일반식을 그대로 쓴 것이다. 지난 시간에는 주로 T=2PI인 경우를 가정하여 푸리에급수를 다루어 왔으나, 임의의 주기 T에 대한 일반화된 식은 (2)와 같이 쓸 수 있다. 여기서 시간에 관한 변수를 x로 작성했었는데, 보다 직관적인 표기를 위해 시간에 대한 변수를 x대신 t로 바꾸어서 쓰도록 하겠다. 또한 주기 신호와 비주기 신호를 구분해야 하기 때문에 f(t)대신 물결표시를 붙여 f tilde로 표기하도록 한다. 이렇게 바꾸어 작성하면 (3)과 같이 쓸 수 있다.
식 (3.1)은 주기함수를 다룰 수 있는 푸리에급수에 관한 식을, (3.2)는 각 주파수 성분이 전체 신호에서 어느 정도의 기여를 하는지를 나타내는 가중치(weight), 혹은 계수(coefficient)를 구하는 식이다. 이때 (3.1)을 종합방정식(synthesis equation), 혹은 합성방정식이라 하고, (3.2)는 분석방정식(analysis equation)이라고 한다. (3.2)의 푸리에 급수 계수를 구하는 분석방정식들을 종합하여 합성방정식을 정의하고 이를 통해 어떤 주기신호에 대한 푸리에 급수를 정의할 수 있는 것이다.
지금부터가 중요하니 집중해서 보도록 하자. (3.2)를 보면 적분이 분명 한 주기에 대한 구간, 즉 -T/2~T/2사이에서 일어나고 있다. 다시 말하면 어떤 주기신호에서 한 주기 T의 구간에서 진행되는 적분이다. 그런데 우리는 두 번째 아이디어에서 주기 신호의 주기를 무한대로 보내면 비주기 신호와 점점 같아진다고 하였고, 주기 신호와 비주기 신호는 적어도 한 구간 T에서는 같다고 정의하였다. 이는 다시 말하면 식 (3.2)의 주기 신호(periodic signal)의 한 구간에 대한 적분에서 주기 T를 무한대로 보낸 것은 비주기 신호(aperiodic signal)를 한 주기 T에 대해서 적분한 것과 같음을 의미하는 것인데, 이때 T를 무한대로 보냈으므로 비주기 신호를 무한대의 영역에 걸쳐 적분한 것과 같다. 확인을 위해 먼저 식 (3.2)의 적분식에서 주기 T를 무한대로 보내보자.
(※ 참고로 식에 존재하는 T를 전부 한번에 무한대로 보내지는 않을 것이다. 이후에 합성방정식을 정리할 때 작용해야 할 부분들이 있기 때문에 T를 단계적으로 무한대로 보낼 것이다)
식 (3.2)는 주기 신호의 푸리에 급수의 계수를 구하는 식이다. 여기서 주기 T를 무한대로 보내면 각각 -T/2는 음의 무한대, T/2는 양의 무한대가 된다. 앞서 우리는 한 주기내에서는 주기와 비주기 신호가 같다고 정의했으므로 f tilde를 비주기 신호를 나타내는 문자 f(t)로 바꿔쓸 수 있다. 이렇게 하여 (3.3)과 같이 정리할 수 있는데, 여기서 1/T은 주파수 $f$와 같고, $2\pi/T$를 각주파수(Angular frequency)를 나타내는 기호인 오메가($\omega_0$)로 표기할 수 있다. 이렇게 하여 주기 신호(Periodic signal)의 푸리에 급수에 대한 계수 식 (3.2)를 (3.4)와 같이 비주기 신호(Aperiodic signal)에 대한 푸리에 급수 계수의 식으로 나타낼 수 있다.
다시 말하면 식 (3.2)를 Fig. 1의 아래쪽 주기 신호에 대한 한 구간(-T/2~T/2)에서의 식으로, (3.4)를 Fig. 1의 위쪽의 비주기 신호에 대한 식을 나타낸 것으로 이해하면 된다. 이 둘은 식의 형태는 약간 다르지만 동일한 신호를 나타내는 것이다. f와 f tilde를 유의해서 보자.
(※ 앞서 언급했지만 한 번더 강조하자면 여기서 적분기호 인테그랄 앞의 1/T과 복소지수함수에 존재하는 T는 아직 그대로 있는 것을 볼 수 있는데, 이들은 전체식을 유도할 때 다루기 위해 일단 그대로 두도록 하자. 전체 식과 같이 볼 때 어떤 작용을 하기 때문이다)
이제 우리는 식 (3.4)를 통해 비주기 신호에 대한 푸리에 급수의 계수들을 구할 수 있게 되었다. 식 (3.4)는 매우 중요한 역할을 하는 식이며, 이 식으로부터 우리는 푸리에 변환(Fourier Transform)을 정의할 수 있다. 아래의 식을 보자.
식 (3.4)는 앞서 말했듯이 비주기 신호 f(t)에 대한 푸리에 급수 계수를 구하는 식이다. 이제 식의 양변에 주기 T를 곱해주면 식 (4.1)과 같이 정리할 수 있는데, 아직까지는 지수함수의 지수부에 대한 입력 파라미터로 임의의 정수 n과 고정된 각주파수(angular frequency) $\omega_0$를 받는 것으로 정의되어 있다. 이 n과 $\omega_0$의 곱을 연속변수(continuous variable) 오메가($\omega$)로 정의하여 다시 식을 정리하면 (4.2)와 같이 정리할 수 있는데, 여기서 연속변수로 정의한다는 것은 각주파수 $\omega_0$가 0으로 가는 것을 의미한다. $\omega_0=2\pi/T$임을 생각해본다면 T를 무한대로 보냄에따라 $\omega_0$가 0으로 가고, 그에 따라 오메가가 연속 변수가 됨을 유추할 수 있다. 여기서 cn앞에 곱해져 있는 주기 T는 아직 무한대로 보내지 않은 상태이다. 여기까지 정리한 식 (4.2)가 바로 푸리에 변환(Fourier Transform)이다.
식 (4.2)는 비주기 신호 f(t)를 무한대의 영역에서 적분하여 $F(\omega)$로 변환시키는데, 사실 식 (4.3)과 같이 $F(\omega)$를 주기 T로 나누어주면 푸리에 급수 계수 cn을 구할 수 있게 된다. 이는 매우 중요한 사실을 의미하는데, 원래의 푸리에 급수는 주기 신호만 다룰 수 있고, 주기 신호의 푸리에 급수 계수 cn만을 구할 수 있는데, 식 (4.2)를 통해서 비주기 신호에 대한 푸리에 급수 계수 cn을 구할 수 있게 된 것이다. 이것이 푸리에 변환이 하는 핵심 역할중 하나이다. 결국 는 비주기 신호 f(t)의 푸리에 급수 계수들에 대한 포락선 함수(envelope function)라 할 수 있다.
