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특수해는 해를 구했을 때 상수가 남아있지 않은 상황을 말하는 것입니다. 어떤 미분 방정식을 풀어서 해를 구했더니 상수가 들어있다 그러면 일반해입니다.
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안녕하세요 🙂
상미분방정식 재생목록의 두번째 영상입니다
보시고 헷갈리는 부분은 언제든지 댓글로 질문주셔요
항상 감사합니다 ^^
(예제출처 : Boyce 미분방정식 135p 복습문제 1번)
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미분방정식/풀이 – 나무위키:대문
1변수 함수에 대한 미분방정식을 가리키는 말이다. 여기서 상미분이라는 표현은 직역하자면 평범한 미분이란 뜻이지만 그보다는 “편미분”과 대비시켜 다 …
Source: namu.wiki
Date Published: 8/12/2021
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미분방정식의 정의 + 해의 종류(일반해 특수해 특이해)
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Source: blog.daum.net
Date Published: 1/17/2021
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2.1 2차 선형미분방정식의 해
상수계수를 가지지 않는 2차 제차방정식의 일반해를 구하는 과정은. 매우 어렵다. 특별한 형태의 오일러-코시(Euler-Cauchy) 미분방.
Source: cisl.nayana.kr
Date Published: 12/5/2022
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미분방정식 해
해 , General Solution, 일반해, 완전해, Prticular Solution, 특수해, Complementary Solution, 보조해, 동차해, Singular Solution, 특이해 · 1. 미분 …
Source: www.ktword.co.kr
Date Published: 8/7/2022
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6강. 일반해와 특수해(2)
미분방정식(6). 2012년 12월 10일 월요일. 오전 4:18. 일반해란 무엇인가? 지난시간에 일반해에 대해 알려드리려다가.
Source: universics.tistory.com
Date Published: 12/18/2021
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2차 선형 미분방정식을 푸는 방법 – 수학과 사는 이야기
이것은 이차방정식 ar2+br+c=0 a r 2 + b r + c = 0 을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic …
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 4/5/2021
View: 2875
I. 미분방정식
상미분방정식(ordinary differential equation) … 미분방정식에 대입하면 방정식이 만족되는 것. 일반해 (general solution) : 계수만큼 상수를 가진 해.
Source: bh.knu.ac.kr
Date Published: 9/13/2022
View: 9373
미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유
미분방정식에서는 해를 나타낼 때 선형결합을 정말 많이 활용합니다. 본격적으로 이를 접하는 단계는 2계 선형 미분방정식에서일 텐데, 실은 편미분 …
Source: gosamy.tistory.com
Date Published: 9/27/2022
View: 5034
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- Date Published: 2020. 5. 22.
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[미분 방정식] 미분 방정식의 정의, 용어, 개념
[미분 방정식] 미분 방정식의 정의, 용어, 개념안녕하세요, 설군입니다.
미분 방정식은 대학교에서 본격적으로 배우게 되는데, 물리학을 이해하기 위한 수학중 하나입니다.
물리학에서는 미분 방정식의 형태로 자연 현상이 기술되곤 하는데 그 미분 방정식을 푸는 법을 이해해야 자연 현상을 비로소 수치적으로 해석할 수 있는것이죠.(말이 이상한지 확인바람)
Dennis G. Zill의 A First Course in Differential Equatoins with Modeling Applications, 10th 를 아주 많이 참고하였습니다.
한글 제목으로는 ‘미분방정식 입문’ 입니다.
미분 방정식은 도함수를 포함하는 방정식입니다.
도함수가 몇 차냐에 관련 없이 포함만 하면 그것이 미분 방정식인 것입니다.
만약 y의 도함수를 포함한다면, 미분 방정식을 풀어서 해를 구한다는 것은 y라는 함수를 구한다는 것입니다.
이런 방정식을 해결한다는 것은 x값을 구한다는 것이죠
그런데 미분 방정식에서는 다음과 같이
이런 식으로 생겼는데요
y”은 y라는 함수를 두 번 미분했다는 것이고
y’은 한 번 미분했다는 것인데
여기서 y라는 함수를 구하는것이 바로 미분 방정식을 해결하는 것입니다.
미분 방정식이라는 학문을 배울 때에는
미분 방정식의 여러 꼴로 나누어서 푸는 방법이 다른데 그 푸는 방법을 배우는 것입니다.
이런 미분 방정식 꼴에서는 이렇게 풀고, 저런 미분 방정식 꼴에서는 저렇게 푸는 것이죠.
이런 미분 방정식들은 상미분 방정식이라고 합니다.
독립변수는 하나(첫 번째는 독립 변수가 x, 두 번째는 x, 세 번째는 t)인 상황에서
종속변수가 하나 이상인 경우에는 상미분 방정식입니다.
