뉴턴 의 냉각 법칙 미적분 | 미적분 심화탐구(뉴턴의 냉각법칙) 14249 명이 이 답변을 좋아했습니다

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[공업수학] 뉴턴의 냉각법칙과 치환형 변수분리 미분방정식

뉴턴의 냉각법칙은 별거 없습니다. 시간에 따른 온도의 변화율을 개념으로 하는데요. 다음과 같이 표현합니다. T_0는 실내 온도 …

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Source: crush-on-study.tistory.com

Date Published: 6/29/2021

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수학-미분방정식의 모델 2 – 네이버 블로그

​<뉴턴의 냉각법칙>. ​뉴턴의 냉각법칙(Law of Cooling)​이라는 물리 법칙에 대해. 이야기하자면 다음과 같다. 만약 뜨거운 물체를 차가운 환경에 …

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Source: m.blog.naver.com

Date Published: 8/21/2022

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뉴턴의 냉각법칙을 이용한사체의 사망시각 추정 – MADE FOR ALL

일반해의상수들을결정하기위한정보의측정 .방정식을풀어특수해를구함 .사망추정시각을구함Summary .뉴턴의냉각법칙을이용하여미분방정식setup .

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Source: mydaum00.tistory.com

Date Published: 4/30/2021

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미적분

뉴턴 냉각 법칙. 냉각법칙이란? 식어가는물체의 온도T(t)의 변화율이. 물체의 온도와 물체를 감싼 매개체(ex:컵)의 고정된 온도 Ts의 차에 비례함을 …

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Source: prezi.com

Date Published: 3/13/2022

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Top 22 뉴턴 의 냉각 법칙 미적분 The 102 Latest Answer

[공업수학] 뉴턴의 냉각법칙과 치환형 변수분리 미분방정식 :: Crush on Study. Article author: crush-on-study.tistory.com; Reviews from users: …

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Date Published: 6/18/2021

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필기모음_ 뉴턴의 냉각법칙_변수분리형 미분방정식 외 – math

수학노트 관련 _ 필기모음_ 뉴턴의 냉각법칙_변수분리형 미분방정식 외. Anointing 2017. 10. 27. 18:39. 저작자표시 비영리 변경금지 …

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Source: hekbms.tistory.com

Date Published: 5/20/2022

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뉴턴의 냉각 법칙 – 요다위키

대류 냉각은 때때로 “뉴턴의 냉각 법칙”에 의해 지배된다고 한다.열전달계수가 물체와 환경의 온도차이에 독립적이거나 상대적으로 독립적일 때 뉴턴의 법칙을 따른다.이 …

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Source: yoda.wiki

Date Published: 12/3/2021

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뉴턴의 냉각 법칙(Newton’s law of cooling) – 단수이낭만상점

1. 뉴턴의 냉각 법칙 1) 정의 뉴턴의 냉각 법칙이란, 냉각되는 물체의 온도가 물체와 주변 환경 사이가 접촉하고 있는 면적에 비례하는 비율을 가지 …

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Source: gosamy.tistory.com

Date Published: 11/14/2022

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주제에 대한 기사 평가 뉴턴 의 냉각 법칙 미적분

• Author: 조정빈
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• Date Published: 2021. 1. 16.
• Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=0tAr5xnLoQg

[공업수학] 뉴턴의 냉각법칙과 치환형 변수분리 미분방정식

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▶ 뉴턴의 냉각법칙

뉴턴의 냉각법칙은 별거 없습니다. 시간에 따른 온도의 변화율을 개념으로 하는데요.

다음과 같이 표현합니다. T_0는 실내 온도 혹은 우리가 관심을 두는 물체를 둘러싼 주위의 온도정도로 알아두시면 됩니다. 고정된 값입니다! 우리가 열역학을 배울때보면, 서로 다른 온도를 가진 두 물체 혹은 공간이 존재하면 열평형을 향해 달려가지 않습니까? 그걸 표현하는 식이 뉴턴의 냉각법칙입니다. k는 비례식을 방정식으로 표현하기 위한 상수에요.

그러면 dT와 dt를 분리시켜서 공식을 세울 수 있겠죠?