여기서 다시 한 번 생각해보자. 푸리에 급수의 계수 cn을 구한다는 것은 어떤 의미인가? 계수 cn은 어떤 신호를 푸리에 급수로 표현했을 때, 특정 주파수가 그 신호를 만들어내는데에 있어 얼마만큼 기여하는지를 나타내는 수치이다. 어떤 신호에 대한 푸리에 계수 cn을 모두 구해서 주파수를 x축으로 하여 이 계수들을 전부 나열했다고 생각해보자. 이때의 그래프는 해당 신호의 주파수에 대한 분포를 나타내는 것이다. 결국 푸리에 계수 cn을 구한다는 것은 어떤 신호의 주파수 성분의 분포를 구하여 주파수의 분석이 가능하도록 만들어주는 수학적 도구라고 할 수 있다.
이처럼 식 (4.2)의 비주기 신호에 대한 푸리에 변환을 할 때 구하고자 하는 주파수 성분의 계수를 구하기 위해선 입력값으로 $n\omega_0$를 넣어주면 계수 cn을 구할 수 있게 되는 것이다. (4.3)과 같이 은 주기 T가 곱해진 값이 구해지고, 실제 계수 cn을 구하기 위해선 T로 나누어주면 된다. 이러한 cn을 연속적으로(continuously)구해서 연결해주면 f(t)의 계수값들에 대한 포락선(envelope)이 구해진다. 포락선이란 쉽게 말해 임의의 신호의 최대값들을 연결하여 구성한 신호로 어떤 신호의 전체 외곽선(outline)을 나타낸 것으로 생각하면 된다(wiki 참조).
이렇게하여 비주기 신호의 푸리에 급수의 계수를 정의할 수 있는 푸리에 변환을 정의하였다. 푸리에 변환은 다른 말로 분석방정식(Analysis equation)이라 하는데, 그 이유는 뒤이어 공부할 합성방정식의 내용에서 함께 설명하도록 하겠다. 비주기 신호의 푸리에 변환 (4)는 비주기 신호의 합성방정식을 정의하는데에 있어 매우 중요한 역할을 한다. 이제 이를 기반으로 비주기 신호의 합성방정식을 정의해보자.
– Synthesis equation for Aperiodic signal
비주기 신호를 다룰 수 있는 푸리에 급수(합성방정식)를 정의하는 전략은 크게 두 단계로 나뉘는데, 먼저 비주기 신호의 양옆에 같은 패턴의 신호를 주기적으로 붙여서 주기 신호로 만들고, 그 다음 이렇게 만들어진 주기 신호의 주기를 무한대로 보내어 비주기 신호를 주기 신호와 같이 정의할 수 있도록 만드는 것이다. 즉 주기 신호에 대한 푸리에 급수식으로부터 비주기 신호의 푸리에 급수 식을 정의하는 것이다. 아래의 식을 보자.
식 (5.1)은 주기 함수에 대한 푸리에 급수식이다. 여기서 $\omega_0=2\pi/T$와 식 (4)에서 정의했던 cn에 대한 식을 기존의 식에 각각 대체해주면 (5.2)와 같이 정리할 수 있다. 이때 cn에 대한 식은 오메가($\omega$) 를 아직 연속변수로 설정하지 않은 상태, 즉 식 (4.1)의 상태이다. 다음으로 주기 T를 $T=2\pi/\omega_0$와 같이 대체하여 (5.3)과 같이 정리하자. 이제 마지막으로 주기 T를 무한대로 보내자. 주기가 무한대로 감에 따라$\omega_0$가 0으로 수렴하고 결국 delta omega($d\omega$)가 된다. 이 delta omega에 의해 이산적인 합을 계산하는 시그마는 연속적인 합을 계산하는 적분(integral)으로 변화하게 되고, n과 곱해졌던 $\omega_0$들은 연속변수인 $\omega$로 쓸 수 있다. 이렇게 식을 정리하면 최종적으로 식 (5.4)와 같이 쓸 수 있다.
식 (5.4)는 최초의 주기신호의 푸리에 급수 (5.1)에 푸리에 변환(Fourier Transform)식 (4.2)를 적용하여 유도한 것이다. 이렇게 유도된 식 (5.4)가 바로 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)이다. 푸리에 변환과 역푸리에 변환을 다시 한 번에 정리해보자.
식 (6.1)를 보면 비주기 신호의 함수 f(t)가 시간의 영역($dt$)에서 무한대에 걸쳐 적분이 이루어지고 있다. 그리고 그 결과는 입력 주파수 $\omega$에 대한 출력값 이다. 즉 를 그래프 상으로 보자면 수평(horizontal)축은 주파수$\omega$이고 수직(vertical)축은 해당 주파수가 얼마만큼의 강도를 갖는지에 대한 값 이다. 결과적으로 (6.1)의 푸리에 변환을 통해 시간 영역(time domain)에서 정의된 비주기 함수 f(t)를 주파수 영역(frequency domain)으로 변환시키는 꼴이 된다. 이렇게 변환을 시키게 되면 f(t)에 주파수들이 어떻게 분포해 있는지를 파악할 수 있다. 이와 같이 시간 영역에서의 신호를 주파수 영역에서 분석(Analysis)할 수 있도록 만들어 주는 것이 푸리에 변환(Fourier Transform)이고 이를 분석방정식(Analysis equation)이라 한다. 또한 식에 존재하는 허수로부터 푸리에 변환 결과가 식 (6.2)와 같이 복소수 형태로 나온다는 것을 유추할 수 있다. 혹은 (6.3)과 같이 푸리에 변환의 크기(magnitude)와 각도(angle)로 표현할 수 있다. 식 (6.3)의 크기와 각도는 각각 푸리에 스펙트럼(Fourier Spectrum)과 위상(phase)이라고 할 수 있는데, 경우에 따라서는 스펙트럼 못지않게 위상에도 중요한 정보가 담겨있는 경우가 많다.
푸리에 변환식과는 반대로 식 (7.1)는 비주기 신호에 대한 주파수 영역의 함수 가 주파수 영역($d\omega$)에서 무한대에 걸쳐 적분이 이루어지고 있다. 그리고 그 결과는 원래의 시간 영역에서의 비주기 함수 f(t)이다. 이는 결과적으로 어떠한 비주기 신호의 주파수 영역에서의 값들을 적분하여 원래의 신호를 복원하는 것이다. 이것이 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)이고 주파수 영역의 값들을 합성(synthesis)하여 시간 영역에서의 신호를 만들어주는 합성방정식(Synthesis equation)이다.