그니까 하나의 독립변수로만 미분하는 상황이면 상미분 방정식인 것입니다.
이런 미분 방정식들은 편미분 방정식이라고 합니다.
첫 번째 방정식을 보면, 독립변수가 x도 있고 y도 있죠
그니까 u를 x에 관해서도 미분해야되고, y에 관해서도 미분해야 된다는 것입니다.
두번째 방정식도 그렇습니다.
간단하게 그냥 미분(우리가 고등학교 과정까지 배웠던)이 들어있으면 상미분 방정식이고
편미분이 들어있으면 편미분 방정식인 것입니다.
Ordinary Differential Equation (ODE) 라고 하고
Partial Differential Equation (PDE) 라고 합니다.
앞서 저는 y’, y” 의 기호도 사용했고, dy/dx 기호도 사용했는데
보통 두 기호를 섞어서 사용합니다.
그리고 4계 도함수 부터는 보통
이런 식으로 표현합니다.
n계도함수의 경우 위와같이 표현해도 되고요.
그리고 물리학에서는 보통 독립변수가 시간 t인 경우의 미분이 자주 등장하는데
그런 경우는 ‘도트’를 사용해서 표현해주기도 합니다.
x라는 위치를 시간에 대해 두번 미분했다는 의미에서 x 위에 점을 두 개 찍어서 표현하는것이죠.
이 미분 방정식은 2계 1차 미분 방정식이라고 합니다.
계는 계수인데, 계수라는 건 최고계 도함수의 계수를 말하는 것입니다.
여기서 2번 미분한 것이 최고이므로, 2계인 것입니다.
그리고 차수는 최고계 도함수가 몇승이냐를 말하는데
이경우 1승이므로 1차입니다.
이건요?
최고계 도함수의 계수가 2이므로 2계이고
그게 3승 이므로 3차이니까
2계 3차 미분 방정식일까요?
아니요 루트를 풀어줘서 정수로 만들어줘야 합니다.
이렇게 완성된걸 가지고 이름을 붙여줘야 합니다.
이건 2계 6차 미분 방정식인 것이죠.
그리고 미분 방정식은 어떻게 정리하느냐에 따라 모양은 다르지만 같은 미분 방정식이 될 수 있는데
이런식으로 변형될 수도 있습니다.
선형 미분 방정식이라는 게 있는데
어떤 미분 방정식이 주어졌을 때 그 미분 방정식이 ‘선형’이다 라고 하려면 다음 조건을 만족해야 합니다.
1. 종속변수 y와 모든 도함수 y’, y”, … 의 차수가 1차이다.
2. y, y”, y”’, … 의 계수는 독립변수 x에 의존한다. (y에 의존하면 안 됨)
이 조건을 만족해야 선형이라고 합니다.
앞서 주어진 이 미분 방정식의 경우
y’의 차수가 1차이고, 계수가 4x이므로 x에 의존하는 상황이고
역시 y의 계수가 1이므로 y에 관계없는 상황이므로 선형입니다.
y”-2y’+y=0 이라는 미분 방정식이 있다면
역시 y”의 차수가 1이고 계수가 y에 관계없고
y’의 차수가 1이고 계수가 -2이므로 y에 관계없고
y도 그런 식이므로 선형을 만족합니다.
이것들은 전부 선형이 아닌(비선형) 미분 방정식입니다.
첫번째의 경우 y”의 계수가 y에 관계있으므로 비선형이고
두번째의 경우 sin(y)가 있으므로 비선형이고요
세번째의 경우 y의 차수가 2이므로 비선형입니다.
미분 방정식의 해는, 미분 방정식에 대입했을 때 만족합니다.
어떤 x에 관한 방정식에서 x=3이 해임을 증명하려면
방정식의 x에다가 3을 대입해서 만족하면 그게 해라는걸 증명할 수 있는데
그것처럼 미분 방정식에서도 똑같습니다.
이런 식으로 직접 미분해서 대입해보면 y가 그 미분방정식의 해가 맞다는걸 알 수 있습니다.
미분 방정식의 해가 되려면, 어쨌든 그 해는 미분 가능해야하므로 연속이어야 합니다.
미분 방정식을 풀고 나면 일반해와 특수해, 즉 General Solution과 Particular Solution으로 나뉘는데
일반해의 경우 해를 구하고 나서 상수가 남아있는 상황을 말하는 것이고
특수해는 해를 구했을 때 상수가 남아있지 않은 상황을 말하는 것입니다.
어떤 미분 방정식을 풀어서 해를 구했더니 상수가 들어있다 그러면 일반해입니다.
그런데 문제에서 주어진 초기 조건이 있는데, 그 조건을 대입해서 상수를 처리해주고 결과적으로 상수가 없어졌다
그러면 그것이 특수해입니다.
