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케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다. 이체문제 가정 하에 질점 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 을 행성, 질점 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다.
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케플러의 법칙유도 – 네이버 블로그
이제 케플러 1법칙. 타원의 법칙을 증명하겠습니다. 보통 물리과에서 배우는 책에는 궤도운동방정식을 먼저 유도하여 증명하는데 저는 오로지 벡터해석을 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 10/1/2022
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케플러의 법칙 – PhiLoSci Wiki
케플러의 법칙이란 요하네스 케플러(Johannes Kepler, 1571-1630)가 발견한 행성 운동에 관한 세 가지 법칙을 의미하며, 각각의 법칙은 “타원 궤도 법칙 …
Source: zolaist.org
Date Published: 11/1/2021
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케플러의 법칙 유도하기 – 말랑말랑한 기록
케플러의 법칙 16~17세기, 케플러는 관측 기록으로부터 태양계 행성의 운동을 설명하는 3가지 법칙을 발견해냈다. 1. 행성들의 궤도는 타원 모양이다 …
Source: softlog.tistory.com
Date Published: 2/7/2022
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케플러의 법칙과 뉴턴의 증명 – 녹색아카데미
현대의 물리학 또는 천문학 교과서에 있는 케플러의 행성운동 법칙 세 가지는 다음과 같이 서술됩니다. 1. 태양계에서 행성들의 공전 궤도는 타원을 …
Source: greenacademy.re.kr
Date Published: 10/7/2021
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케플러의 법칙 – 나무위키:대문
중심력장에서는 일정 조건을 만족하면, 행성은 항성을 한 초점으로 하여 타원 궤도로 운동할 수 있다. 자세한 증명은 중심력 문서를 참조하라. 두 초점이 …
Source: namu.wiki
Date Published: 11/6/2022
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케플러의 법칙 유도 (증명) : 제 1법칙 – 다음블로그
오일러-라그랑지안 방정식에 익숙치 않거나 봐도 잘 이해가 안가면 바로 증명 부분으로 건너뛰어도 무방하겠다. (타원의 방정식은 아래를 클릭) 요즘 …
Source: blog.daum.net
Date Published: 3/26/2022
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주제에 대한 기사 평가 케플러 법칙 증명
- Author: 장인수의 물리학
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- Date Published: 2020. 6. 23.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=Hx4X1Rg4JSQ
케플러(Kepler) 법칙의 증명
케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.
케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다.
케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다.
이체문제 가정 하에 질점 \(m\) 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 \(m\) 을 행성, 질점 \(M\) 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다.
케플러의 제2법칙은 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을 휩쓸고 지나간다는 면적속도 일정의 법칙이다.
이 법칙에 의하면 질점 \(m\) 의 속도는 질점 \(M\) 에 가까운 지점에서는 빠르고 먼 지점에서는 느리게 된다.
다음 그림과 같이 짧은 시간 \(dt\) 동안 질점 \(m\) 의 위치가 \(\vec{r}(t)\) 에서 \(\vec{r}(t+dt)\) 로 \(d\vec{r}\) 만큼 이동했다고 가정하자. 이 때 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) 을 연결한 선이 휩쓸고 간 면적이 \(dA\) 이다.
\(dA\) 는 \(\vec{r}(t), \vec{r}(t+dt), d\vec{r}\) 을 변으로 하는 삼각형의 면적이므로 다음과 같이 주어진다.
\[ dA= \frac{1}{2} \left| \vec{r} \times d\vec{r} \right| \tag{1} \]
여기서 \(d\vec{r}= \vec{v} dt\) 이므로, 위 식에 대입하면
\[ dA= \frac{1}{2} \left| \vec{r} \times \vec{v} dt \right| = \frac{1}{2} \left| \vec{h} \right| dt \tag{2} \]
가 된다. 여기서 \(\vec{h}\) 는 단위 질량당 각운동량 벡터이다. 이제 양변을 \(dt\) 로 나누면
\[ \frac{dA}{dt} = \frac{h}{2} = \mbox{constant} \tag{3} \]
가 되므로 케플러의 제2법칙이 증명된다.
케플러의 제3법칙은 질점 \(m\) (행성)의 공전주기의 제곱은 궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다는 조화의 법칙이다.
제3법칙은 다른 법칙과는 달리 원 또는 타원궤도에만 적용이 된다. 원궤도는 타원궤도의 특별한 경우이므로 아래 그림과 같이 타원궤도만을 가정하도록 하자.
먼저 케플러의 제2법칙인 식 (3)의 양변을 적분한다.
\[ \int_0^A dA = \int_0^T \frac{h}{2} \ dt \tag{4} \]
여기서 \(A\) 는 타원궤도의 면적이며 \(T\) 는 타원궤도를 일주하는데 걸리는 시간인 주기(period)이다. 각운동량은 상수이므로 위 식을 적분하고 타원궤도의 면적이 \(A=\pi ab\), 각운동량의 크기는 \(h=\sqrt{\mu p}\) 임을 고려하면, 주기는 다음과 같이 계산된다.
\[ T= \frac{2A}{h} = \frac{2 \pi ab}{ \sqrt{\mu p}} \tag{5} \]
여기서 \(b=a \sqrt{1-e^2}\) 이고, \(p=a(1-e^2)\) 이므로 위 식에 대입하면
\[ T= \frac{ 2 \pi a^2 \sqrt{1-e^2 }}{ \sqrt{ \mu a(1-e^2) }} = \frac{2 \pi }{ \sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \tag{6} \]
가 되어서, 주기의 제곱은 장반경의 세제곱에 비례함을 알 수 있다.