이와 같이 푸리에 변환 및 역변환은 시간 영역에서 수집된 신호를 주파수 영역에서 분석할 수 있게 해주고, 주파수 영역의 값들을 이용해 다시 시간 영역의 신호로 합성할 수 있는 방법론을 제공해준다. 따라서 푸리에 변환이 분석방정식, 푸리에 역변환이 합성방정식으로 각각 불리는 것이다. 이러한 관계를 표현한 것이 식 (7.2)이다. 푸리에 변환/역변환을 이용하면 특정 주파수대의 신호를 제거하거나 더해주는 등 다양한 조작이 가능하며 실제로는 잡음(noise) 제거, 혹은 음성 변조 등의 응용이 가능하다.
3. 연속시간 푸리에 변환의 예
– Continuous-Time Fourier Transform of Square wave
연속시간 푸리에 변환(Continuous Fourier Transform)의 이해를 돕기 위해 예를 들어보자. 마찬가지로 사각파(square wave)를 이용하도록 하겠다. 아래 그림은 임의의 비주기 사각파를 나타낸다.
Fig. 2 비주기 사각파(Aperiodic square wave)를 주기 사각파로 만드는 과정
Fig. 2의 왼쪽 그림은 비주기 사각파를, 오른쪽은 양쪽에 일정 주기 T만큼 띄워서 동일한 패턴의 사각파를 놓아 주기 사각파(periodic square wave)로 만든 모습이다. 주기 신호로 만들었기 때문에 푸리에 급수로 위의 신호를 나타낼 수 있다. 이제 푸리에 급수를 적용하여 -T/2~T/2 구간에서 적분을 해보자.
식 (8)은 Fig. 2의 주기 사각파의 푸리에 계수를 구하기 위한 분석방정식(Analysis equation)이다. -T/2~T/2 구간을 살펴보면 총 세 곳으로 나누어서 적분을 수행할 수 있다. 이렇게 나눈 구간으로 만든 적분식이 (8.1)인데, 이중 -T0~T0를 제외한 나머지 구간은 f(t) 값이 0이기 때문에 식을 생략할 수 있다. 생략한 나머지 구간에 대한 식은 (8.2)와 같이 정리할 수 있고, 적분을 수행하면 (8.3)과 같이 되는데, 지수함수(exponential)식에 오일러 공식을 적용하여 정리하면 (8.4)와 같이 정리할 수 있다. cos항은 상쇄되어 없어지고 sin항만 남게 되는데, 이 부분이 (8.5)이다. 이제 소거되는 항들을 없애주어 정리하면 사각파의 푸리에 급수 계수를 구하는 식은 최종적으로 (8.6)과 같이 정리할 수 있다.
식 (8)에서 사각파에 대한 분석방정식을 도출하였으므로 이 식을 합성방정식(synthesis equation)에 대입하여 푸리에 급수로 표현하여 Fig. 2와 같이 사각파를 생성할 수 있다. 이제 이와 같이 생성한 사각파를 푸리에 변환(Fourier Transform)을 통해 주파수 영역으로 바꿔보자. 함수 f(t)를 만들었기 때문에 푸리에 변환식 (4.2)를 구현해주면 푸리에 변환을 할 수 있다. 아래 그림은 위의 사각파에 대한 푸리에 변환 결과이다.
Fig. 3 사각파의 주기에 따른 푸리에 변환 결과
Fig. 3은 사각파 푸리에 변환 결과를 나타낸다. 그러면서 동시에 사각파의 주기를 점점 늘리면서 푸리에 변환의 결과가 어떻게 변하는지를 나타내고 있다. Fig. 3의 첫 번째 줄의 왼쪽 그림은 사각파의 주기가 T0의 4배일 때의 파형을 나타내고, 오른쪽은 푸리에 변환 결과 그래프를 나타낸다. 푸리에 변환 그래프를 보면 우선 0에 가까운 저주파 구역의 푸리에 계수들이 높은 값을 가지고 있고, 고주파로 갈 수록 상대적으로 낮은 값을 가지고 있는 것으로 보인다. 이것이 의미하는 것은 왼쪽의 사각파형을 만들기 위해서는 낮은 주파수의 성분이 상대적으로 더 높은 기여를 하고 있음을 의미한다.
푸리에 변환 그래프에서 빨간색 그래프를 볼 수 있는데, 이는 각 푸리에 계수들의 극대값들을 이어 그린 포락선(envelope)이다. 이 포락선은 어떤 신호의 전반적인 패턴을 파악할 수 있는 신호로써 실제 신호처리에서도 신호분석을 위한 중요한 요소로써 사용되기도 한다.
다음 두 번째 줄의 그래프는 T0의 8배에 해당하는 주기를 가졌다. 첫 번째 사각파보다 주기가 2배 길어진 셈인데, 그에 따른 오른쪽의 푸리에 변환 그래프를 보면 앞의 그래프에 비해 보다 촘촘한 형태를 띄는 것을 볼 수 있다. 왜 이런 현상이 발생하는 것일까? 이는 주기를 늘림에 따라 주파수가 줄어들기 때문이다. 사각파의 푸리에 계수를 구하는 식 (8.6)을 다시 써보자.
1/T가 주파수 f와 같기 때문에 식 (8.6)의 주기 부분을 다시 정리해보면 (8.7)과 같이 정리할 수 있다. 주파수와 주기의 관계에 따라 주기가 증가할수록 주파수는 감소하기 때문에 똑같은 n=1일 때의 계수도 주기가 늘어날 수록 더 작은 주파수를 표현하는 셈이 되기 때문이다. 또한 푸리에 변환 그래프에서 값의 크기가 원래 사각파의 주기가 늘어남에 따라 줄어드는 모습을 볼 수 있는데, 이는 주파수를 보다 세밀한 영역에 걸쳐 표현했기 때문에 해당 주파수의 실제값에 근접하게 되는 것이다.
Fig. 3의 마지막 줄의 그래프를 보면 사각파는 T0의 32배에 해당하는 주기를 가진 것이고, 이때의 푸리에 변환의 그래프는 보다 부드러운 형태가 된 것을 볼 수 있다. 이런식으로 주기 무한대까지 증가한다면 결과적으로 푸리에 변환의 포락선은 연속적(continuous)인 그래프의 형태에 가까워질 것이다. 이것이 연속시간 푸리에 변환(Continuous-Time Fourier Transform)이다.