특히 물리학이나 공학에서는 특수해를 구하는게 중요합니다.
이를테면 어떤 물체가 처음에 정지해있었다는 초기조건을 쉽게 볼 수 있는데 그런 초기조건을 이용해서 특수해를 구하는것이죠.
특히나 미분 방정식에서 도함수의 계수와 임의의 상수의 개수가 일치합니다.
2계 미분 방정식이면 임의의 상수의 개수가 2개가 나와야되므로
특수해를 구하기 위해서는 초기조건도 두 개 필요한것이고
3계면 3개의 상수가 나오는 것이고요. (물론 초기조건도 3개 필요함)
이런 상황도 있습니다.
어떤 미분 방정식을 풀었는데 일반해도 구했고, 초기조건도 넣어서 특수해를 구했는데
잘 살펴보니 y=0도 해입니다.
그런데 y=0이라는 해는, 일반해의 c에 어떤값을 넣더라도 나올수가 없어요
이런 경우 y=0은 일반해도 아니고 특수해도 아닌데, 이걸 ‘특이해’라고 합니다. (Singular Solution)
특히나 비선형 미분 방정식에서 특이해가 자주 나타납니다.
어떤 미분 방정식을 풀었는데, 두 개의 해가 나왔다고 합시다.
그런데 앞서 미분 방정식에서 도함수의 계수가 임의의상수의 개수와 같다고 했습니다.
이 경우 2계 미분 방정식 이므로 임의의 상수가 두 개 나와야 하는데
해가 두 개이고 임의의 상수가 각각 하나씩 나오긴 했습니다.
그런데 신기하게도 이 경우는 x1과 x2라는 해를 그냥 단순히 더해서 하나의 x라는 해를 만들 수 있는데
이 경우도 해가 맞습니다.
x1과 x2의 선형 결합이 된 x라는 해도 해가 된다는것이죠.
이 경우도 역시 임의의 상수의 개수가 2개입니다.
일반적인 경우를 생각해보면, n계 미분 방정식의 특수해를 구하기 위해서
n계 미분 방정식을 풀어서 나온 일반해에서 임의의 상수의 개수는 n개이므로
초기 조건이 n개 필요하다는 걸 알 수 있습니다.
이 때 초기조건에서 y에 대입하는 x값이 동일해야합니다.
이런 식으로 말이죠.
같은 x값을 대입해준 초기조건만이 써먹을 수 있습니다.
이렇게 미분 방정식과 초기 조건을 이용해서 미분 방정식의 해를 구하는 것을 ‘초깃값 문제(Initial Value Problem)’이라고 부릅니다.
미분 방정식의 계수에 따라서 1계 초깃값 문제, 2계 초깃값 문제… 이런 식으로 부릅니다.
이런 미분 방정식을 풀어서, 초기조건을 이용해서 특수해를 구했다고 칩시다.
그런데 특수해 요거의 그래프를 그대로 그려보면
이렇게 되는데요,
우리가 지금 그린 이 그래프는 라는 함수의 그래프입니다.
그런데 문제에서 주어진 초기조건을 만족하는 부분은 단지
이부분이면 되거든요. 초기조건이 y(0)=-1 이므로 좌표상 (0, -1)을 지나는 그래프가 ‘해의 그래프’라는 것이죠
‘함수의 그래프’이냐, ‘해의 그래프’이냐의 차이점을 설명하는 좋은 문제입니다.
이런 문제가 있는데요, 위의 미분 방정식의 일반해가 주어졌고
초기조건이 주어졌습니다.
그런데 초기조건을 대입해서 풀어보면 상수가 c1=0, c1=2 이렇게 나옵니다.
모순이 되어버립니다.
이 말은 이 미분방정식의 해가 없다는 뜻입니다.
왜 해가 없냐면, 앞서 초기조건에서 같은 x값을 대입한것이 중요하다고 했는데
위의 문제에서는 하나는 pi/2 를 대입했고 다른 하나는 pi를 대입했기때문에
이 초기조건만으로는 해를 구할 수 없는것입니다.
다음에는 변수분리형 미분 방정식에 대해 알아봅시다.
변수분리형 미분 방정식은 미분 방정식 중에 가장 간단한 형태입니다.
근데 이렇게 글 쓰다보면 미분 방정식 전부 글 쓰려면 시간이 진짜 오래 걸리겠네요….
Amazing Grace
미분방정식의 정의 + 해의 종류
1. 미분방정식
(1)미분방정식이란 방정식 속에 도함수를 포함한 방정식이다.
ex) y’+y+x=0
(2)독립변수를 1개만 가지고 있으면 상미분방정식
ex) y’=x
(3)독립변수를 2개이상 가지고 있으면 편미분 방정식
ex)y’+x’+z=0
미분방정식의 도함수중 최고계 도함수의 계수를 미분방정식의 계수라고 한다.
ex)( y”)^3+3y=5x 2계
최고계 도함수의 최고차수를 미분방정식의 차수라고 한다.
ex)( y”)^3+3y=5x 3차
이때 미분방정식의 차수가 1차식일때를 선형, 그렇지 않을 경우를 비선형이라한다.