케플러의 법칙유도
일단 케플러 법칙에 대해서 간단히 소개 하겠습니다.
케플러의 1법칙, 타원의 법칙 (1609년) : 행성궤도는 태양을 초점으로 하는 타원이다.
케플러의 2법칙, 등면적 법칙 (1609년) : 태양과 행성을 잇는 직선은 행성이 태양주위에서 궤도운동을 할때 같은 시간동안 같은 면적을 지나간다.
케플러의 3법칙, 조화의 법칙 (1618년) ‘ 행성주기 ‘ 의 제곱은 ‘ 행성궤도의 반장축’ 의 세제곱 에 비례한다.
※ 반장축 : 타원의 제일 긴 지름의 절반. 장반경이라고도 한다.
케플러1법칙을 증명하는건 뉴턴시대 당시엔 무지하게 어려 웠습니다.(그당시엔 미적분이 없었음)
1684년 여름에 헬리가 뉴턴에게 역제곱 힘을 받는 행성의 궤도는 어떻게 될지 물었을때 뉴턴이 그 즉시 ‘타원’ 이라고 말해서 헬리를 놀라게 했었죠^^
그당시 여러사람들이 타원궤도를 도는 행성은 역제곱 힘을 받을거라고 추측하였으나 수학적으로 증명 하지 못했죠.
뉴턴은 이미 그당시에 미적분을 알고 있었고, 헬리가 왜 타원궤도가 되냐고 물으니깐,
” 내가 옛날에 이미 계산을 해보았네^ㅠ^ ”
라고 무조건반사(?)로 대답할정도니 그 당시 사람들에겐 괴물로 보였을듯…-.=
물론 현대의 우리가 보기에도 미적분을 안쓰고 오직 유클리드 기하학 만으로 증명한게 더 괴물로 보이는…-_-a
(전 프린시피아 사놓고 약간 보다가 때려친..ㅠㅠ)
케플러 법칙들은 모두
1. 뉴턴의2법칙 : F = ma
2. 뉴턴의중력법칙 : F= GMm/r²
두가지 법칙으로 부터 수학적으로 증명이 됩니다. (증명에서 쓰이는 수학은 벡터해석(벡터미적분)을 사용합니다.)
따라서 케플러 법칙은 사실 법칙이 아니라 케플러 정리라고 불러야 옳습니다.(기본법칙으로 부터 유도가 되므로…)
하지만 뉴턴의 프린시피아보다 케플러가 먼저 발표해서 케플러정리가 법칙으로 불려지게 되었죠ㅎ
(케플러 법칙이란 용어는 수백년간 관용적으로 굳어져서 앞으로도 안바뀔듯;;)
먼저 케플러 2법칙. 등면적의 법칙을 증명해 보겠습니다.(케플러 법칙을 증명하는 순서는 2->1->3 순서로 합니다.)
케플러 2법칙은 중력이 중심력(두 물체 사이에 작용하는 힘이 두 입자의 선을 잇는 방향으로 작용하는 힘) 이기 때문에 나오는 결과 입니다.(굳이 역제곱 법칙이 아니여도… 예를들어 역세제곱 법칙이였어도 성립합니다.)
현대의 물리용어로 말하면
“태양에 대한 행성의 각운동량은 보존된다.”
라고 말할수 있습니다.
증명을 이해할려면 대학교 1학년때 배우는 미분적분학 책에 나오는 벡터해석파트를 공부해야하는데…(또는 수리물리의 벡터해석 파트)… 그냥 알고 있다고 가정하고 증명하겠습니다…-_-aa 이거 설명할려면 케플러 법칙증명이 아닌 벡터해석 공부가 되므로…ㄱ-..
깔끔하게 증명되었습니다.
여기서 각운동량의 방향도 항상 일정하므로, 행성은 항상 평면운동을 한다는것도 알 수 있습니다.
이제 케플러 1법칙. 타원의 법칙을 증명하겠습니다.
보통 물리과에서 배우는 책에는 궤도운동방정식을 먼저 유도하여 증명하는데 저는 오로지 벡터해석을 이용하여 바로 증명해 보이겠습니다. (유도에는 james stewart 미적분책을 약간 참고 하였습니다.)
마지막 2 식은 원뿔곡선의 극좌표 표현입니다.
고등학생이라면 이게 무슨 타원궤도의 증명이야? 라고 말할수 있겠으나…-_-..
저런식으로 표현되는 곡선은 반드시 원,타원,포물선,쌍곡선 중 하나여야 합니다.
그런데 포물선,쌍곡선을 그린다면 이미 행성이 아니므로…(물론 그런 천체도 있겠지만…)
일반적으로 행성의 궤도는 타원이라고 말할 수 있는 것입니다.(타원은 원을 포함)
마지막으로 케플러3법칙인 조화의 법칙을 증명해 보이겠습니다.