정리하자면 최초의 비주기 사각파에서 동일한 패턴의 신호들을 양쪽에 더해 주기 신호를 만들고, 여기에 푸리에 급수를 적용한다음, 다시 주기를 무한대로 보내서 푸리에 변환을 수행한 것이다. 식 (4.2)의 푸리에 변환식을 보면 비주기 함수 f(t)를 적분하여 푸리에 변환을 수행하는데, 이는 기존의 주기 신호의 주기를 무한대로 보내어 원래의 비주기 신호와 동일하게 만든것이다. 이러한 수학적 트릭을 통해 우리는 애초에 다룰 수 없었던 비주기 신호를 푸리에 급수로 다루는 것은 물론 푸리에 변환을 통해 주파수 영역에서 해석할 수 있는 기틀을 마련한 것이다.
아래는 본문에서 다루었던 연속 시간 푸리에 변환을 구현한 MATLAB 코드이다. 코드의 마지막 부분에 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)에 대한 코드도 작성하였으니 관심있다면 돌려보기 바란다. (※ 참고로 아래의 코드는 연속시간 푸리에 변환의 개념을 설명하기 위한 코드이므로 최적화된 코딩은 아니며, 수식을 최대한 직관적으로 구현하려고 노력하였다)
4. 마치며(continue)
이번 강의에선 연속시간 푸리에 변환에 대해 공부하였다. 푸리에 변환의 주요 목적은 주파수 영역에서 신호를 해석하는 것, 그리고 비주기 함수를 다루는 것이다. 실생활에서 대부분이 비주기 신호이고, 이러한 비주기 신호는 푸리에 급수로는 다룰 수 없었다. 그러나 이를 주기 함수로 만들고, 다시 주기를 무한대로 보내는 등의 트릭을 이용하여 우리는 비주기 함수를 푸리에 변환시킬 수 있었다.
그러나 아직 주기함수를 푸리에 변환시키는 것에 대해서는 이야기하지 않았다. 다음 강의에서는 주기함수의 푸리에 변환에 대해 배우고 이산 푸리에 변환으로 넘어가도록 하자.
[선형변환] 푸리에 변환 Fourier Translation
본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 선형변환 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학 (신윤기 저, 도서출판 인터비젼)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.
푸리에 변환의 정의
푸리에 급수가 주기함수를 대상으로 하고 있다면 푸리에 변환은 비주기함수에도 그 영역을 확장시킨 것입니다.
위에 푸리에변환과 역변환 식입니다. 이는
지수푸리에 급수식에서 그 계수를 구하는 위 식의 주기 T를 무한대로 극한을 보내면 됩니다.
그러면
찾을 수 있지요.
푸리에 변환의 몇몇 공식
푸리에 변환은 쌍대성을 가집니다. 이는
와 같이 같은 함수에 대한 변환과 역변환이 같은 모양을 가진다는 것인데요.
변환의 정의식에 t대신 -omega를 대입하여 찾을 수 있습니다. 몇몇 함수를 정의해보면
위에서 부터 구형파와 삼각파, 싱크(sinc)함수를 정의합니다. 이제
충격함수를 푸리에 변환하면 1이라는 것과 그 쌍대성을 이용하여 1을 푸리에 변환하면 2pi가 곱해진 주파수영역에서의 충격함수가 나타남을 알 수 있습니다. 충격함수에는 0에서 무한대까지의 모든 주파수 성분이 포함되어있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 시스템에 어떤 충격함수를 입력으로 가하면, 모든 주파수 성분에 대한 출력을 조사할 수 있음을 의미합니다. 이래서 충격함수에 의한 시스템의 응답, 즉, 충격응답(Impulse Response)가 아주 중요하다는 사실을 알 수 있습니다. 이렇게 해서 몇몇 중요한 함수의 푸리에 변환을 보면
입니다.
푸리에 변환의 중요한 성질
푸리에 변환은 선형성을
만족 합니다. 또한
이동정리를 만족합니다. 이는 지수승의 곱의 형태는 푸리에 변환을 하면 주파수영역의 이동을 의미합니다. 또 상대성을 이용하면 시간영역의 이동은 수파수 영역의 지수승의 곱을 의미하지요.
실수배의 관계를 가지기도 하며
위에서는 미분과 적분사이의 관계를 보여줍니다.
마지막으로 푸리에변환에서의 컨볼루션의 의미도 찾아볼 수 있습니다.
Fourier Tramsform.pdf
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다크 프로그래머 :: Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용
푸리에 변환(Fourier transform)에 대해서는 예전부터 한번 정리를 해야겠다고 생각만 했었는데 이번에 기회가 되어 글을 올립니다.
푸리에 변환(Fourier transform)은 신호처리, 음성, 통신 분야에서 뿐만 아니라 영상처리에서도 매우 중요한 개념으로 다양한 응용을 가지고 있습니다. 영상을 주파수 성분으로 변환하여 다양한 분석 및 처리를 할 수 있고 임의의 필터링 연산을 fft(fast Fourier transform)를 이용하여 고속으로 구현할 수도 있습니다. 그리고 푸리에 변환과 같은 근원적인 이론들은 특정 응용에 국한되지 않기 때문에 한번 알아두면 분야를 떠나서 두고두고 도움이 됩니다.
이 글에서는 푸리에 변환(Fourier transform)이 무엇이고 어디에 쓸 수 있는지, 그리고 어떻게 쓸 수 있는지 직관적 이해와 유용한 성질들, 영상처리 응용, 그리고 푸리에 변환(Fourier transform)을 실제 활용하는데 있어서 필요한 사항들을 최대한 직관적으로 정리하고자 합니다.
그동안 푸리에 변환(Fourier transform)에 대해 개인적으로 가지고 있었던 의문은 푸리에 변환을 통해 얻어지는 스펙트럼과 페이즈(phase) 중 페이즈(phase)가 무엇인가? 그리고 푸리에 주파수 공간의 좌표값을 어떻게 해석할까입니다. 아마도 비슷한 의문을 가진 분들도 꽤 있을 것으로 생각됩니다. 이 글을 통해서 그러한 의문에 대한 답도 같이 다루게 됩니다.
1. 푸리에 변환(Fourier transform) – 직관적 이해
모든 공부의 시작은 핵심 개념을 정확히 이해하는데 있다. 그리고 그 이해는 가급적 직관적일수록 좋다.
푸리에 변환(Fourier transform)을 직관적으로 설명하면 푸리에 변환은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 주기함수들의 합으로 분해하여 표현하는 것이다.
좀더 들어가면, 푸리에 변환에서 사용하는 주기함수는 sin, cos 삼각함수이며 푸리에 변환은 고주파부터 저주파까지 다양한 주파수 대역의 sin, cos 함수들로 원본 신호를 분해하는 것이다.