이번에는 해에 대해서 알아볼건데 그전에 예시를 하나 들면
위와 같은 식을 만족하는 일반해는 y=ax이다.
2. 해의 종류
(1) 일반해
방정식을 만족하는 무수히 많은 해
위에있는 무수히 많은선들은 다 일반해
2. 특수해
방정식을 만족하는 해의 곡선에서 어떤 상수가 정해지면 그중 한 곡선이 결정되는데 이게 특수해 이다.
3. 특이해
미분방정식으로부터 얻을수 없는 해.
(3개의 해 모두다 방정식의 형태로 나타난다.)
#미분방정식#일반해#특수해#특이해
6강. 일반해와 특수해(2)
미분방정식(6)
2012년 12월 10일 월요일
오전 4:18
일반해란 무엇인가?
지난시간에 일반해에 대해 알려드리려다가…
이 각박한 세상 속에서 정신을 안 차려서…
엄청난 오개념을 포스팅 해 버렸습니다 ㅜ.ㅜ
오개념 짚어주신 오늘의 유머 ABC님 감사드립니다.
그래서 오개념 바로잡기 긴급 프로젝트에 들어갑니다.
전부터 느끼는 것인데…
전공책은 페이지 순서대로 공부하면 바보입니다.
전공서적은 소설책이 아닙니다.
필요한 부분은 먼저 공부 하는…
페이지 순서를 무시해야 될 경우가 자주 있어요
저도 원래는 당연히 맨 앞쪽부터 차례대로 공부 했지만
아무것도 모르고 억지로 공부하던 내용이
뒤에서 설명이 되어 있는 경험을 몇 번 겪어 본 뒤로는
웬만한 책에는 다 있는 색인을 적극 활용하게 되었어요
모르는 개념이 나왔다!!
그러면 책 맨 뒤로 가서 색인을 찾거나
맨 앞으로 가서 목차에서 모르는 부분 찾아서
그 부분 먼저 공부하고… 그랬지요
과학 공부하시는 많은 분들은
천성이 책을 볼 때 중간내용을 건너 뛰는 것을
본능적으로 거부감 갖는 분들이 많은데…
(저는 그랬어요 ㅋㅋㅋ)
책 왔다갔다 하면서 공부하시는 것!
적응 하셔야 할 겁니다.
그러니… 우선은 그냥… 저만 따라 오세요
필요한건 먼저 배우게 해 드릴게요 ㅋㅋ
그나저나 일단 저부터 오개념을 바로 잡아야 해서…
며칠 동안 다시 공부하다 보니 일반해를 제대로 설명하려면
한 두 번 글 쓰는 것으로는 감당이 안될 듯 하지만 어쨌든 시작 하겠습니다.
잠깐 앞 부분의 진도는 건너 뛰고
8.5절부터 봐야합니다.
한글판 보아스는 417페이지~~
8.5 계수가 상수이고, 우변이 0인 이차선형방정식
이런 형태의 미분방정식의 해를 고찰한다고 하면서 시작하네요.
그러고보니…. 우변이 0이면 동차방정식이라고 말씀 드렸죠?
기억 안 나시면 미분방정식(4) 를 참고하세요~!
이런 형태의 예제로 다음 방정식을 풀어 보겠습니다.
이 표기법을 사용하면 식 (5.2)는 다음과 같이 표현 됩니다.
괄호 부분을 인수분해하면
이렇게 표현이 가능합니다.
식 (5.5)는… 필요 없어서 안 씁니다.
그런데 지금 미분연산자를
마치 변수에 곱해진 문자처럼 다루고 있는데…
이게 수학적으로 타당한가?
이런 의아함이 생기죠?
미분방정식을 풀다가 보면
미분연산자를 통째로,
또는 부분적으로 이항시키면서 계산 할 경우가 많습니다.
마치 문자식의 사칙연산 하는 것 처럼…
이런 연산은 미분연산자의 연쇄법칙 에 의해
연산과정의 타당성을 보장 할 수 있습니다.
책에서는 이런 표현이 가능함을 확인하라고 하는데…
이건 해를 먼저 구한 다음에 직접 해 보면서 체험하는 것이
훨씬 와 닿을 것 같아서 일단은 넘어가겠습니다.
그럼 결과를 다시 가지고 와서
이걸 어떻게 풀어가느냐~~하면
우리는 지금 y가 뭔지 구하고 있었죠?