보통 대학1학년 가서 일반물리학 시험을 보면 원궤도일때 케플러3법칙을 유도하라는 문제가 간혹 나옵니다.
2~3 줄이면 증명이 되니 잠시 써보겠습니다.
————– (원궤도 에서의) 케플러 3법칙의 증명 —————
중력 = 구심력 에서,
F = GMm/r² = mv²/r
∴ v = √(GM/r)
이식을 T = 2ㅠr / v 에 대입하면, T² = (4ㅠ²/GM) r ³ 인 케플러 3법칙이 증명됩니다.
—————————————————————-
다시 본론으로 돌아와서…
일반적인 타원의 경우에 증명해 보겠습니다.
증명은 케플러 2법칙으로 부터 시작합니다.
그리고 일반적인 타원의 성질을 이용하였습니다.
전 이심률이고 뭐고 그런 용어 안썼습니다…..-_-
참고로 여기서 a가 반장축 입니다
PhiLoSci Wiki
케플러의 법칙이란 요하네스 케플러(Johannes Kepler, 1571-1630)가 발견한 행성 운동에 관한 세 가지 법칙을 의미하며, 각각의 법칙은 “타원 궤도 법칙”(제1법칙), “면적 속도 일정의 법칙”(제2법칙), “조화의 법칙”(제3법칙)이라는 애칭을 가지고 가지고 있다. 제1법칙과 제2법칙은 1609년에 출판한 『새로운 천문학(New Astronomy; Astronomia nova)』에 함께 등장했으며, 제3법칙은 1619년에 출판한 『우주의 조화(Harmonies of the World; Harmonices Mundi)』에 등장했다. 이 법칙들과 (법칙들에 근거해 제작된) 『루돌프 천문표(Rudolphine Tables; Tabulæ Rudolphinæ)』(1627)는 행성의 위치에 대한 예측의 정확성을 극도로 향상시켰으며, 그 덕분에 케플러의 법칙에 전제된 코페르니쿠스의 태양중심설은 천문학자들 사이에서 널리 인정받게 되었다. 또한 이 법칙들은 뉴턴이 만유인력의 법칙을 발견하고 뒷받침하는 데도 기여함으로써, 코페르니쿠스의 『천구의 회전에 관하여』로부터 시작되어 뉴턴의 『프린키피아』에 의해 완결되는 코페르니쿠스 혁명의 가장 중요한 징검다리가 되었다.
케플러의 법칙은 아래의 세 가지 법칙으로 구성되어 있으며, 그 발견 과정에는 정밀한 관측과 복잡한 수학이 필요했다.
제1법칙(타원 궤도 법칙) : 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 공전한다.
제2법칙(면적 속도 일정의 법칙) : 행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
제3법칙(조화의 법칙) : 행성의 공전주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.
법칙의 발견
케플러 제1법칙과 제2법칙은 티코 브라헤(1546-1601)의 방대하고 정밀한 화성 관측 자료에 근거하여 발견되었다. 티코 브라헤는 당대 최고의 정밀 관측 천문학자로서, 티코 사후 그의 자료를 물려받은 케플러는 화성의 관측 자료를 단순한 폐곡선으로 이루어진 태양 중심의 궤도에 집어넣기 위해 수 년 동안 씨름했다. 코페르니쿠스의 태양중심설을 굳게 믿고 있던 케플러는 지구를 포함한 각 행성의 궤도들이 고정된 태양을 기준으로 한 단순한 폐곡선으로 만들어진다고 추측했다. 즉 케플러의 목적은 지구에서 관측된 자료를 이용해 태양을 기준으로 한 화성의 궤도를 알아내는 것이었다. 그러나 지구에서는 천체의 각도만 측정될 뿐 천체까지의 거리는 측정되지 않기 때문에, 케플러의 작업은 다음과 같은 복잡한 단계를 거쳐 이루어졌다.
(a) 화성의 궤도를 이용한 지구 궤도 확정, (b) 화성의 위치 확정
우선 케플러는 태양을 기준으로 한 지구의 궤도를 확정해야 했다(그림의 a). 태양을 기준으로 한 화성의 공전 주기는 687일로 측정되어 있었으며, 케플러는 화성이 687일마다 정확히 동일한 위치에 있을 것이라고 추측했다. 어느날 태양(S)과 지구(E)와 화성(M)이 일직선상에 놓였다고 하자. 그로부터 687일 후 화성(M’)은 원래의 자리에 돌아올 것이며, 이때 지구(E’)의 위치는 지구에서 측정된 태양의 각도와 화성의 각도를 통해 확정된다. 또다시 687일 후의 지구의 위치도 똑같은 방식으로 측정될 수 있으며, 이를 반복하면 지구의 궤도가 확정된다. 이렇게 확정된 지구의 궤도는 거의 완벽한 원으로 그려질 수 있었고, 그 중심은 태양에서 살짝 벗어나 있었다. 대신 공전 속도는 일정하지 않았다.