아래 그림(그림 1)의 예를 보자. 맨 앞의 붉은 색 신호는 입력 신호이고 뒤의 파란색 신호들은 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 얻어진 (원본 신호를 구성하는) 주기함수 성분들이다. 각각의 주기함수 성분들은 고유의 주파수(frequency)와 강도(amplitude)를 가지고 있으며 이들을 모두 합치면 원본 붉은색 신호가 된다.
그림 1. 푸리에 변환 (그림출처: 위키피디아)
여기서 입력 신호는 전파, 음성 신호 등과 같이 시간축(time)에 대해 정의된 신호일 수도 있고 이미지(image) 등과 같이 공간축에 대해 정의된 신호일 수도 있다. 통신 분야에서는 푸리에 변환(Fourier transform)을 time domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 하고, 컴퓨터 비전(computer vision), 영상처리 쪽에서는 spatial domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 부른다. 명칭이야 어쨌든 그 핵심은 입력 신호를 sin, cos의 주기성분으로 분해하는 것이다.
푸리에 변환(Fourier transform)의 대단한 점은 입력 신호가 어떤 신호이든지 관계없이 임의의 입력 신호를 sin, cos 주기함수들의 합으로 항상 분해할 수 있다는 것이다. 그리고 그 과정을 수식으로 표현한 것이 푸리에 변환식이다.
2. 푸리에 변환(Fourier transform) – 수식적 이해
어떤 개념을 직관적으로 이해했다면 그 개념에 대한 수식적 이해는 그 개념을 한층 풍성하고 깊이있게 이해하게 해 준다.
푸리에 변환(Fourier transform)은 프랑스의 수학자 Joseph Fourier (1768 ~ 1830)가 제안한 방법으로서 수학사(해석학)의 역사가 새로 씌여질 정도로 대단한 발견이었다고 한다. 그 유명한 푸리에 변환의 수식은 다음과 같다.
, — (1)
. — (2)
여기서 j는 허수단위 , f(x)는 원본 입력 신호, ej2πux는 주파수 u인 주기함수 성분, F(u)는 해당 주기함수 성분의 계수(coefficient)를 나타낸다.
일단 식을 있는 그대로 해석하면 식 (1)은 입력신호 f(x)가 ej2πux들의 합으로 표현(분해)된다는 의미이다 (적분은 합한다는 의미를 갖는다). 그리고 식 (2)는 f(x)를 주기함수 성분으로 분해했을 때의 계수(coefficient) F(u)가 식 (2)로 주어진다는 의미이다. 앞서 그림 1과 연관해 보면 ej2πux는 f(x)를 구성하는 (파란색의 주파수 u인) 주기함수 성분들이고 F(u)는 해당 주기함수 성분의 강도(amplitude)를 나타낸다.
☞ 푸리에 변환에 대한 일반적인 설명 방식은 두번째 식 (2)를 푸리에 변환이라고 정의하고 첫번째 식 (1)을 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)이라고 정의하는 것이다. 그리고 푸리에 역변환을 하면 다시 원래의 함수로 돌아온다고 한다. 하지만 이러한 기계적인 이해(푸리에 변환을 어디 하늘에서 뚝 떨어진 정의로만 받아들이는 것)는 푸리에 변환의 본질을 이해하는데 별 도움이 되지 않는다.
이제 식으로 좀더 들어가 보자. 일단, 식 자체는 푸리에 변환의 대단함에 비추어 매우 단순하다 (Simple is the best!!). 다만 한 가지 ej2πux의 의미만 이해하면 된다. 그리고 이를 위해서는 오일러 공식(Euler’s formula)이 필요하다.
오일러 공식(Euler’s formula)은 복소지수함수를 삼각함수로 변환할 수 있도록 하는 유명한 식이다.
— (3)
식 (3)은 증명 가능한 식이며 그 증명은 인터넷에서 어렵지 않게 찾을 수 있다. 어쨌든 오일러 공식을 이용하면 식 (1)의 ej2πux는 실수부가 cos(2πux), 허수부가 sin(2πux)인 주기함수임을 알 수 있다.
— (4)
여기서 cos(2πux), sin(2πux) 모두 주기(period)가 1/u, 주파수(frequency) u인 주기함수이므로 결국 ej2πux는 주파수 u인 정현파(sinusoidal wave)의 복소지수함수 표현임을 알 수 있다.
주기: 파동이 한번 진동하는데 걸리는 시간, 또는 그 길이. sin(wx)의 주기는 2π/w 임.
주파수: 1초 동안의 진동 횟수. 주파수와 주기는 서로 역수 관계 (주파수 = 1/주기)
☞ 정현파(sinusoidal wave)는 파형이 sin 또는 cos 함수인 파동(wave)을 말한다. 그런데, 여기서 왜 갑자기 복소수가 나오고 또 주기함수를 저렇게 표현하느냐고 따질 수 있다. 하지만 여기서는 그냥 복수지수함수는 정현파(sinusoidal wave)를 표현하는 방법 중 하나라는 정도로만 알아두자. 정현파 및 복수지수함수 표현에 대한 보다 자세한 내용은 AngeloYeo님의 페이저(phasor)에 대한 설명글을 참고하기 바란다.
이제 다시 원래의 식 (1), (2)로 돌아가 보자. 식 (1)은 함수 f(x)를 모든 가능한 주파수(u)의 주기함수들(ej2πux)의 일차결합으로 표현한 것이다. 그리고 그 일차결합 계수 F(u)는 식 (2)로 항상 주어질 수 있다는 것이 요지이다. 이와 같이 푸리에 변환식을 볼 수 있다면 푸리에 변환의 핵심을 이해한 것이다.
☞ 식 (1), (2)의 푸리에 변환(Fourier transform)식은 언뜻 보면 정의(definition)로 보이지만 사실은 증명해야 할 정리(theorem)이다. 즉, 식 (2)의 F(u)를 식 (1)에 대입하면 항상 f(x)가 나옴을 증명해야 한다. 이것이 증명되면 모든 임의의 신호함수는 항상 주기함수들의 일차결합으로 분해될 수 있음이 증명되는 것이다 (증명은 이곳 참조).
마지막으로, (증명은 아니지만) 왜 일차결합의 계수 F(u)가 식 (2)로 주어지는지를 선형대수학과 연관지어 직관적으로 이해해 보자. 식 (1)에서 ej2πux, u = 0, ±1, ±2, …은 모든 신호를 생성할 수 있는 직교(orthogonal) 기저(basis) 함수들로 볼 수 있다 (편의상 u를 정수 범위로 표기했으나 u는 실수 전체 범위임). 그러면 입력 신호 f(x)를 이들 기저함수들로 분해했을 때의 계수 F(u)는 f(x)와 기저함수의 내적(dot product)으로 계산될 수 있다 (아래의 ☞선형대수학 관련 설명 참조). 식 (2)는 f(x)와 ej2πux의 함수 내적이기 때문에 그 결과는 f(x)를 ej2πux들로 분해했을 때의 계수가 된다. 따라서, F(u)가 식 (2)로 주어지는 이유가 설명이 되었다. 참고로, 식 (2)에서 j 앞에 -가 붙은 이유는 복소수에서의 내적은 어느 한쪽에 켤레(conjugate) 복소수를 취한 후 계산되기 때문이다.