저거 만족하려면 y가 0이면 끝나네요 ㅋㅋㅋ
그런데 그러면 안되고…ㅋㅋㅋ
위 조건을 만족하는 y의 값이 해가 되는 것 입니다.
당연한 얘기죠?
가끔가다가…
라고 생각하시는 분이 계시는데….
연산자입니다.
연산자는 함수에 적용되어야 수학적 의미가 있는 것이지
그 자체로는 계산이 안 되는 개념입니다.
착각하지 마세요!
다시 본론으로 돌아와서…
이면
이렇게 되니까…
(쓰잘데기 없는 것 까지 설명하고 싶을 때가 있어요 ㅋㅋ)
암튼 우리는 식 (5.7)을 풀면 되는 것 입니다.
식(5.4)를 보조방정식, 또는 특성방정식 이라고 하는데…
보조방정식을 인수분해 하듯이 분리시켜서 식 (5.7)을 만들고
(5.7)에서 분리시킨 부분의 앞부분만 가지고 오면
이거죠?
이거 풀려면… 다시 미분방정식 형태로 풀어 써야 합니다.
너무 쓸데없이 자세히 설명한다고 뭐라 하지 마세요
이곳은 “처음 공부를 시작하는 대학생을 위한 블로그”입니다.
암튼 다시 풀어쓰면
저 마지막 식…
y라는 상태에 미분연산자를 적용시켰더니(빛을 비추었더니)
-4라는 고유값(물리량)을 내어 놓고(그림자가 생기고)
상태는 그대로 있더라~~~
라고 해석 할 수 있지요?
자… 한번 미분해서 상태가 유지되면서 앞에 계수만 튀어나오는 함수
뭐가 있을까요?
그건 바로 “익스포넨셜 함수”입니다.
대충 생각해도 답은 나오지만…
원론적으로 미방의 해가 익스포넨셜 함수 형태로 나오는 이유도
이미 다룬 적 있죠?
까먹으신 분들~~
피직이의 수리물리 강좌 4강 – 미분방정식의 해는 exponential?
편을 참고 해 주세요~
다시 본 내용으로 돌아와서
이 정도는 쉽죠?
나머지 하나
그리고 이제 중요한 말이 나옵니다.
식(5.8)의 두 해는 선형독립이다.
제가 맨 처음 미분방정식 강의를 하면서
선형이를 찾아 헤맸었죠?
그 때 찾은 선형이를 오늘 좀 더 명확히 해야 하겠네요 ^^
그냥 선형이 아니라 선형독립이어야 벡터공간에서의 표현이 가능합니다.
책에서 선형 독립에 대해서 3장을 참고하라고 되어있는데요
간단히 말하면 방향이 일치하지 않는 벡터들이 서로 선형 독립입니다.
약간 수학적 표현으로 “단위벡터가 일치하지 않는 관계”라고 할 수 있죠.
예를 들면…
위 두 벡터는 선형 종속입니다.
이 두 벡터는 선형종속관계입니다.
수학에서는 종속인지 독립인지 판별하는 방법이 있는데
임의의 계수를 곱해서 더했을 때
그 결과가 0이 될 수 있느냐 없느냐로 판별합니다.
선형종속이라고 판별 할 수 있습니다.
여기서 하나 더!
이 세 벡터는 얼핏 봐서… 더해서 0이 안 나오는데..
그럼 선형 독립이냐?
아닙니다.
보라색 벡터와 빨간색벡터에
적당한 상수를 곱해서(방향은 그대로이지만 길이만 바꿔서) 더해주면
이렇게 파란색 벡터와 반대방향의 초록색 벡터를 만들 수 있기 때문에
이런 벡터들도 서로 선형 종속관계입니다.
그럼 선형 독립이려면 어떤 관계여야 하나?
바로 벡터들이 서로 “직교”관계여야 합니다.
이 “직교”라는 개념이… 나중에 차원이 높아지면
우리가 상상하는 직교 개념과 좀 달라지긴 하지만…
일단 기본적으로 직교 개념은 단위벡터가 서로 수직인 것이 맞습니다.
우리가 제일 많이 쓰는 “직교좌표계”
영어로 rectangular coordinate system
또는 이를 만든 수학자 데카르트의 이름을 따서
데카르트 좌표계, 카르테시안 좌표계(Cartesian coordinate system)
이런 이름들이 붙어있는 직교좌표계가
바로 대표적인 선형독립인 벡터공간입니다.
x축, y축, z축은 그 어떤 조합으로도 서로를 상쇄시킬 수 없습니다.
이런 관계에 있는 것이 선형 독립이고…
이것을 판별하는 방법은 Wronskian 행렬식을 풀어보는 것 입니다.
Wronskian(론스키안)은 주어진 함수들이 선형 독립인지 종속인지를
판별하는 판별식으로 다음과 같은 행렬식으로 정의합니다.