이게 일반적인 식입니다. 뭐 여기서 크게 벗어나는 것 같지는 않습니다. 문제를 하나 풀어보도록 합시다.

크레이직 공업수학 10판에서 인용

이럴 때는 먼저 조건을 봅시다. 고정된 값은 22도 (방의 온도)죠? 얘는 T_0에 대입하면 됩니다. 그리고 초기의 온도계가 가리키는 눈금은 5도이므로 t=0일 때, T=5 , T_0=22이므로 적분상수 c의 값을 구할 수 있습니다.

잘 따라오셨으면 c=-17인 것을 알 수 있을겁니다.

그 다음 1분 후에 변화된 온도를 봅시다. 뭐 t를 1분으로 둬도 되고 나는 초 단위로 하고싶다하시면 60초로 둬도 상관없습니다. 자유에요 이건. 저는 계산 간단히하기 위해 1분으로 하겠습니다. 그러면 이제 상수 k값이 ln(10/17)라는 것을 알 수 있습니다.

자, 그러면 마지막으로 21.9도를 T에 대입해서 t값을 알아보도록 합시다. 21.9=22-17e^(ln(10/17))t 이렇게 식을 세울 수 있죠? 공학용 계산기를 통해서 구해보면 t=9.678…로 나옵니다. 대략 9.7분 (9분42초)정도 걸린다고 보시면 되겠습니다.

처음에 방안에 들어오는 시점으로부터 9분 42초! 라고하면 정확한 답변이 되겠죠?

크레이직 해설지에서는 580초 (대략 9.67분)으로 나온걸 보니 맞게 푼듯합니다.

▶ 치환형 변수분리 미분방정식

치환형 변수분리 미분방정식은 한눈에 봤을때는 변수분리가 되기 힘들것 같은데..? 하는 모습이지만 치환을 사용하면 눈에 확 보이는 유형입니다.

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수학-미분방정식의 모델 2

​<뉴턴의 냉각법칙>

​뉴턴의 냉각법칙(Law of Cooling)​이라는 물리 법칙에 대해

이야기하자면 다음과 같다.

만약 뜨거운 물체를 차가운 환경에 넣는다면

(혹은 차가운 물체를 따뜻한 환경에 넣는다면)​

그 물체가 차가워지는(혹은 뜨거워지는) 비율은

물체의 온도와 비례하지 않고

오히려 물체와 그 주변의 온도차에 비례한다.

수식으로 표현하면,

시간 t일 때 물체의 온도를 y(t)라 놓고

T a 를 주변 온도라고 하면

다음과 같은 미분방정식이 성립한다.​

​

y'(t)=k{y(t)-T a }​

​

이 식은 지수적 증가 혹은 감소 미분방정식과 같지 않다.​

비록 차이가 있다 하더라도

해를 구하는 방법은 같음을 알 수 있다.

냉각의 경우 T a 0이므로​

​

​

​

따라서 정리하면

​

​

​

A=ec로 놓으면​

​

​

​

여기서 A와 k는 상수이다.

​다음 예제로 뉴턴의 냉각법칙을 살펴보자.

갓 뽑아낸 커피의 온도가 190˚F라고 하자.

온도가 65˚F인 방 안에서​

5분 후 커피의 온도는 160˚F로 변하였다.

​임의의 시간 t일 때 커피의 온도를 구하고

커피가 135˚F​가 될 때까지 걸린 시간을 구하자.

함수 y(t)를 시간 t일 때 커피 온도라 하면

​

y'(t)=k{y(t)-65}​

​

일반해를 구하면

​

​

​

처음 온도 y(0)=190을 이용하면

​

190=y(0)=A e0 +65=A+65

​A=125

​

A의 값을 구했으므로

​

​

​

상수 k를 구하기 위하여

두 번째 측정 온도를 이용하면

​

160=y(5)=​125e5k+65

​

양변에서 65를 빼고 125로 나누면​

​

​

​

양변에 ln를 취하면

​

​

​

따라서 임의의 시간 t에 대하여

커피의 온도는

​

​

​

커피의 온도가 ​135˚F가 될 때의 시간을 구하자.

​

​

​

​<복리>

​연이율 7%로 8000달러를 은행에 예금하면

연말에 받게 되는 돈은 다음과 같다.

