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원순열, 돌리면 일치한다는 문구만 나와도 풀기 싫어집니다.
단순히 공식만 외우면 너무 응용하기 힘든 원순열 개념!
공식보단 원리를 이해하고 풀어보시길 바랍니다.
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수학 공식 | 고등학교 > 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열
원순열 서로 다른 것을 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라 한다. 원순열의 수의 계산 서로 다른 $ n $개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 …
Source: www.mathfactory.net
Date Published: 12/8/2022
View: 8928
원순열 – 공식 유도, 아이디어, 적용
원순열의 공식과 그 유도과정은 크게 어렵지 않으나, 유도과정 속에 녹아있는 아이디어는 경우의 수를 다룸에 있어서 유용하게 쓰일 여지가 있습니다.
Source: color-change.tistory.com
Date Published: 6/28/2022
View: 6906
순열 – 나무위키:대문
중복 순열3. 동자 순열 / 부분중복순열 / 같은 것을 포함한 순열4. 원순열. 4.1. 같은 것이 있는 원순열. 5. 염주 순열 / 목걸이 순열6.
Source: namu.wiki
Date Published: 9/12/2022
View: 687
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- Author: 사오수학
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- Date Published: 2021. 11. 1.
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수학 공식 | 고등학교 > 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열
서로 다른 것을 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라 한다.
서로 다른 $ n $개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는
$ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ 여섯 명의 사람이 원탁에 둘러 앉으려고 한다.
서로 다른 $ n $개에서 중복을 허락하여 $ r $개를 선택하여 일렬로 나열하는 것을 $ n $개에서 $ r $개를 택한 중복순열이라 하고, 이 중복순열의 수를 기호로
\begin{gather*}
\phantom{}_{n}\Pi_{r}
\end{gather*}
과 같이 나타낸다.
[수학] 순열, 조합 공식 총정리
팩토리얼 ( ! )
팩토리얼이란 서로 다른 n개를 나열하는 경우의 수를 의미합니다. 기호로는 n! 이렇게 쓰고 계산은 n부터 1씩 줄여나가면서 1이 될때까지의 모든 수를 곱합니다.
순열 ( nPr )
순열이란 서로 다른 n개중에 r개를 선택하는 경우의 수를 의미합니다. (순서 상관 있음)
조합 ( nCr )
조합이란 서로 다른 n개중에 r개를 선택하는 경우의 수를 의미합니다. (순서 상관 없음)
중복 순열 ( nπr )
중복 순열이란 중복 가능한 n개중에서 r개를 선택하는 경우의 수를 의미합니다. (순서 상관 있음)
중복 조합 ( nHr )
중복 조합이란 중복 가능한 n개중에서 r개를 선택하는 경우의 수를 의미합니다. (순서 상관 없음)
같은 것이 있는 순열
순열이 같은 것이 포함된 원소들을 나열하는 경우의 수는 나열하는 원소의 팩토리얼에 중복된 원소들의 팩토리얼을 나누어주면 됩니다.
예를 들어 aaabb와 같은 경우 a가 3개이고 b가 2개이므로 5!을 3!와 2!로 나누어주면 됩니다.
원 순열
원 순열은 원 모양의 테이블에 n개의 원소를 나열하는 하는 경우의 수입니다.
예를 들어 원 모양의 테이블에 4명을 앉힐려고 한다면
1에서 시작해서 1234로 앉히던
2에서 시작해서 2341로 앉히던
3에서 시작해서 3412로 앉히던
4에서 시작해서 4123로 앉히던
원을 돌리면 모두 같다고 봅니다.
그렇기에 4팩토리얼을 4로 나누어준다면 아래와 같은 결과값을 얻을 수 있습니다.
염주 순열
n개의 서로 다른 종류의 구슬로 목걸이를 만드는 경우의 수
원순열과 비슷하지만 목걸이는 뒤집어도 같은 것으로 취급하므로 2배가 중복됩니다.
최단거리 경우의 수
A에서 B까지의 최단거리로 가는 경우의 수를 구하는 방법을 구하는 방법은 2가지가 있습니다.
A에서 B까지 최단거리로 가려면 무조건 위로 3번 오른쪽으로 4번을 가야합니다.
그렇기에 7개를 나열하는 것이니 7! 을 분자로 두고 오른쪽으로 4! 위쪽으로 4!을 나누어주는
아래와 같은공식을 도출하여 구하는 방법이 있고
위와 같이 합의 법칙을 통해 구하는 방법이 있습니다.
집합의 분할 S(n, k)
집합의 분할이란 서로 다른 n개를 똑같은 상자 k개에 넣는 경우의 수를 의미합니다. (빈상자는 있으면 안됌)]
ex) 서로 다른 6개의 공을 똑같이 생긴 2개의 상자에 넣는 경우의 수
6개를 똑같이 생긴 2개의 상자에 넣는 경우의 수는 6+15+10 = 31가지입니다.