보아스 수리물리 한글판 136페이지 식(8.5)
이 때, 위와 같이 정의된 론스키안 행렬식의 값이 0이 아니면 이 함수들은 선형 독립이다.
라고 되어있는데…
왜 이러는 걸까요?
선형 독립을 판별하기 위해
이상한 행렬식을 풀어야만 하는 불편한 진실
다음시간에 계속됩니다.ㅋㅋ
Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
모든 노트 및 정보를 한 곳에서 볼 수 있습니다.
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
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먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자.
2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자.
$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$
이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자.
$$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$
이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.
$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$
이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.
정리 특성방정식이 $r_1,r_2$를 근으로 가진다면 일반해는 $y=c_1 e^{r_1x}+c_2 e^{r_2x}$이다.
$$e^{\alpha i}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$
임을 알고 있다면 특성방정식이 허근을 가지는 것을 두려워할 필요가 없다.
여기서 특성방정식이 3차나 4차라면 일반적인 풀이법을 찾을 수 있지만 5차 이상은 매우 어려울 것임을 알 수 있다.
보기 1
미분방정식 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$을 풀어보자.
동차인 2차 선형 미분방정식이다. 계수가 모두 상수이므로 $y=e^{rx}$로 놓자. 특성 방정식을 먼저 풀어서 두 근 $r_1=2,\;\;r_2=-1$을 찾는다. 일반해는 $y=c_1 e^{2x}+c_2e^{-x}$이다.
보기 2
단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 해결해 보자.
주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.
$$F=-kx$$
뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$
$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.
$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$
특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.
$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$
$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin \omega t$$
여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega=A\sin(\omega t +\phi)$$
$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$
알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법
계수가 상수 함수가 아니라면 어떻게 해결할까? 일반적으로 미분방정식의 차수를 낮추는 방법으로 알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법을 정리해 보자.
$$a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0\tag{1}$$
$a_2(x)
ot=0$로 나누어 아래와 같은 꼴로 정리하자.
$$y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\tag{2}$$
이때, $y_1$이 해라고 하고 $y_2=u(x)y_1$가 다른 해라고 가정하자.
$$\begin{split}y_2^{\prime}&=u^{\prime}(x)y_1+u(x)y_1^{\prime} \\y_2^{\prime\prime}&=u^{\prime\prime}(x)y_1+ u^{\prime}(x)y_1^{\prime} + u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \\ &= u^{\prime\prime}(x)y_1 +2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \end{split}$$
(2)에 대입하자.
$$[u^{\prime\prime}(x)y_1+2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime}]+Px)[u^{\prime}(x)y+u(x)y_1^{\prime}]+Q(x)u(x)y_1=0$$
이 식을 정리하면 아래와 같다.
$$y_1u^{\prime\prime}(x)+[2y_1^{\prime}+P(x)y_1]u^{\prime}(x)+u(x)[\underbrace{y_1^{\prime\prime}+P(x)y_1^{\prime}+Q(x)y_1}_{0}]=0$$
여기서 $v(x)=u^{\prime}(x)$로 치환하여 정리하자.
$$y_1 v^{\prime}(x)+[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)=0$$
$$y_1 v^{\prime}(x)=-[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)$$
$$\frac{v^{\prime}(x)}{v(x)}=-\frac{2y_1^{\prime}}{y_1}-{P(x)}$$
이 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 변수가 따로 분리되는 꼴이므로 풀이가 쉽다.
$$\ln |v(x)|=-2\ln |y_1|-\int {P(x)}dx+c$$
$$v(x)=u^{\prime}=\frac{c_1}{y_1^2}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$
$$u(x)=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$
$$y=u(x)y_1(x)=c_1y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}+c_2y_1(x)$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$y_2=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}\tag{3}$$
$$W(y_1(x),y_2(x))= \begin{vmatrix} y_1 & y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \\ y^{\prime}_1 & \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1}+ y^{\prime}_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \end{vmatrix} = e^{-\int P(x)dx}
ot=0$$
두 함수는 서로 독립이다.
$\blacksquare$
보기 3
미분방정식 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0$를 풀어 보자.
특성 방정식은 $2$을 해로 가지므로 $y_1=e^{2x}$는 해가 된다.
이제 $y_2=u(x)e^{2x}$를 또 다른 해라고 하자.
$$\begin{split} y_2^{\prime} &= u^{\prime}(x) e^{2x} + 2u(x) e^{2x} \\ y_2^{\prime\prime}&= u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 2u^{\prime} e^{2x} +2 u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} \end{split}$$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 4u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} – 4 [u^{\prime}(x) e^{2x}+2 u(x) e^{2x} ]+ 4u(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime}(x)= c_1$$
$$u(x)=c_1x+c_2$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$\therefore\quad y_2= x e^{2x}$$
이것을 (3)을 써서 바로 구할 수 있다.
$$W(e^{2x}, x e^{2x})=\begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\ e^{2x} & e^{2x}+ 2x e^{2x} \end{vmatrix}=e^{4x}
ot=0$$
두 함수 $y_1, y_2 $는 서로 독립이다.