지구의 궤도를 확정한 후, 케플러는 화성의 위치들을 찍기 시작했다(그림의 b). 어느 날 지구(E)에서 화성이 특정한 방향에서 측정되었다고 해보자. 그러면 화성은 직선 EM 상에 존재해야 한다. 그로부터 687일 후 지구(E’)에서 화성은 또 다른 방향에서 측정된다. 이때 화성은 직선 E’M’ 상에 존재해야 한다. 그런데 태양을 기준으로 한 화성의 공전 주기는 687일이므로, 두 화성 M과 M’은 동일한 위치에 있어야 한다. 즉 화성의 위치는 EM과 E’M’의 교점으로 확정된다. 이와 같은 방식으로 구한 화성의 위치들을 모아 완성한 화성의 궤도는 원이 아니었다. 임의의 세 점을 지나는 원을 작도할 때마다 또 다른 한 점은 항상 원에서 이탈했기 때문이다. 케플러는 화성의 궤도를 티코 브라헤의 관측 오차 이내로 만족하는 기하학적 도형을 새롭게 찾았으며, 그 결과는 타원이었다.
… (추후 보완 예정)
뉴턴의 증명
뉴턴은 원래 케플러의 제3법칙(조화의 법칙)과 행성의 원운동을 가정할 경우 태양의 인력이 거리의 제곱에 반비례할 것이라는 간단한 증명을 한 바 있다. 나중에 핼리가 방문하여 “거리의 제곱에 반비례하는 인력이 작용할 경우 물체의 궤도가 어떻게 되느냐?”는 질문을 받은 뉴턴은 완전한 증명에 착수한다. 간단히 요약하자면, 뉴턴은 구심력을 가정하여 케플러의 제2법칙(면적 속도 일정의 법칙)을 유도하고, 구심력에 의한 물체의 궤도가 타원일 경우(케플러의 제2법칙) 그 구심력의 크기가 거리의 제곱에 반비례함을 증명한다. 단 이러한 증명들은 기본적으로는 뉴턴의 운동 법칙 F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } 를 전제하고 있다.
이 섹션의 증명은 『프린키피아』에서 사용된 뉴턴의 기하학적 증명 방식을 거의 그대로 따르고 있지만, 독자들의 이해를 위해 표현과 순서를 조정하였으며, 그 과정에서 뉴턴은 사용하지 않은 lim , Δ t {\displaystyle \lim ,\Delta t} 와 같은 기호도 추가적으로 사용되었다는 점을 밝힌다.
[1] 케플러 제2법칙 : 면적 속도 일정의 법칙면적 속도 일정의 법칙 도출
뉴턴의 가정에 따르면, 물체는 일정한 시간( Δ t {\displaystyle \Delta t} ) 간격으로 ( B , C , D , E {\displaystyle B,C,D,E} 등의 지점에서) S {\displaystyle S} 방향의 순간적인 충격(크기는 상관이 없음)을 받으며, 충격을 받지 않는 동안에는 관성에 의해 등속 직선 운동을 한다. 또한 충격은 충격과 무관한 성분의 운동에는 영향을 주지 않으며, 충격과 동일한 방향의 성분의 운동만을 더해준다. A B , B C , C D , D E , E F {\displaystyle AB,BC,CD,DE,EF} 로 각각 이동하는 데 걸린 시간을 모두 동일한 Δ t {\displaystyle \Delta t} 로 두었을 때, 그 시간 동안 S {\displaystyle S} 와 물체 사이의 선분이 휩쓸고 지나간 면적은 각각 △ S A B , △ S B C , △ S C D {\displaystyle \triangle SAB,\triangle SBC,\triangle SCD} 등이 된다.
A {\displaystyle A} 에서 B {\displaystyle B} 로 이동 중이던 물체가 B {\displaystyle B} 에서 충격을 받지 않았다면 물체는 직선 관성 운동에 의해 점선을 따라 Δ t {\displaystyle \Delta t} 후에 c {\displaystyle c} 에 도착했을 것이다. 그러나 B S {\displaystyle BS} 방향으로 받은 충격 때문에 Δ t {\displaystyle \Delta t} 후 물체는 C {\displaystyle C} 에 도착하게 된다( B S ¯ ∥ c C ¯ {\displaystyle {\overline {BS}}\parallel {\overline {cC}}} [평행]). 왜냐하면 A B {\displaystyle AB} 방향으로 운동 중이던 물체에게 가해진 B S {\displaystyle BS} 방향의 충격은 A B {\displaystyle AB} 방향의 운동에는 영향을 주지 않은 채 B S {\displaystyle BS} 방향(즉 c C {\displaystyle cC} 방향)의 운동만을 더해주기 때문이다. 이때 다음과 같은 관계가 성립한다.
△ S A B = △ S B c {\displaystyle \triangle SAB=\triangle SBc} ∵ A B ¯ = B c ¯ {\displaystyle \because {\overline {AB}}={\overline {Bc}}} △ S B c = △ S B C {\displaystyle \triangle SBc=\triangle SBC} ∵ S B ¯ {\displaystyle \because {\overline {SB}}} S B ¯ ∥ C c ¯ {\displaystyle {\overline {SB}}\parallel {\overline {Cc}}} ∴ △ S A B = △ S B C {\displaystyle \therefore \triangle SAB=\triangle SBC}
이어서 C , D , E {\displaystyle C,D,E} 등에서 S {\displaystyle S} 방향으로 받은 충격을 고려하면 아래와 같은 관계가 성립한다.