☞ 선형대수학(linear algebra)에서는 어떤 벡터 공간을 생성할 수 있는 일차독립인 벡터들의 집합을 기저(basis)라고 한다. 만일 기저(basis) 벡터들이 v1, v2, …, vn라 하면 이 벡터공간에 속하는 임의의 벡터 v는 v = a1v1 + a2v2 + … + anvn (ai는 상수)와 같이 기저 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 있다 (왜냐하면 vi들이 이 벡터공간의 모든 벡터들을 생성할 수 있으니까). 그런데 만일 기저벡터들이 서로 수직(vi·vj = 0)인 단위벡터라면 일차결합 계수 ai는 내적을 이용하여 ai = v·vi로 손쉽게 계산할 수 있다 (∵ v·vi = (a1v1 + … + anvn)·vi = ai*(vi·vi) = ai). 어떤 벡터와 기저(basis) 벡터를 내적하면 이 벡터에 포함된 기저 성분의 계수가 얻어진다는 것은 선형대수학에서 매우 유용한 성질이다.
☞ F(u)가 식 (2)로 주어지는 이유에 대한 선형대수학적 설명은 개인적 이해 방식이라서 증명이 있거나 근거 문헌이 있는 내용은 아닙니다. 그냥 그런 식으로 이해할 수도 있구나 하고 참고만 하기 바랍니다. 정말 그런지 수학적으로 증명해 봐라 하면 골치아픕니다..
3. 이미지(영상신호)에서의 푸리에 변환(Fourier transform)
푸리에 변환(Fourier transform)을 영상처리에 적용하기 위해서는 이미지(영상신호)가 가지고 있는 몇 가지 차이점을 인지해야 한다. 먼저, 이미지는 2차원의(x축 방향의 변화와 y축 방향의 변화가 동시에 포함된) 신호이기 때문에 2차원에서 정의되는 푸리에 변환이 필요하다. 2차원 신호에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.
, — (5)
. — (6)
단, 여기서 F(u, v)는 x축 방향으로 주파수(frequency) u, y축 방향으로 v인 주기함수 성분의 계수이다. 그리고 그 값은 식 (6)에 의해 계산된다.
그런데 이미지는 연속(continuous)이 아닌 이산(discrete) 신호이다. 그리고 한정된 유한(finite) 구간에서 정의되는 신호이다. 따라서, 이산 데이터에서 정의되는 푸리에 변환이 필요하다. W x H 크기의 이미지 f(x, y)에 대한 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.
, —(7)
. —(8)
단, x = 0, 1, …, W-1, y = 0, 1, …, H-1이고 u = 0, 1, …, W-1, v = 0, 1, …, H-1.
식 (7)에서 ej2π(ux/W+vy/H)는 x축 방향으로 주파수가 u/W, y축 방향으로 주파수가 v/H인 sinusoidal 주기함수이다 (by 오일러 공식). 일반적인 푸리에 변환식과는 달리 W와 H로의 나누기가 들어있음에 유의해야 하며 이는 데이터가 정의된 구간을 하나의 단위 주기(unit period)로 만드는 효과가 있다. 일종의 정규화 팩터(normalization factor)라고 생각하면 된다.
여기서 2D 이미지를 어떻게 신호로 해석할 수 있는지, 그리고 2D 정현파(sinusoidal wave) ej2π(ux/W+vy/H)가 도대체 어떤 모습일지 아마도 의아해할 수 있다. 첫째, 이미지를 신호로 해석하는 문제는 x 또는 y축을 시간축으로 놓고 좌표의 변화에 따라 변하는 이미지 픽셀의 밝기 변화를 신호로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 다음으로, 2D에서 정의되는 정현파(sinusoidal wave)의 모습은 아래 그림과 같이 모든 방향으로의 단면이 sinusoidal이 되는 물결 형태의 파동을 생각하면 된다.
그림 2. 2D에서의 sinusoidal wave
앞서 그림 1의 1D 푸리에 변환의 경우와 유사하게 생각해 보면, 이미지에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)은 그림 2와 같은 형태의 다양한 2D 정현파들의 합으로 이미지를 분해하여 표현하는 것으로 이해할 수 있다.
이미지에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)에서 한 가지 주의해야 할 것은 푸리에 변환의 계수 F(u, v)가 ej2π(ux+vy)의 계수가 아니라 ej2π(ux/W+vy/H)의 계수라는 점이다. 즉, 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 주파수 u, v 성분이 아니라 주파수 u/W, v/H 성분에 대한 계수를 나타낸다.
W × H 이미지에 대한 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 – x축 주파수 u/W, y축 주파수 v/H인 주기함수 성분에 대응 – 주기로는 x축 방향 W/u 픽셀, y축 방향 H/v 픽셀인 주기성분을 나타냄 (주기 = 1/주파수)
☞ 바로 이 부분이 개인적으로 푸리에 변환에 대해서 혼동스러웠던 부분 중 하나이다. W x H 이미지의 푸리에 변환에서 F(u, v)는 주파수 u, v의 성분이 아니라 주파수 u/W, v/H 성분이다. 따라서, 주파수 공간에서 특정 F(u, v) 값이 높게 나타났다면 원래의 이미지 공간에서는 x축 방향으로 주기가 W/u 픽셀, y축 방향 주기가 H/v 픽셀인 주기성 성분이 존재한다는 의미가 된다.
참고로, 1차원에서의 함수 f(x), x = 0, 1, 2, …, W-1에 대한 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.
— (9)
— (10)
☞ 1차원 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)식은 실제 푸리에 변환을 컴퓨터로 구현하는데 있어서 가장 기본이 되는 식이다. 왜냐하면 파동과 같은 연속 신호라 할지라도 실제 분석에 있어서는 샘플링된 이산 데이터를 이용해야 하고 2차원 푸리에 변환에 대한 구현도 내부적으로는 1차원 푸리에 변환을 이용하여 구현되기 때문이다.
4. 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 페이즈(phase)
이제 실제로 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 얻어지는 F(u, v) 값들이 어떤 의미를 가지며 어떤 형태(visualization)를 갖는지 살펴보자.
푸리에 변환을 통해 얻어지는 F(u, v)는 복소수(complex number)이며 실수부(Real)와 허수부(Imaginary)로 구성된다 (1차원 푸리에 변환의 경우도 마찬가지이다).