일반해를 정리하면 $y=C_1 e^{2x}+C_2 xe^{2x}$이다.
일단 정리하고 가자.
미분방정식 $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+c=0$$ 의 특성 방정식은 $$am^2 +bm+c=0$$ 이다. 다음과 같이 해를 결정한다. i} 서로 다른 두 실근 $m_1,\;\;m_2$를 가질 때 $y_1=e^{m_1 x}$과 $y_2=e^{m_2 x}$이다. 그러므로 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 e^{m_2x}$이다. ii) 두 근이 $m_1=m_2$로 같다면 $y_1=e^{m_1x}$이고 $2m_1=-b/a$이다. 따라서 $$y_2= e^{m_1x} \int \frac {e^{-(b/a)dx} }{e^{2m_1x}}dx=e^{m_1x}\int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}}dx=xe^{m_1x}$$ 이다. 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 x e^{m_1x}$이다. iii) 허근 $m_1=\alpha+i \beta$와 $m_2=\alpha-i \beta$를 가질 때, 일반해는 $y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)} +C_2e^{(\alpha-i \beta )}$이다.
3차 이상인 특성 방정식을 가질 때도 인수분해가 된다면 위에 정리한 바를 써서 쉽게 해를 구할 수 있다.
보기 4
다음 미분방정식을 풀어보자. $$y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0$$
특성 방정식은 아래와 같다.
$$m^3 +3m^2-4=0$$
$$(m-1)(m^2 +4m+4)=(m-1)(m+2)^2=0$$
일반해는 아래와 같다.
$$y=c_1 e^x +c_2 e^{-2x}+c_3 x e^{-2x}$$
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미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유
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미분방정식에서는 해를 나타낼 때 선형결합을 정말 많이 활용합니다. 본격적으로 이를 접하는 단계는 2계 선형 미분방정식에서일 텐데, 실은 편미분 방정식을 가도 일반해는 죄다 선형결합으로 씁니다. 그런데 처음 배울 때 그렇게 쓰는 이유를 정확히 알지 못할 가능성이 있습니다. 바로 선형대수학 때문이죠. 선형결합 및 방정식에 대한 이론을 알아야 이 까닭을 파헤칠 수 있습니다. 그러나 어렵고 낯선 개념을 요구하는 것이 아니니 마음 굳게 먹고 하나하나 이해하려 노력하면 어렵지 않을 것입니다.
1. 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유에 대한 가장 많은 하자가 있는 답변 : 대입하면 그것도 성립한다!
실제로 이렇게 알고 있는 분들이 많습니다. ‘선형결합한 식도 대입하면 성립하니까, 그렇게 해를 쓰나보다’ 하는 것이죠. 틀린 말은 아니지만 올바른 ‘설명’은 아닙니다. 그래도, 정말 넣으면 성립하는지 확인은 해봅시다.
2계 선형 미분방정식에서 수행할 것입니다. 미분연산자를 써서 인수분해하면
$$(D-a)(D-b)y=0\;\;\rightarrow\;\; (D-a)y=0\;\;\mathrm{or}\;\;(D-b)y=0$$
$$\frac{dy}{dx}-ay=0\;\;,\;\;\frac{dy}{dx}-by=0\;\;\Rightarrow\;\;y=C_1e^{ax}
\;\;,\;\;y=C_2e^{bx}$$
이렇게 두 개의 해를 각각 구합니다. 하지만 이렇게 해보면 어떨까요? 바로 ‘치환’을 하는 겁니다. 치환은 항상 복잡한 것을 간단화 할 때, 그 중에서도 반복된 것이 여러개 있어 복잡할 때 간단화 하기 위해서 사용하는 고등수학 뿐만 아니라 대학수학에서 사기적인 스킬입니다. 다음과 같이 $z$를 치환하면 주어진 미분방정식은
$$z=(D-a)y\;\;\rightarrow\;\;(D-b)z=0$$
으로 바뀝니다. 그러면 분리 가능해졌기 때문에 그대로 $z$값을 구하면 됩니다.
$$\frac{dz}{dx}-bx=0\;\;,\;\;\int\frac{dz}{z}=\int bdx \;\;\Rightarrow \;\; \ln z=bx+k$$
여기서 $e^k=C$ 로 치환하면 $z=Ce^{bx}$가 되어
$$z=(D-a)y=\frac{dy}{dx}-ay=Ce^{bx}$$
이제 치환했던 것을 되돌리면, 1계 선형 미분방정식이 되고 이것의 해는 이미 이전 포스팅에서 완벽히 정리했습니다.