위와 같이 공식을 통해서 구할 수도 있습니다.
자연수의 분할 P(n, k)
자연수의 분할이란 똑같은 n개를 똑같이 생긴 상자 k개에 넣는 경우의 수를 말합니다. (빈상자는 있으면 안됌)
ex) 서로 같은 6개의 공을 똑같이 생긴 2개의 상자에 넣는 경우의 수
이항 정리
이항정리란 (a+b)의 n승을 전개한것을 이항정리라고 합니다.
이항 정리의 파생 공식
순열과 조합 알고리즘 구현
[Algorithm] 순열 조합 공식 + 알고리즘 구현
[확률과 통계] 같은 것을 포함하는 원순열
01. 같은 것을 포함하는 원순열을 시작하며…
같은 것을 포함하는 원순열은 고등학교 과정에서 제외되어 있는데… 원순열 부분을 공부를 하다보면 누구나 같은 것을 포함한 원순열의 개수는 몇개가 될까? 라고 의문을 가질 수 있습니다. 그래서 이번 시간에는 같은 것을 포함하는 원순열의 개수를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
평가원이나 수능시험에서 간접적으로 같은 것을 포함하는 원순열과 연계된 문제가 출제가 된적이 있습니다. 그러나 이 경우에는 직접 배열을 해보면 쉽게 판단이 가능한 경우에 한해서 나왔습니다.
열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.
02. 비대칭 원순열 유형
공식 유도, 아이디어, 적용
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원순열 – 공식 유도, 아이디어, 적용
1. 들어가며
이 포스팅은 원순열의 공식 유도와 아이디어, 그 적용에 관한 글 입니다.
원순열의 공식과 그 유도과정은 크게 어렵지 않으나, 유도과정 속에 녹아있는 아이디어는 경우의 수를 다룸에 있어서 유용하게 쓰일 여지가 있습니다. 따라서 그 ‘방법’을 익혀놓고 다른 문제에 적용하는 게 중요하기에 이렇게 소개하게 됐습니다.
이 글이 필요한 학생은
1. 원순열의 공식이 궁금한 학생
2. 원순열의 공식 유도 과정이 궁금한 학생
3. 원순열 관련 응용문제를 해결함에 있어서 어려움을 느끼는 학생
4. 경우의 수 단원을 헤매는 학생
입니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.
원순열의 공식과 유도
2. 원순열 공식과 그 유도
1) 원순열
원순열 이란, 서로 다른 원소를 원형의 형태로 배열할 때 발생하는 모든 경우의 수를 말합니다.
원순열은 돌렸을 때 같은 경우는 같은 경우의 수로 간주하는 게 특징입니다.
한편, 서로 다른 n개를 원순열로 나열하는 경우의 수는 (n-1)! 로 주어집니다.
2) 원순열의 공식 유도
지금부터 간단히 원순열의 공식을 유도해드리겠습니다.
공식을 유도하다보면 거기에 녹아있는 아이디어를 배울 수가 있고 그 아이디어를 다른 문제에 적용 할 수 있기 때문에 공식을 직접 유도해 보는 것은 좋은 공부방법이라 할 수 있습니다.
<원순열 공식 유도>
아래의 8등분 분할된 원을 봅시다.
이제 여기에 서로 다른 여덟가지의 색을 칠할 것입니다. 그 색을 임의로 A,B,C,D,E,F,G,H라 하죠.
그리고 그림상 회전하여 같으면 같은 경우로 치겠습니다.
어떻게 하면 될까요?
먼저, 특정한 한 가지 색(A)을 미리 칠해 놓습니다.
어쨌건 여덟 가지 색깔 모두 사용해야하기 때문에 일단 그 중 한 가지 색깔만 칠해놓는 것입니다.
그 색(A)을 임의로 붉은 색이라 생각하겠습니다.
저 상태에서 원을 아무렇게나 돌려보면, 모두 같은 경우임을 알 수 있습니다. 따라서 방금 우리가 한 행위, 즉 붉은 색을 미리 칠해놓는 행위는 전체 경우의 수에서 별도의 카운트가 필요하지 않습니다.
(여섯 구간 중 한 구간만을 칠했으니까 총 여섯 가지의 경우로 생각해줘야 하지 않냐는 의문이 생길 수도 있습니다. 그러나 그렇지 않습니다. 위의 분할된 원은 그 위치가 구분되지 않는 원이기 때문에, 위의 그림이나 아래의 그림은 같은 경우 입니다.)