​

$8000​+0.07·$8000=%8000(1+0.07)=$8560

​

반면에 만약 은행에서 연 7%로

이자를 일 년에 두 번 지급한다면

3.5%의 이자율로 일 년에 두 번 받게 될 것이다.

따라서 연말에 받게 되는 돈은 다음과 같다.​

​

​

​

이러한 방식으로

매달 복리와 매일 복리로 계산하면​

연말에 받게 되는 돈은 각각 다음과 같다.​

​

​

​

매 순간마다 지불되는 연속 복리를 생각해 보자.

이 경우 연수익율(APY)은 다음의 극한값이 될 것이다.​

​

​

​

이 극한을 계산하기 위해서

다음 개념을 이용하자.

​

​

​

n=0.07m으로 놓으면

​

​

​

따라서 연속 복리로 계산하면

이율이 거의 7.3%이 되고​

이자는 다음과 같다.

​

$8000(e0.07-1​)≒580.07

​

따라서 총액 85​80.07달러를 받게 된다.

일반적으로 연이율 r로 원금 P달러를

일 년에 n번의 복리로 투자한다고 가정하자.

그러면 t년 후의 총액은

​

​

​

연속 복리로 투자하면(즉 n→∞의 극한을 취하면)

​

$Pert

​

역으로, 연속 복리로 투자한 원금의

t년 후의 합을 y(t)라 하면

y(t)의 변화율은

​

y'(t)=ry(t)

​

r은 연이율이다.

원금 P달러는

​

$P=y(0)=Ae0=A​

​

따라서 다음과 같이 정리된다.

​

​y(t)=Pert달러

뉴턴의 냉각법칙을 이용한사체의 사망시각 추정

뉴턴의냉각법칙을이용한사체의사망시각추정뉴턴의냉각법칙을이용한사체의사망시각추정 냉각 속도에 관한 경험적 법칙 주변과의 온도 차가 클수록 빨리 식는다 . )(rTTkdtdT … ( T : 온도, t : 시간, k: 비례상수, Tr : 주변온도 ) 이를 ‘뉴턴의 냉각법칙’이라고 한다 . Crime Scene Investigation Crime Scene Investigation .호텔로부터신고를받고출동-사체확인시각은0시 .이때사체의온도는30℃(현장상태유지중요!) .새벽1시사체의온도는28℃ .생존시체온은37℃(라고가정) .방안의온도는20℃로일정(현장상태변화는금기!) .Q: 사체의사망시각은? Setup of the Problem )(rTTkdtdT … 20.rT(뉴턴의 냉각법칙 ) (방의 온도 ) (초기조건) (비례상수 k의 결정을 위해 필요 ) 30)0()(00…TtTT 28)1(.T 풀이 (#1/4) )(rTTkdtdT … 30)0(.T28)1(.T20.rT변수분리 dtkTdT .. .20적분구간 …. . ttTTdtkTdT0020적분공식 )ln( 1baxabaxdx .. .. 적분 ktTT … 30)20ln( 풀이 (#2/4) ktTT … 30)20ln(ktT….)10ln()20ln(ktT…)21.0ln( 로그공식 .. . .. . ..BABAlnlnln지수-로그변환 )exp(lnyxxy…)exp(21.0ktT… 풀이 (#3/4) )exp(21.0ktT…kteT…21.0kteT…1020 비례상수 k의 결정을 위해 추가 조건을 적용해야 한다 . 281020)1(….keT8.0..ke)8.02(10)(1020ttkeT…..abbaxx.)( 풀이 (#4/4) )8.02(10tT.. 이제 마지막으로 T=37℃인 시간을 구해야 한다 . )8.02(1037t..t8.027.3..t8.07.1.)8.0log()7.1log(t. ) 232(378.2)8.0log( )7.1log( 전분시간….t Temperature In Time 20.rT300.Tt)8.02(10tT.. 최종적으로 방의 온도에 수렴 Conclusion .사망시각= 밤9시37분경 .피의자들을수배하여이시간의알리바이를추궁! Conclusion .사망시각= 밤9시37분경 .피의자들을수배하여이시간의알리바이를추궁! Summary .뉴턴의냉각법칙을이용하여미분방정식setup .일반해의상수들을결정하기위한정보의측정 .방정식을풀어특수해를구함 .사망추정시각을구함Summary .뉴턴의냉각법칙을이용하여미분방정식setup .일반해의상수들을결정하기위한정보의측정 .방정식을풀어특수해를구함 .사망추정시각을구함 Used Math. Formulas Integration Formula )ln( 1baxabaxdx .. .. Log-Exp Conversion )exp(lnyxxy… Log Formula ..BABA/lnlnln.. Exp. Formula abbaxx.)(