△ S A B = △ S B C = △ S C D = △ S D E = △ S E F = ⋯ {\displaystyle \triangle SAB=\triangle SBC=\triangle SCD=\triangle SDE=\triangle SEF=\cdots }
위의 관계는 Δ t {\displaystyle \Delta t} 를 극히 작은 크기로 줄이더라도 성립하게 되며, 이는 하나의 점 S로부터 ‘지속적으로’ 힘을 받는 물체의 부드러운 곡선 궤도 운동에도 그대로 적용될 수 있다. 즉 임의의 물체 P {\displaystyle P} 가 일정한 점 S {\displaystyle S} 로부터의 인력, 즉 구심력만을 받고 있을 경우 선분 S P {\displaystyle SP} 가 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 항상 동일하며, 이를 다르게 표현할 경우 그 면적은 시간에 비례한다. (주의할 점 : 이 법칙은 구심력의 크기와는 무관하게 성립한다.)
케플러 제1법칙 : 타원 궤도의 법칙
뉴턴은 『프린키피아』 1권 제3장. 명제 11(문제 6)에서 “한 물체가 타원상을 공전한다고 했을 때, 타원의 초점으로 향하는 구심력의 법칙을 발견하다”는 문제를 제시하고, 그 답이 “거리의 제곱에 반비례하는 힘”이라는 것을 증명한다.[2] 이후 반대의 증명, 즉 거리의 제곱에 반비례하는 구심력이 작용할 때 물체의 궤도가 2차곡선의 형태가 된다는 증명도 완성한다.
P {\displaystyle P} S {\displaystyle S} a ∝ lim Q → P Q R S P 2 ⋅ Q T 2 {\displaystyle \mathbf {a} \propto \lim _{Q\rightarrow P}{QR \over {SP^{2}\cdot QT^{2}}}} 뉴턴의 구심력 법칙 : 점에서 점방향으로 작용한 구심 가속도
1단계. 점 P {\displaystyle P} 에서 점 S {\displaystyle S} 방향으로 작용한 구심 가속도 a ∝ lim Q → P Q R S P 2 ⋅ Q T 2 {\displaystyle \mathbf {a} \propto \lim _{Q\rightarrow P}{QR \over {SP^{2}\cdot QT^{2}}}} 의 증명.[3]
S {\displaystyle S} P {\displaystyle P} Z P R {\displaystyle ZPR} R {\displaystyle R} S P {\displaystyle SP} Q {\displaystyle Q} P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} Δ t {\displaystyle \Delta t} P S {\displaystyle PS} v {\displaystyle \mathbf {v} } a {\displaystyle \mathbf {a} } P {\displaystyle P} lim Q → P P R → = v Δ t {\displaystyle \lim _{Q\to P}{\overrightarrow {PR}}=\mathbf {v} \Delta t} ∵ P R {\displaystyle \because PR} lim Q → P R Q → = 1 2 a ( Δ t ) 2 {\displaystyle \lim _{Q\to P}{\overrightarrow {RQ}}={1 \over 2}\mathbf {a} \left(\Delta t\right)^{2}} [4] ( ∵ R Q {\displaystyle \because RQ}
그런데 구심력에 의해 움직이는 물체가 훓고 지나가는 면적은 시간에 비례하므로, lim Q → P △ S P Q Δ t = 1 2 lim Q → P S P ⋅ Q T Δ t = L 2 ( constant ) {\displaystyle \lim _{Q\to P}{\triangle SPQ \over \Delta t}={1 \over 2}\lim _{Q\to P}{SP\cdot QT \over \Delta t}={L \over 2}\quad ({\text{constant}})} Q T ⊥ S P {\displaystyle QT\perp SP}
따라서 구심 가속도 a = lim Q → P 2 Q R ( Δ t ) 2 = 2 L 2 lim Q → P Q R S P 2 ⋅ Q T 2 ∝ lim Q → P Q R S P 2 ⋅ Q T 2 ⋯ ( N 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{Q\to P}{2QR \over \left(\Delta t\right)^{2}}=2L^{2}\lim _{Q\to P}{QR \over {SP^{2}\cdot QT^{2}}}\propto \lim _{Q\to P}{QR \over {SP^{2}\cdot QT^{2}}}\quad \cdots ({\rm {N1)}}}
2단계. P E = A C {\displaystyle PE=AC} 의 증명.
케플러 제1법칙으로부터 역제곱 법칙의 도출
케플러의 법칙 유도하기
케플러의 법칙
16~17세기, 케플러는 관측 기록으로부터 태양계 행성의 운동을 설명하는 3가지 법칙을 발견해냈다.