— (11)
이 때, 복소수 F(u, v)의 크기 |F(u, v)|를 푸리에 변환의 spectrum(스펙트럼) 또는 magnitude라고 부르고, F(u, v)의 각도 Φ를 phase(페이즈) angle 또는 phase spectrum이라고 부른다.
— (12)
— (13)
A. 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)
먼저, 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)에 대해 살펴보자. 푸리에 스펙트럼은 해당 주파수 성분이 원 신호(이미지)에 얼마나 강하게 포함되어 있는지를 나타낸다. W x H 이미지를 푸리에 변환(Fourier transform)하면 식 (7), (8)에 의해 W x H의 F(u, v), u = 0, …, W-1, v = 0, …, H-1 가 얻어진다. 따라서, |F(u, v)|를 픽셀값으로 잡으면 아래 예와 같이 푸리에 스펙트럼을 원본 이미지와 동일한 크기의 이미지로 시각화할 수 있다.
그림 3. 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 좌표계
(a) 입력 이미지, (b) 푸리에 스펙트럼, (c) shifted 스펙트럼
푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)을 이미지로 시각화하는 데에는 2가지 문제점이 있다. 먼저, 푸리에 스펙트럼은 저주파 영역은 매우 큰 값을 갖는 반면에 대부분의 다른 영역은 0에 가까운 값을 갖는다. 따라서 푸리에 스펙트럼을 그대로 이미지로 시각화하면 검은 바탕 위에 흰점 하나만 존재하는 형태가 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 스펙트럼을 이미지로 표현할 때에는 그림 3(b)처럼 스펙트럼에 log를 취하는 것이 일반적이다. 다음으로, 원래의 스펙트럼 이미지는 그림 3(b)처럼 모서리로 갈수록 값이 높아지기 때문에 스펙트럼의 형태를 파악하기 힘들다. 따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 그림 3(c)처럼 원점이 중심(center)에 오도록 스펙트럼의 위치를 이동시킨(shift) 형태의 이미지를 사용하는 것이 일반적이다 (아래 ☞설명 참조). 앞으로 푸리에 스펙트럼 이미지라 하면 그림 3(c)와 같은 shifted 스펙트럼 이미지를 생각하면 된다.
☞ 그림 3(c)와 같은 shift가 가능한 이유는 푸리에 스펙트럼이 원점대칭인 주기함수이기 때문이다. 사실 식 (9), (10)로 주어지는 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)식은 f(x)가 주기함수일 때에만 성립하는 식이다. 원래의 입력신호 f(x)는 x = 0, 1, …, W-1의 유한 구간에서 정의된 함수이다. 우리가 관심있는 부분은 0 ~ W-1 구간에서의 특성이므로 그 외의 구간에 대해서는 함수를 어떻게 정의해도 무방하다. 따라서, 푸리에 변환 적용을 위해 이 함수를 확장하여 f(x + W) = f(x)인 주기함수(0 ~ W-1에서의 함수값이 다른 구간에서도 계속 반복)로 가정하고 식을 세운 것이 식 (9), (10)이다. 이 때, F(u) 또한 f(x)와 동일한 주기(W)의 주기함수가 된다. 즉. F(u) = F(u + W). 또한 식 (10)에서 |F(u)| = |F(-u)|임도 쉽게 알 수 있다. 즉, 이산 푸리에 스펙트럼은 원점대칭이면서 W를 주기로 하는 주기함수 형태임을 알 수 있다. 2차원의 경우도 마찬가지이며 F(u, v) = F(u + W, v) = F(u, v+ H) = F(u + W, v + h), |F(u, v)| = |F(-u, -v)|인 주기함수가 된다. 그리고 이러한 원점 대칭성과 주기성으로 인해 스펙트럼 이미지를 그림 3(c)와 같이 shift하여 표현하는 것이 가능해진다.
shifted 스펙트럼을 이해하기 위해 한 예로 아래 그림 4의 왼쪽과 같은 형태의 스펙트럼 신호를 생각해 보자. 그런데 만일 스펙트럼이 원점대칭이고 W를 주기로 반복된다면 푸리에 스펙트럼은 오른쪽과 같은 형태가 될 수밖에 없음을 알 수 있다. 원래의 푸리에 스펙트럼의 형태는 구간 0 ~ W의 형태(그림 3b)이지만 (어차피 정보가 반복되기 때문에) 이를 구간 -W/2 ~ W/2 형태(그림 3c)로 shift하여 표현한 것이 shifted 스펙트럼이다.
그림 4. 푸리에 스펙트럼의 주기 특징
B. 푸리에 스펙트럼의 해석
앞서 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)은 해당되는 주파수 성분의 강도를 나타난다고 했는데, 정말 그런지 그리고 이 값이 이미지 도메인에서 어떻게 해석될 수 있는지 실제 예를 통해서 살펴보자.
아래 예는 이미지에 인위적으로 주기성분을 추가하였을 때 주파수 공간에서의 푸리에 스펙트럼이 어떻게 변하는지를 보여준다. 원본 이미지의 해상도는 205 × 205 픽셀이며(W = 205, H = 205) 따라서 스펙트럼 이미지도 205 x 205 해상도를 갖는다.
그림 5. 주기성분 추가에 따른 푸리에 스펙트럼의 변화
먼저, 그림 5(a)는 원본 이미지 및 대응되는 푸리에 스펙트럼 이미지를 보여준다. 그림의 예와 같이 일반적인 푸리에 스펙트럼 이미지는 원점 F(0, 0) 주변의 저주파 영역에서 강한 피크(peak)가 나타나고 원점에서 멀어질수록 즉, 고주파 영역으로 갈수록 값이 급격히 작아지는 형태를 갖는다.
그림 5(b)는 (a)의 이미지에 5 픽셀(pixel) 간격의 수평선을 인위적으로 추가한 경우이다. 그러면 주파수 공간에서는 그림과 같이 F(0, 41), F(0,82)에 강한 피크(peak)가 나타난다. 앞서 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 x축 주기 W/u 픽셀, y축 주기 H/v 픽셀인 주기성분의 계수라 했다. 그러면, F(0, 41)은 주기가 x축 방향 205/0 = ∞, y축 방향 205/41 = 5 픽셀인 주기성분에 대응된다. 그리고 이것은 그림 5(b)를 만들 때 사용한 수평선의 주기(세로방향 5픽셀)와 정확히 일치한다.