$$\begin{align*}
y=y(x)&=e^{-\int -adx}\left ( \int e^{\int -adx}Ce^{bx}dx+C_2 \right )
\\&=C_2e^{ax}+C_1e^{ax}\int e^{(b-a)x}dx
\\&=C_2e^{ax}+\frac{C}{b-a}e^bx=C_2e^{ax}+C_1e^{bx}
\end{align*}$$
이 결과는 각각에서 추출한 두 해 뿐만 아니라 이들의 선형결합도 주어진 미분방정식의 해가 됨을 보여주고 있는 것입니다. 선형결합으로 쓴 식을 이 미분방정식의 ‘일반해(general solution)’이라고 합니다.
정리($D.E$) 1.4
2계 선형 동차 미분방정식 $(D-a)(D-b)y=0$ 의 일반해는 $$y=C_2e^{ax}+C_1e^{bx}$$ 이다.
2. 내가 구한 두 함수는 전체 해의 기저(basis)이다.
그러나 위의 설명은 단순히 대입해도 그것이 해라고 말한 것일 뿐, 충분한 설명을 한 것은 아닙니다. 왜냐하면 그렇다면 또 대입해서 해가 나올 다른 식이 절대 없다는 보장을 하지는 않았기 때문입니다.
선형결합으로 해를 쓰는 근본적인 이유는 사실 미분방정식의 해는 무수히 많은데, 무수히 많은 해를 표현하는 탁월한 방법이 선형결합이기 때문이고, 그래서 이를 위해 기저(basis)의 역할을 하는 함수만 구한 뒤 이들의 선형결합을 통해 해공간의 모든 해를 생성(span)하여 압축된 표현을 하는 것입니다. 그러니 안타깝게도, 이에 대한 이해를 완벽히 하려면 선형대수의 지식을 좀 알고 있어야 합니다. 괜히 선대를 안하면 대학 수학의 아무것도 못한다는 말이 있는 것이 아닙니다. 그래도 이 블로그는 쉽게 쉽게 설명을 해주니 끝까지 읽어 내려가 봅시다.
선형대수학에서 ‘기저(basis)’란 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} $ 와 같이 어떤 공간에서 벡터 표현을 할 때 기본 재료가 되는 벡터를 말합니다. 예컨대 3차원 공간에서는 위의 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 를 들고 있으면, 이 세 벡터 앞에 임의의 숫자를 붙였을 때 $x,y,z$ 방향에 대한 모든 점 표현을 할 수 있기 때문에, 저 세 벡터는 3차원 공간 $R^3$의 모든 점을 다 나타낼 수 있습니다. 이 때 저 기저 3개는 앞에 스칼라 3개를 붙여 선형결합을 했을 때 $R^3$를 생성한다고 합니다. 즉, 기저들로 선형결합을 하면 그 기저의 개수에 해당하는 차원을 가진 공간상의 모든 점들을 모두 나타낼 수 있습니다.
그러나 수학에서 기저가 될 수 있는 것은 여러분이 생각하는 (고등학교 때 배웠던) 벡터들만이 아닙니다. 선형대수학에서 벡터의 정의에 의하면 함수 또한 벡터로서의 기능을 합니다. 따라서 함수끼리도 선형독립, 선형종속의 관계가 존재하며 선형결합을 했을 때 특정 공간이 생성될 수 있습니다.
문제는 미분방정식의 해가 무수히 많다는 것에서 시작합니다. $(D-a)(D-b)y=0$ 을 풀게 되면 가시적으로는 해가 $y=e^{ax},e^{bx}$ 만 존재하는 것으로 착각할 수 있으나, 실제로는 저 두 함수가 기저의 역할을 하여 선형결합으로 만들어낸 공간이 미분방정식의 해공간입니다. 그러니 2계 선형 동차 미분방정식은 이차방정식처럼 해가 딱 2개만 나오는 것이 아니라, 무수히 많습니다. 그러나 단편적으로 방정식을 풀면 항상 기저 2개만 구하게 됩니다. 그러니 이 기저 2개가 마치 전체 해인 양 착각하게 되고, 2계 미분방정식이니까 해가 2개 나온다고 착각하며, 갑자기 일반해를 이들을 선형결합으로 쓴다고 하니 이를 받아들이는 과정에서 에러가 발생하는 것입니다. 따라서, 2계 선형 동차 미분방정식에서 구한 $e^{ax}, e^{bx}$ 들은 기저함수에 해당하고, 전체 해는 이들의 선형결합으로 만들어 낸 해공간(solution space) 입니다. 그 점들은 무수히 많으니까 일일이 내가 다 쓸 수 없기 때문에 선형결합이라는 무기를 사용한 것입니다.
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