1. 행성들의 궤도는 타원 모양이다 (타원 궤도의 법칙)
2. 태양과 행성을 잇는 선이 시간당 쓸고 지나가는 면적은 일정하다 (면적 속도 일정의 법칙)
3. 행성이 궤도를 한 바퀴 도는 주기의 제곱은 타원의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다 (조화의 법칙)
케플러는 관측에 의존해서 이러한 법칙들을 이끌어냈다. 하지만 우리에게는 뉴튼의 만유인력과 여러 수학적인 도구가 있다. 케플러의 법칙들을 유도해보자.
제2법칙: 면적 속도 일정의 법칙
우선 가장 유도하기 쉬운 제2법칙에서 출발하자. 우리는 행성의 운동을 나타내기 위해 태양을 원점으로 하는 극좌표계를 이용할 것이다. 행성의 위치를 나타내는 벡터를 $\vec{r}$이라고 두자. 시간 $dt$동안 쓸고 지나가는 면적을 $dA$라고 하면, $$dA=\frac{1}{2} \left\vert \vec{r} \times d\vec{r} \right\vert$$이다. 그러면 면적 속도 $\frac{dA}{dt}$는 $$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left\vert \vec{r} \times \frac{d\vec{r}}{dt} \right\vert = \frac{1}{2} \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert$$로 구할 수 있다.
이제 $\left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert$가 일정하다는 것을 보이면 된다. 시간에 대해 미분했을 때 $0$이 됨을 보이면 될 것이다. $$\frac{d}{dt} \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert = \left\vert \vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times \vec{a} \right\vert$$
평행한 벡터의 외적은 $0$이므로, $\vec{v} \times \vec{v} = 0$이다. 그리고 행성에 작용하는 힘은 언제나 태양, 즉 원점을 향하기 때문에, 위치 벡터와 가속도 벡터도 평행하다. 즉, $\vec{r} \times \vec{a} = 0$이다. 그러므로, $$\frac{d}{dt} \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert = \left\vert \vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times \vec{a} \right\vert = 0$$
각운동량의 보존
케플러 제2법칙이 기하학적인 관점에서는 면적 속도 일정의 법칙으로 나타나지만, 물리적인 관점에서는 각운동량의 보존으로 볼 수 있다. 각운동량은 $$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$로 정의된다. ($\vec{p}=$는 운동량) 그런데 운동량은 $m\vec{v}$이므로, $$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = m (\vec{r} \times \vec{v})$$으로 표현할 수 있다. 어딘가에서 본 식이 아닌가? 위에서와 같은 논리로, $\frac{d\vec{L}}{dt}=0$을 유도할 수 있다. 즉, 행성의 궤도 운동에서 각운동량은 보존된다. $$l=\frac{L}{m} = \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert$$로 정의하자. 질량과 각운동량 둘 다 변하지 않으므로, $l$도 일정하다. 그러면 $$\frac{dA}{dt} = \frac{l}{2}$$이므로, 면적 속도 일정의 법칙 또한 자연스럽게 유도된다.
극좌표계와 직교 좌표계의 변환을 이용하면, $$\vec{r} \times \vec{v} = \vec{r} \times (\dot r \hat{r} + r \dot\theta \hat{\theta}) = mr^2 \dot\theta \hat{r} \times \hat{\theta}$$이므로, $l=r^2 \dot\theta$임을 알 수 있다.
제1법칙: 타원 궤도의 법칙
태양이 행성에 작용하는 힘이 거리에 의해 결정된다고 가정하고, 그 크기를 $f(r)$이라고 하자. (만유인력의 법칙에 따르면, $f(r)=\frac{GMm}{r^2}$지만 보다 일반적인 식을 유도하기 위해 $f(r)$로 놓을 것이다) 운동 방정식을 세우면, $$m \ddot{\vec{r}} = f(r) \hat{r}$$이다. 그리고 극좌표계와 직교 좌표계의 변환으로부터 $$\ddot{\vec{r}} = (\ddot r – r \dot\theta^2) \hat{r} + (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta ) \hat{\theta}$$이므로, 두 개의 스칼라 방정식을 얻을 수 있다. 그 중, $\hat{r}$ 성분의 방정식 $$m (\ddot r – r \dot\theta^2) = f(r)$$만을 고려하자. ($\hat{\theta}$ 성분의 방정식으로부터는 제2법칙과 동등한 결과를 얻을 수 있다.)
식을 $r$에 대한 방정식으로 나타내기 위해, $\dot\theta$를 제거하자. $l=r^2 \dot\theta$의 관계를 이용하면 $\frac{1}{r}$ 항이 나올 것이다. $u=\frac{1}{r}$로 치환하여 방정식을 풀자. 그러면 $\dot\theta = l \frac{1}{r^2} = lu^2$이다. 그리고 $\ddot r$을 $u$에 대해 나타내자. $$\dot r = -\frac{1}{u^2} \dot u = -\frac{1}{u^2} \frac{d\theta}{dt} \frac{du}{d\theta} = -l \frac{du}{d\theta}$$ $$\ddot r = -l \frac{d^2 u}{d\theta^2} \frac{d\theta}{dt} = -l \dot\theta \frac{d^2 u}{d \theta^2} = -l^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \theta^2}$$ 이제 원래의 식의 $\ddot r$과 $\dot\theta$를 $u$에 대한 식으로 바꾸면, $$m(-l^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \theta^2} – \frac{1}{u} (lu^2)^2) = f(\frac{1}{u})$$를 얻을 수 있다. 정리하면, $$\frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = -\frac{1}{ml^2 u^2} f(\frac{1}{u})$$이다. 힘을 나타내는 $f(r)$이 주어지면 이 방정식을 풀어 궤도를 구할 수 있다.