뉴턴의 냉각 법칙

물리법

뉴턴의 냉각 법칙에 따르면 신체의 열 손실률은 신체와 환경의 온도 차이에 정비례한다. 이 법은 온도 차이가 작고 열 전달 메커니즘의 특성이 그대로 유지된다는 조건을 포함시킬 수 있는 자격을 자주 갖는다. 이와 같이 열손실과 온도차이를 매개하는 열전달계수가 상수라는 진술에 해당한다. 대부분의 물질의 열전도율이 온도에 약하게 의존할 뿐이기 때문에 이 조건은 일반적으로 열전도(푸리에의 법칙에 의해 보장되는 곳)에서 충족된다. 대류 열전달에서 뉴턴의 법칙은 유체의 성질이 온도에 따라 크게 달라지지 않는 강제 공기나 펌핑 유체 냉각에 대해 따르게 되지만, 유량의 속도가 온도차에 따라 증가하는 부력 구동 대류에 대해서는 대략적으로만 적용된다. 마지막으로, 열 방사선에 의한 열전달의 경우, 뉴턴의 냉각 법칙은 아주 작은 온도 차이에 대해서만 유지된다.

온도 차이에 관해서 언급할 때, 뉴턴의 법칙은 (낮은 바이오트 수 및 온도 독립 열 용량과 같은 몇 가지 더 단순한 가정으로 시간의 함수로 온도 차이를 표현하는 단순한 미분 방정식을 초래한다. 그 방정식의 해법은 시간에 따른 온도차이의 지수적 감소를 설명한다. 온도차이의 이러한 특성 붕괴는 뉴턴의 냉각 법칙과도 관련이 있다.

역사적 배경

아이작 뉴턴은 1701년에 익명으로 냉각에 관한 그의 작품을 “Scala oldum Caloris”로 출판했다. 철학적 거래의 “Calorum Descriptions & signa”[1][2] 22권 270호

뉴턴은 1701년에 원래 위의 형태로 자신의 법칙을 진술하지 않았다. 오히려 오늘날의 용어를 사용하여 뉴턴은 어떤 수학적인 조작 후에 신체의 온도 변화 속도는 신체와 주변 환경의 온도 차이에 비례한다고 지적했다. 뉴턴 자신이 부여한 이 최종적인 가장 간단한 버전의 법칙은 부분적으로 뉴턴의 시간과 열과 온도의 개념 사이의 혼동 때문이었는데, 이 개념은 훨씬 뒤에야 완전히 풀릴 것이다.[3]

2020년 마루야마와 모리야는 뉴턴의 현대적 기구를 이용한 실험을 반복했고, 현대적인 데이터 감소 기법을 적용했다.[4] 특히 이들 조사관들은 고온(뉴턴이 사용한 용융 금속의 경우)에서의 열방사선을 고려했고, 공기 흐름에 미치는 부력 영향을 고려했다. 뉴턴의 원본 데이터와 비교하여, 그들은 그의 측정(1692년부터 1693년까지)이 “정확했다”고 결론지었다.[4]

냉각 메커니즘과의 관계

대류 냉각은 때때로 “뉴턴의 냉각 법칙”에 의해 지배된다고 한다. 열전달계수가 물체와 환경의 온도차이에 독립적이거나 상대적으로 독립적일 때 뉴턴의 법칙을 따른다. 이 법은 유체 속도가 온도 차가 증가해도 상승하지 않는 강제 공기와 펌핑된 액체 냉각에 적합하다. 뉴턴의 법칙은 순전히 전도형 냉각에서 가장 밀접하게 지켜진다. 단, 열전달계수는 자연대류(부유구동력) 열전달의 온도차 함수다. 그 경우 뉴턴의 법칙은 온도차가 비교적 작을 때에만 그 결과에 근사치를 낸다. 뉴턴 자신도 이러한 한계를 깨달았다.