다시 원래의 그림으로 돌아와서,
붉은색 바로 오른쪽을 기점으로 해서 시계방향으로 번호를 매겼습니다.
번호 1 : 붉은색으로부터 오른쪽으로 한 칸 떨어진 위치
번호 2 : 붉은색으로부터 오른쪽으로 두 칸 떨어진 위치
번호 3 : 붉은색으로부터 오른쪽으로 세 칸 떨어진 위치
번호 4 : 붉은색으로부터 오른쪽으로 네 칸 떨어진 위치
번호 5 : 붉은색으로부터 오른쪽으로 다섯 칸 떨어진 위치
번호 6 : 붉은색으로부터 오른쪽으로 여섯 칸 떨어진 위치
번호 7 : 붉은색으로부터 오른쪽으로 일곱 칸 떨어진 위치
각 번호는 붉은 색을 기준으로 모두 ‘다른 위치’가 됩니다.
즉, 7개의 서로 다른 위치가 순서를 가지고 나열되는 순열이 발생합니다.
앞에서 붉은색을 미리 칠해놓는 행위 자체는 별도의 카운트가 필요없다고 했습니다. 하지만 붉은색을 미리 칠함으로써 우리가 알고있는 ‘순열’의 개념을 적용시킬 수 있게끔 상황이 바뀌었습니다.
이제 이 서로 다른 위치에 나머지 7개 색깔을 순서대로 칠하면 됩니다. 따라서 위의 원순열에서 여덟가지 색으로 칠하는 모든 방법의 수는 (붉은 색을 제외한) 7! 가지 입니다.
앞의 논리를 그대로 적용하면, n개를 원형으로 나열하는 원순열의 총 가지수는 (n-1)! 임을 유추할 수 있습니다.
이처럼 원순열에서는 하나의 특정 원소를 미리 배열해놓으면 자연스럽게 나머지 위치가 서로 다른 위치로 구분되는 성질, 즉 일반적인 순열로 상황이 바뀌는 성질을 이용해서 경우의 수를 구합니다.
3. 원순열 공식의 적용
원순열 공식의 적용 (응용)
<문제>
그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 3개와 이 세 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 7개의 영역에 서로 다른 7가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다.
한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]
1. 1260
2. 1680
3. 2620
4. 3760
5. 5040
2) 문제에의 적용
이제 위의 공식유도에서 쓰인 아이디어를 문제에 적용해보겠습니다.
주어진 그림은 원순열의 상황이랑 비슷합니다.
i) 일곱가지 색깔 중 한 가지 색깔을 뽑아 가운데에 칠하기.
총 일곱가지 색깔(A,B,C,D,E,F,G)중 한 가지 색깔을 뽑아 가운데에 칠하겠습니다.
(공식을 유도했던 앞의 상황과는 다릅니다. 앞의 상황에서는 붉은색을 칠하는 위치가 서로 구분되지 않는 것이고, 지금 이 상황은 가운데부분에 들어갈 색깔을 정해주는 상황입니다.)
가운데에 칠할 7가지 색깔 중 한 색을 임의로 붉은색이라 하고 아래와 같이 번호를 매기겠습니다.
ii) 나머지 6개의 색깔 중 ①,②,③에 칠할 세 가지 색깔 정하기.
이제 나머지 6개의 색깔 중 세 가지만 뽑아 1, 2, 3 위치에 칠해봅시다.
먼저, 6가지 색깔 중 세 가지 색을 선정하는 가지 수
iii) 그 세 가지 색을 ①,②,③에 칠하기.
다음으로, ①,②,③위치에 칠하는 가지 수
이 경우는 원순열인데요.
앞에서 뽑은 세 가지 색깔을 임의로 B,C,D라 하고, 그 중 특정 색(B)을 아무 위치(①번위치)에 미리 칠해놓읍시다. (어차피 색 B는 세 위치 중 한 위치에는 칠해져야 하니까요.)
①번에 칠해진 B는, 회전을 시키면 위치 ②로 갈 수도 있고 ③으로 갈 수도 있습니다. 따라서 처음 칠하는 위치 ①은 사실은 ②가 될 수도 있고 ③이 될 수도 있습니다.
즉, 처음 칠할 때의 위치는 원순열의 특성 상 구분할 수 없는 위치가 됩니다.
이제 남은 두 색 C,D를 ②번 또는 ③번에 칠해야하는데요.
①번에 B가 칠해져있으므로 이 때는 ②와 ③의 위치가 확연히 구분됩니다.
위치 ②: 위치 ①에서 오른쪽 아래.
위치 ③: 위치 ①에서 왼쪽 아래.