그러면 거리의 제곱에 반비례하는 인력이 작용하는, 중력과 같은 상황을 고려하자. 편의상 $k=GMm$으로 놓고, $f(r)=-\frac{k}{r^2} = -ku^2$로 표현하자. 위의 방정식에 대입하면 $$\frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = -\frac{1}{ml^2 u^2} (-ku^2) = \frac{k}{ml^2}$$를 얻는다. 오른쪽이 상수항이므로, 단순조화진동과 같은 방식으로 방정식을 풀 수 있다. 초기 조건에 의해 결정되는 상수 $A$와 $\theta_0$에 대해, $$u=A \cos(\theta – \theta_0) + \frac{k}{ml^2}$$로 표현된다. 역수를 취하면, $$r = \frac{1}{A \cos(\theta – \theta_0) + \frac{k}{ml^2}} = \frac{\frac{ml^2}{k}}{1+\frac{ml^2 A}{k} \cos(\theta – \theta_0)}$$이다. 이는 이차곡선(Wikipedia)의 극좌표 방정식과 같은 꼴이다. 이심률 $\epsilon=\frac{ml^2 A}{k}$에 의해 궤적이 결정된다. 그리고 우리는 행성과 같이 반복해서 궤도를 그리는 경우를 고려하므로, 원($\epsilon=0$) 또는 타원($\epsilon<1$) 궤도가 가능하다. (태양계에 한 번만 찾아오고 다시 멀리 떠나버리는 혜성의 경우 포물선 또는 쌍곡선 형태의 궤적을 그릴 것이다.) 제3법칙: 조화의 법칙 제2법칙에서 $$\dot A = \frac{1}{2} l$$을 유도했다. 그리고 제1법칙에 의해 궤도는 타원이므로, 행성이 한 바퀴를 도는 동안 쓸고 지나간 면적에 타원의 넓이를 구하는 공식을 적용할 수 있다. 긴반지름 $a$, 짧은반지름 $b$인 타원의 넓이는 $\pi a b$이다. 행성의 주기를 $\tau$라고 하면 $\dot A$가 일정하므로 $$A = \dot A \tau = \frac{1}{2} l \tau$$로 넓이를 구할 수 있다. 즉, $$\frac{1}{2} l \tau = \pi a b$$인 것이다. $a$와 $b$를 연결해주는 식에는 제곱근이 포함되므로, 편의를 위해 양변을 제곱하자. $$\frac{1}{4} l^2 \tau^2 = \pi^2 a^2 b^2$$ $b^2 = (1-\epsilon^2) a^2$이므로, $$\tau^2 = \frac{4\pi^2}{l^2} a^2 (1-\epsilon^2) a^2 = \frac{4\pi^2}{l^2} (1-\epsilon^2) a^4 = \frac{4\pi^2}{l^2} (1-\epsilon^2) a^4$$이다. 이제 타원의 기하학적인 성질을 이용해서 정리하는 일만 남았다. 궤도에 대한 식에서 $\theta-\theta_0=\pm \frac{\pi}{2}$인 경우(초점을 지나고 장축에 수직)를 고려하자. 이 때, $\cos (\theta-\theta_0) = 0$이므로, $$r=\frac{ml^2}{k}$$가 된다. 그리고 타원의 성질로부터 $$r=(1-\epsilon^2) a$$임도 알려져 있다. $1-\epsilon^2$에 대해 정리하면, $$1-\epsilon^2 = \frac{ml^2}{ak}$$이고, 위에서 구한 주기의 제곱에 대한 식에 대입하면 $$\tau^2 = \frac{4\pi^2}{l^2} \frac{ml^2}{ak} a^4 = \frac{4\pi^2 m}{k} a^3$$으로, 우리가 구하고자 한 비례 관계를 확인할 수 있다.
케플러의 법칙과 뉴턴의 증명
“뉴턴의 보편중력 법칙을 활용해 행성의 운동에 관한 케플러의 세 가지 법칙을 도출해 보는 것도 매우 유익한 지적 경험이 된다.” (<장회익의 자연철학강의> 125쪽)
케플러의 법칙을 뉴턴 역학에서 도출하는 것은 생각보다 긴 역사가 담긴 이이야기이며, 또 상당한 수식 처리 능력과 물리학에 대한 이해를 필요로 합니다.
케플러의 법칙이라 부르는 것은 정확히 말하면 태양 주변 행성운동에 관한 세 가지 법칙입니다. ‘법칙’이란 말이 이미 사회법과의 연결을 담고 있는데, 이 문제는 따로 더 이야기할 점이 있습니다. 뉴턴이나 데카르트는 자신의 주장을 ‘법칙’ 또는 ‘규칙’이란 말로 정리했지만, 정작 케플러 자신은 그런 용어를 쓰지 않았습니다. 또 세 가지 법칙을 보기 좋게 늘어놓은 것도 아니었습니다.
