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안녕하세요 🙂
이제껏 스터디 해왔던 적분의 개념, 그리고 원통좌표계 및 구면좌표계와 더불어
이번에는 스칼라함수에 대한 다중적분도 스터디 해보기위해서 영상 만들어보았습니다
항상 방문 감사합니다 ^^
네이버 스터디용 블로그
: https://blog.naver.com/bmw9707121
관성 모멘트 유도 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
여러 물체의 회전관성 유도
여러 물체의 회전관성 유도. 1-1. 회전관성(rotational inertia, moment of inertia)의 정의.. : 물체의 질량. : 회전축에서 물체까지의 거리.
Source: inphy.korea.ac.kr
Date Published: 4/30/2022
View: 1686
관성모멘트의 증명들 – 고리, 원판, 막대
보시다시피 간단한 물체의 관성모멘트를 구하는 것은 간단합니다. 여기에서는 회전축이 전부 중심축에 위치했다고 가정하고 증명을 이어나갔는데, 회전축 …
Source: gluon.tistory.com
Date Published: 7/21/2021
View: 6460
[일반물리] 회전 관성 (관성 모멘트) 유도 – 썽
회전운동에서 질량의 역할을 맡고 있는,. 회전 관성이라는 녀석을 유도해볼까 합니다! . (옛날엔 관성 모멘트로 불렸습니닷).
Source: sseong40.tistory.com
Date Published: 11/12/2021
View: 4760
03.질량 관성 모멘트(Mass moment of Inertia)
질량 관성 모멘트 유도 정역학 챕터 11, 12의 단면 2차 모멘트에 이어 질량 관성 모멘트에 대해 알아보겠습니다. >> 단..
Source: mathmecha.tistory.com
Date Published: 2/10/2021
View: 7828
구의 관성모멘트 – 생새우초밥집
유도. 구의 관성모멘트를 구하는 아이디어는 다른 강체들과는 살짝 다르다. 핵심적인 아이디어는 구분구적법과 비슷하게 구를 무수히 많은 원판의 합이라고 생각하는 …
Source: freshrimpsushi.github.io
Date Published: 7/21/2022
View: 8851
관성 모멘트 – 나무위키:대문
moment of inertia 물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며, 일반적으로 기호는 I I I를 쓴다.
Source: namu.wiki
Date Published: 2/24/2021
View: 5415
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주제에 대한 기사 평가 관성 모멘트 유도
- Author: BOS의 스터디룸
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- Date Published: 2019. 12. 14.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=Y6JyPMeAaKI
관성모멘트의 증명들 – 고리, 원판, 막대
안녕하세요. 글루온입니다. 이제부터 본격적으로 여러 물체의 관성모멘트를 구해보고자 합니다. 이번 포스팅에서는 고리, 원판, 그리고 막대의 관성 모멘트를 구해 보겠습니다.
혹시 지난 포스팅을 보지 못하셨다면 한번 보고 오시는 것도 좋을 듯 합니다ㅋㅋ 평행축 정리와 수직축 정리를 증명해놓았습니다. 아래 링크를 클릭하시면 됩니다.
우선 간단한 것들부터 시작해 보겠습니다.
1. 고리
관성모멘트의 정의에 의해
이건 생각보다 간단합니다. R 값이 상수이기 때문에 적분하는 과정에서 뒤로 쏙 빠져서 dm만 적분하면 되기 때문입니다.
2. 원판
계산을 진행하기 전에 우선 면밀도란 개념을 도입하겠습니다. 간단합니다.
(전체 질량)/(전체 넓이) 가 바로 면밀도입니다. 여기서의 면밀도의 값은 다음과 같습니다.
한편, 넓이를 A라 하면, 미소질량 dm과 미소넓이 dA 에 대해서 다음과 같은 식이 성립합니다.
또한, 넓이는 바로 반지를 r인 원의 넓이이므로 다음과 같은 식이 성립합니다.
(미분한 것)
따라서
이므로 관성모멘트 I는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
3. 가는 막대 (중심축으로 회전)
2번과 마찬가지로 (전체 질량)/(전체 길이)라는 선밀도의 개념을 도입하겠습니다.
그럼 선밀도의 값은 다음과 같이 됩니다.
그리고
이므로 관성모멘트의 정의에 의해 계산을 해 주면
가 됩니다.
보시다시피 간단한 물체의 관성모멘트를 구하는 것은 간단합니다. 여기에서는 회전축이 전부 중심축에 위치했다고 가정하고 증명을 이어나갔는데, 회전축이 다른 곳에 있다면, 평행축 정리나 수직축 정리로 구하시면 되겠습니다.
다음 포스팅에서는 원통, 속 찬 원통 등의 회전관성 값을 알아보도록 하겠습니다.