따라서
위치 ②에 C를 칠하고 위치 ③에 D를 칠하느냐
위치 ②에 D를 칠하고 위치 ③에 C를 칠하느냐
하는 두 가지 경우의 수 즉, 두 가지 ‘순열’이 발생합니다.
이를 굳이 원순열의 공식으로 표현하면,
①,②,③에 칠한 색을 각각 노란색, 파란색, 초록색으로 보고 아래와 같이 번호 ④,⑤,⑥을 매기겠습니다.
iv) 나머지 세 가지 색을 ④,⑤,⑥에 칠하기.
이제 일곱가지 색 중 세 가지 색(E,F,G)만 남았습니다. 이 색을 이제 ④,⑤,⑥에 각각 칠해야 하는데요. 주의할 점은, 여기서는 원순열이 아니라는 것입니다. 상황(위 그림)을 잘 보시면 세 가지 위치 ④,⑤,⑥은 모두 명확히 구분되어 있습니다.
위치 ④ : 노란색과 인접한 부채꼴
위치 ⑤ : 파란색과 인접한 부채꼴
위치 ⑥ : 초록색과 인접한 부채꼴
따라서 남은 색 E, F, G을 칠하는 경우는 회전했을 때 서로 구분이 되지 않는 원순열로 보는 게 아니라, 서로 다른 위치에 순서를 가지고 나열하는 순열로 보는 게 맞습니다. 따라서 그 경우의 수는
v) 종합
1), 2), 3), 4)에서 구한 경우의 수는 모두 동시에 일어납니다. 따라서 총 가지의 수는 이들을 곱한 값인
입니다. //풀이 끝
4. 정리
정리
이번 포스팅에서는
1. 원순열의 개념 과
2. 원순열의 공식유도 과정 및
3. 공식 유도 과정에 녹아 있는 아이디어
를 되짚어보고, 이를 문제에 적용했습니다.
원순열의 핵심은 「한 가지 특정 원소를 미리 배열한 후 그로부터 발생하는 나머지 원소들의 순열」입니다.
원순열은 공식 자체는 간단하지만 원리를 이해하지 않으면 응용문제에서 많이 헤맬 수 있습니다. 따라서 공식 유도 과정에서 녹아있는 아이디어를 반드시 이해하고 숙지하시어 문제에 적용할 수 있어야 합니다.
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원순열(순열) 쉽게 구하는법 (이웃해서 서기, 마주보고 서기)
고등학교 3학년 요맘때쯤이면 “확률과 통계”에서 원순열을 배우고 있지 않을까 싶습니다.
원순열은 사실 어려운 것이 아닌데 요걸 약간 응용하면 머리아파지게 되죠
순열부터 원순열 그리고 원순열의 응용까지 쉽게 할 수 있는 방법을 알아봅시당
추천해 주시면 더 많은 분들이 이 글을 보실 수 있습니다. 추천은 로그인이 필요없다니깐요 ㅎㅎ
문제)
6명의 사람이 있다고 가정합시다.
이 6명이 원탁회의를 하려고 합니다.
이 사람들이 앉을 수 있는 경우의 수는 몇가지 일까요?
풀이)
순열의 개념부터 출발해 봅시다.
6명을 원탁에 앉히는 것은 6명을 줄을 세운 다음에 첫번째와 마지막 친구를 연결하면 원이 되겠네요.
일단 6명을 줄을 세우는 경우의 수는, 자리의 개념으로 생각하면 쉬워집니다.
첫번째 자리에 몇명이 올 수 있을까,
첫번째 자리에 한명을 채우고 난 뒤에는 2번째 자리에는 몇명이 올 수있을까,
이렇게요
자 이제 줄을 세웠으니까
그런데 같은 원탁을 살짝 돌린다고 해도 그 원탁에 앉은 숫자의 배열에는 변함이 없습니다
그림을 참고하세요.
경우의 수 라는 것은 같은 여러가지 경우는 하나의 경우로 보기 때문에
(1,2,3,4,5,5 가 쓰여있는 주사위를 굴렸을 때 나오는 경우의 수는 5이지 6이 아닙니다!!)
중복되는 것은 나누어 줘야겠죠??
이렇게 원순열의 공식까지 유도하게 되었습니다.
원순열의 응용문제는 서로 이웃하거나 마주보는 친구가 있을때의 경우의 수를 구하는 것이 대표적인데요
이것은 이웃하거나 마주보는 친구 한명을 순열에서 제외시킨 다음에
나머지 사람으로 원순열을 만들고나서,
제외했던 사람을 우리가 원하는 자리에 배치하면 문제가 아주아주 쉬워집니다.
꼭 한번 생각해보세요.
응용1) 6명이 원탁에 앉는데 2명이 서로 이웃하는 경우
키워드에 대한 정보 원 순열 공식
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