장회익 선생님도 “케플러는 튀코 브라헤의 행성 관측 자료들을 활용해 이들이 태양을 초점으로 삼아 타원궤도를 그린다는 것 등 세 가지 법칙을 1609년(제1법칙, 제2법칙)과 1619년(제3법칙) 두 차례에 걸쳐 발표한 일이 있다. 이것은 관측 자료들에서 일반화해 이끌어낸 경험법칙들이지만, 뉴턴은 자신의 법칙을 통해 이를 정확히 이론적으로 도출해냈다.” (<장회익의 자연철학강의> 125쪽)라고 쓰셨습니다.
조금 더 상세하게 이야기하는 게 좋을 것 같습니다. 현대의 물리학 또는 천문학 교과서에 있는 케플러의 행성운동 법칙 세 가지는 다음과 같이 서술됩니다.
1. 태양계에서 행성들의 공전 궤도는 타원을 그리며, 그 타원의 두 촛점 중 하나에 태양이 있다.
2. 행성의 궤적에서 태양과 행성을 잇는 선이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 넓이는 항상 일정하다. 즉 면적속도는 일정하다.
3. 행성의 공전궤도에서 한 바퀴를 완전히 도는 데 걸리는 공전주기 $T$와 타원의 긴반지름(장반경) $a$ 사이에는 긴반지름의 세제곱이 공전주기의 제곱에 항상 비례한다. 즉 $a^3 / T^2 = \mathrm{const.}$ (여기에서 const.라 적은 것은 영어 constant의 줄임말로 항상 일정한 숫자 즉 상수(常數)라는 의미입니다.)
(그림 출처: Károly Simonyi (2012) A Cultural History of Physics. A K Peters/CRC Press.)
앞의 두 법칙이 서술된 것은 1609년에 출간된 [새로운 천문학 또는 천상의 물리학]이었습니다. 전체 제목은 다음과 같습니다.
Astronomia Nova ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΤΟΣ seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychonis Brahe
한국어로 번역하면 ” 원인에 기반을 둔 새로운 천문학 또는 튀코 브라헤의 관찰로부터 얻은 화성의 운동에 대한 논평을 통해 고찰된 천상의 물리학”이 되는데, 17세기 초에 천문학과 물리학은 엄격하게 분리되어 있었습니다. 달 위의 세계를 다루는 천문학은 신성하고 영원한 원운동의 세계를 서술하는 자연철학인 반면, 달 밑의 세계를 다루는 물리학은 불완전하고 변덕스럽고 원칙적으로 직선운동의 세계를 다루는 자연철학이었기 때문입니다.
이 둘, 즉 신성한 천문학과 불완전한 물리학을 묶어 놓은 것은 놀라운 일이었습니다. 690쪽이 넘는 방대한 분량의 이 책에서 케플러는 프톨레마이오스의 지구중심체계가 왜 부적절하고 코페르니쿠스의 태양중심체계가 더 올바른지 논증하다가, 다시 코페르니쿠스의 체계도 정확하지 않음을 상세하게 다룹니다. 이 책의 서술은 무척 재미있습니다. 깔끔하게 자연철학 즉 물리학이나 천문학 이야기만 하는 게 아니라, 중간에 자기 인생 얘기도 했다가 다른 사람들 이야기도 했다가 어느 대목에서는 시도 등장하고 고대로부터 전해져 오는 이야기도 흥미진진하게 말하다가 어느 곳에서는 엄밀한 기하학 증명으로 독자를 괴롭힙니다. 절정에 이르는 부분에 있는 삽화에는 하늘에서 천사가 전차를 타고 내려와 축하해 주는 그림도 있습니다.
한참을 그렇게 이야기를 풀어가다가 거의 뒷부분인 59장이 시작되기 직전에 드디어 행성의 궤적이 원이 아니라 타원이라는 말을 조심스럽게 꺼냅니다.
“Ergo ellipsis est Planetæ iter; … ut sequenti capite patescet: ubi simul etiam demonstrabitur, nullam Planetæ relinqui figuram Orbitæ, præterquam perfecte ellipticam”
(따라서 행성의 궤적은 [원이나 달걀 모양이 아니라] 타원이다. 다음 장에서 이를 증명할 것이다.)
Ryu Lab 1
오일러-라그랑지안 방정식에 익숙치 않거나
봐도 잘 이해가 안가면
바로 증명 부분으로 건너뛰어도 무방하겠다.
(타원의 방정식은 아래를 클릭)
요즘은 중고등학교 때 부터
케플러의 법칙을 들을 기회가 있지 않나 싶다.
하지만 얼마나 그 개념이 잘 전달되고 있는지는
의문이다.
그리고 과학의 개념이라는 것은
문장으로 된 결과만 보면
자칫 오해하기 쉽다.
그러므로 정말 제대로 이해하고자
한다면 일정 에너지를
투자하여 직접 유도해
봐야한다고 본다.
직접 유도해 보고 스스로 설명할 수
있어야 정말 제대로 이해한
것이라고 생각하기에..
그럼 또 2법칙 증명으로 만나자.
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