도움 되셨다면 손가락 클릭 해 주세요^^
03.질량 관성 모멘트(Mass moment of Inertia)
>>> 질량 관성 모멘트 강의 바로가기 <<< 쥐불놀이, 질량 관성 모멘트가 클수록 돌리기 어렵지만 멈추기도 어렵다. 참조 위키백과 >>> 질량 관성 모멘트 공식 모음 바로가기 <<< 1. 질량 관성 모멘트 유도 정역학 챕터 11, 12의 단면 2차 모멘트에 이어 질량 관성 모멘트에 대해 알아보겠습니다. 단면 2차 모멘트와는 달리 질량 관성 모멘트에서는 Geometrical 대신 Mass가 쓰이는데 Mass는 물체의 관성 즉, 질량 중심의 운동을 지속하려는 성질에 관한 것이고 여기에 Moment가 붙으면 질량 중심의 회전 운동을 지속하려는 성질을 나타냄을 의미하게 된다. 아래 그림.1과 같이 회전 중심축을 기준으로 질량 m인 물체를 회전 운동시키는 외력 F가 발생하였을 때, 그림.1 뉴턴의 법칙에 의해 아래 식.1과 같이 접선 방향으로 가속도가 발생한다. 식.1 외력 외력으로 인한 미소질량에 대한 모멘트는 아래 식.2와 같다. 식.2 모멘트 이 때, 가속도 a는 회전 반경(r)과 각가속도(α)의 곱이므로 식.3 가속도 식.1에 식.3을 대입한 식.4를 식.4 다시 식.2에 대입하면 아래 식.5와 같다. 식.5 전체 모멘트를 구하기 위해 식.5를 적분하면 식.6 이 때 I를 질량 관성 모멘트라 한다. (Mass moment of inertia) 식.7 질량 관성 모멘트 앞서 언급했지만, 질량 관성 모멘트는 질량 중심의 회전 운동에서의 관성을 나타낸다. 즉, 회전 운동에 대해 저항하는 성질이다. >>> 질량 관성 모멘트 공식 모음 바로가기 <<< 2. 등가 모델로 변경 위의 그림.1의 물체를 아래 그림.2와 같은 형태의 등가(동등) 모델로 변경할 수 있다. (질량만 고려) 그림.2 등가 모델 즉, 같은 질량을 가지는 질량체를 적절한 거리(d)에 위치시키면 그림.1과 같은 질량 관성 모멘트를 가지는 등가 모델을 얻을 수 있다. 두 모델의 질량 관성 모멘트가 동일하다고 할 때, 질량체이므로 식.8 가 되고 d에 대해 정리하면 식.9와 같다. 식.9 회전 반경 이 때, d를 회전 반경이라 한다. 임의의 위치를 기준으로 물체를 회전시킬 때, 질량만을 고려하면 동등한 질량 관성 모멘트를 가지도록 하는 회전 반경을 구할 수 있다. >>> 질량 관성 모멘트 공식 모음 바로가기 <<< 3. 평행축 정리 적용 또한 질량 관성 모멘트에서도 면적 관성 모멘트에서와 같이 평행축 정리가 똑같이 적용된다. 그림.3 식.10 평행축 정리 또한, 극 관성모멘트와 직각 관성모멘트의 관계도 면적 관성모멘트에서 언급한 내용과 동일하다. (극 관성모멘트는 두 직각 관성모멘트를 합한 것과 같다.) 식.11 극 관성모멘트 다음 챕터 4의 연습 문제를 통해 이해도를 높여 보자. >>> 질량 관성 모멘트 공식 모음 바로가기 <<< 반응형
구의 관성모멘트
구의 관성모멘트
구의 관성모멘트
moment of inertia of sphere
목차 공식
유도
공식
반지름이 $a$, 질량이 $m$인 구의 관성모멘트는 다음과 같다.
$$ I=\frac{2}{5}ma^{2} $$
유도
구의 관성모멘트를 구하는 아이디어는 다른 강체들과는 살짝 다르다. 핵심적인 아이디어는 구분구적법과 비슷하게 구를 무수히 많은 원판의 합이라고 생각하는 것이다.
저 무수히 많은 원판의 관성모멘트를 다 더하면 구의 관성모멘트가 된다. 회전축과 수직한 원판의 관성모멘트는 $I = \dfrac{1}{2}mr^{2}$ ($r=$반지름, $m=$질량)이므로 구의 관성모멘트는 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ I_{\text{sphere}}=\int dI=\int \frac{1}{2}r^{2}dm $$
이제 계산하면 끝이다.
$$ \begin{align*} I_{z} =&\ \int \frac{1}{2}r^{2}dm=\int_{-a}^{a} \frac{1}{2}x^{2} \rho\pi x^{2} dz \\ =&\ \int_{-a}^{a} \frac{1}{2}\rho\pi x^{4} dz \\ =&\ \frac{1}{2} \rho \pi\int_{-a}^{a} (a^{2}-z^{2})^{2}dz \\ =&\ \frac{1}{2}\rho\pi \int_{-a}^{a} (a^{4}-2a^{2}z^{2}+z^{4})dz \\ =&\ \frac{1}{2} \rho \pi \left[ a^{4}z-\frac{2}{3}a^{2}z^{3}+\frac{1}{5}z^{5} \right]_{-a}^{a} \\ =&\ \frac{1}{2} \rho \pi \left(2a^{5}-\frac{4}{3}a^{5}+\frac{2}{5}a^{5} \right) \\ =&\ \rho \pi \left(a^{5}-\frac{2}{3}a^{5}+\frac{1}{5}a^{5} \right) \\ =&\ \rho \pi \frac{8}{15}a^{5} \end{align*} $$
그리고 구의 질량은 $\displaystyle m=\rho \frac{4}{3}\pi a^{3}$이므로 대입하면 다음과 같다.
$$ I_{z} = \left( \frac{8}{15}a^{5} \right) \left( \frac{3}{4}\frac{1}{\pi a^{3}}m \right) = \frac{2}{5}ma^{2} $$
또한 구는 모든 방향에서 대칭이기 때문에 아래의 결과를 얻는다.
$$ I_{x}=I_{y}=I_{z} $$
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