☞ F(0, 82)에도 피크(peak)가 나타나는 것은 y축 방향으로 205/82 = 2.5 픽셀 간격의 주기 성분이 입력 이미지에 있다는 의미이다. 이는 이미지에 추가한 수평선이 정현파(sinusoidal wave)가 아니라 계단 형태이기 때문에 5 픽셀 주기의 정현파와 2.5 픽셀 주기의 정현파를 합쳐서 그러한 계단 형태를 근사했기 때문이다.
다음으로, 이번에는 그림 5(c)와 같이 대각선 방향의 정현파를 (a)의 이미지에 추가해 보자. 추가한 정현파는 x축 방향 주기 20 pixel, y축 방향 주기 10 픽셀인 2D sin 함수를 이용했다. 이 때, 푸리에 스펙트럼에는 F(10, 20.5)에 강한 피크(peak)가 생성됨을 확인할 수 있다. 즉, x축 방향으로는 W/u = 205/10 = 20.5 픽셀, y축 방향으로는 H/v = 205/20.5 = 10 픽셀의 주기 성분이 입력 이미지에 있음을 의미한다. 그리고 이는 실제 입력 이미지에 추가된 주기 성분과 정확히 일치한다 (소수점 오차는 u, v좌표를 정수로 표현함에 의한 것이다).
이상으로 주파수 공간에서의 F(u, v)가 입력 이미지 공간에서 어떻게 연관되어 해석될 수 있는지를 실제 예를 통해서 살펴보았다. 마지막으로 앞서 그림 5(b), (c)에서 스펙트럼의 피크(peak) 영역을 지운 후 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)하면 아래와 같은 재미있는 결과를 얻을 수 있다 (지운다는 의미는 해당되는 F(u, v) 값들을 0으로 만든다는 의미이다).
그림 6. 푸리에 변환을 이용한 주기 성분 제거
☞ [개발한 것들] – FFT와 모아레 제거 프로그램을 이용하면 이미지의 푸리에 변환, 특정 스펙트럼 삭제 및 역변환을 직접 테스트해 볼 수 있다.
C. 푸리에 변환의 페이즈(phase)
푸리에 변환(Fourier transform)에서 스펙트럼(spectrum)은 잘 알려진 반면 페이즈(phase)는 상대적으로 잘 알려져 있지 않다. 하지만 페이즈(phase)에도 스펙트럼(spectrum) 못지 않은 중요한 정보가 담겨 있다고 한다.
페이즈(phase)를 우리말로 번역하면 ‘단계’가 되고 전문용어로는 ‘위상’이 된다. 위키피디아에는페이즈(phase, 위상)를 ‘반복되는 파형의 한 주기에서 첫 시작점의 각도 혹은 어느 한 순간의 위치’라고 정의한다. 즉, 파형(wave)의 시점이 어디인지가 페이즈(phase)이다. 예를 들어, sin 파와 cos 파는 90도의 페이즈(phase, 위상) 차이가 존재하는 동일한 파형으로 볼 수 있다.
푸리에 변환의 관점에서 보면 페이즈(phase)는 원본 신호를 주기 신호로 분해했을 때 각 주기성분의 시점이 어딘인지(즉, 각 주기성분들이 어떻게 줄을 맞춰서 원본 신호를 생성했는지)를 나타내는 요소가 된다.
아래 그림은 페이즈(phase)의 영향을 보여주는 예로서 파란색 주기성분 신호들을 합쳐서 빨간색 신호가 생성되는 예를 보여준다. 왼쪽, 오른쪽 경우 모두 동일한 주파수의 주기성분들을 합쳤지만 각 성분의 페이즈(phase) 차이로 인하여 전혀 다른 신호가 생성됨을 확인할 수 있다.
그림 7. 페이즈(phase) 차이에 따른 신호 생성의 차이
다음으로 푸리에 변환의 페이즈(phase)가 어떻게 수식으로 표현되는지 살펴보자. (1차원) 푸리에 변환의 계수 F(u)는 식 (12), (13) 및 오일러 공식에 의해 다음과 같이 극좌표(polar coordinate) 형태로 표현될 수 있다 (설명의 편의상 1차원의 경우를 예로 든다).
— (14)
☞ 실수축이 x축, 허수축이 y축인 복소평면에서 F(u)는 x축과 이루는 각이 Φ인 막대기의 끝점 (R, I)에 대응된다. 이 때, R = |F|cosΦ, I = |F|sinΦ이므로 F = |F|cosΦ + j|F|sinΦ = |F|ejΦ.
이제 식 (14)를 식 (1)에 대입하면,
. — (15)
와 같이 페이즈(phase) 텀이 주기함수 성분의 시점을 조절하는 텀이 된다.
즉, 푸리에 계수 F(u)에는 대응되는 주기함수 성분의 강도(amplitude)를 나타내는 스펙트럼 정보 |F(u)|와 시점을 조절하는 페이즈(phase) 정보 Φ(u)가 함께 포함되어 있음을 알 수 있다.
참고로, 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 페이즈(phase)에 관한 재미있는 비교 결과를 하나 소개한다. 아래 그림 8에서 (a)는 원본 이미지, (b)는 푸리에 스펙트럼을 보존하고 페이즈(phase)를 랜덤(random)하게 했을 때의 역변환 결과, (c)는 페이즈(phase)를 보존하고 스펙트럼을 랜덤하게 했을 때의 역변환 결과이다. 결과를 보면 이미지의 푸리에 변환에서 스펙트럼(spectrum)보다 페이즈(phase)에 보다 더 중요한 정보가 포함되어 있음을 확인할 수 있다.
그림 8. 푸리에 스펙트럼과 페이즈의 중요도 비교
5. 푸리에 변환의 유용한 성질들
마지막으로 푸리에 변환(Fourier transform)에 대한 몇 가지 유용한 성질들을 정리하면 다음과 같다.
– 주파수 공간의 원점 F(0, 0)의 값은 이미지의 평균값과 일치
– Impulse 함수(Dirac delta 함수)에 대한 푸리에 변환/역변환은 유니폼(uniform) 함수 (아래 식에서 푸리에 변환/역변환 관계를 ⇔ 로 표기).
– 가우시언(Gaussian) 함수의 푸리에 변환/역변환은 가우시언 함수가 됨
6. 맺음말
이상으로 푸리에 변환(Fourier transform)에 대한 정리를 마칩니다. 원래는 이렇게까지 길게 쓸 생각은 아니없는데 쓰다 보니 글이 길어졌네요.. ^^
참고자료 및 유용한 관련 글 링크
푸리에 변환 by jipark
푸리에 급수의 시작 by 전파거북이
푸리에 변환 by 전파거북이
페이저(phasor) by AngeloYeo
허수의 존재 의미에 대하여 by AngeloYeo
Magnitude and Phase by Deepa Kundur (토론토 대학)
What information is contained in the phase spectrum of a signal?
by 다크 프로그래머
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