지수를 포함함으로써 더 큰 온도 차이의 대류에 관한 뉴턴의 법칙에 대한 보정은 1817년 두롱과 쁘띠에 의해 이루어졌다.[5] (이들은 결정의 어금니 특정 열 용량에 관한 둘롱-페티트 법칙의 제정으로 더 잘 알려져 있다.)

뉴턴의 법칙을 따르지 않는 또 다른 상황은 복사열전달이다. 복사 냉각은 물체와 그 환경의 절대 온도의 4강 차이에 따라 열 전달 속도가 달라지는 스테판-볼츠만 법칙에 의해 더 잘 설명된다.

뉴턴 법칙의 수학적 공식화

열전달 문헌에 사용된 뉴턴의 법칙의 진술은 신체의 열손실 비율이 신체와 그 주변 온도 차이에 비례한다는 생각을 수학에 넣는다. 온도 독립적인 열 전달 계수의 경우, 이 문장은 다음과 같다.

Q ˙ = h A ( T ( t ) − T 부러워하다 ) = h A Δ T ( t ) , {\dottyle {Q}=hA\left(t)-T_{\text{env}\오른쪽)=hA\,\Delta T(t),}

어디에

Q ˙{\ displaystyle {\dot{Q}} 은 (는) 몸 밖으로 열이 전달되는 속도(SI 단위:와트)이며,

h {\displaystyle h} 은 열 전달 계수( T 와는 독립적으로 표면 전체에서 평균)이다(SI 단위: W/m³K 2 ),

A {\displaystyle A} 은 (는) 열 전달 표면 영역(SI 2 단위: m),

T {\displaystyle T} 은 (는) 물체 표면의 온도(SI 단위: K),

T env {\ displaystyle T_{\text{env}}} 은 (는) 환경의 온도, 즉 표면에서 상당히 먼 온도(SI 단위: K),

Δ T ( t ) = T ( t ) – T 환경 {\ displaystyle \Delta T(t)=T(t)_{\text{env}} 는 환경과 개체 사이의 시간 의존적인 온도 차이(SI 단위: K)이다

열전달계수 h는 유체의 물리적 특성과 대류가 발생하는 물리적 상황에 따라 달라진다. 따라서 단일 사용 가능한 열 전달 계수(냉방 및 가열 시 적용되는 온도 차이 범위에 걸쳐 유의하게 달라지지 않는 계수)를 분석해야 하는 모든 시스템에 대해 실험적으로 도출하거나 발견해야 한다.

공식과 상관관계는 일반적인 구성과 유체의 열전달계수를 계산하기 위해 많은 참고문헌에서 이용할 수 있다. 층류 흐름의 경우 난류 흐름은 열 전달 표면의 경계 층 내에서 강한 혼합을 가지기 때문에 열 전달 계수는 보통 난류 흐름보다 작다.[6] 층류에서 난류 흐름으로 전환될 때 시스템의 열 전달 계수가 변한다는 점에 유의하십시오.

단순제형

비차원화함으로써 미분방정식은

T ˙ = r ( T 부러워하다 − T ( t ) ) , {\dot스타일 {\T}=r\left(T_{\text{env}-T(t)\right),}

어디에

T ˙{\ displaystyle {\dot{T}} 은 (는) 열 손실 속도(SI 단위: K/초),

T {\displaystyle T} 은 (는) 물체 표면의 온도(SI 단위: K),

T env {\ displaystyle T_{\text{env}}} 은 (는) 환경의 온도, 즉 표면에서 상당히 먼 온도(SI 단위: K),

r {\displaystyle r} 은 열 전달 계수(SI 단위: 1/초)이다.

변수 분리를 사용하여 초기 가치 문제를 해결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

T ( t ) = T 부러워하다 + ( T ( 0 ) − T 부러워하다 ) e − r t . T(t)= T_{\text{env}+(T(0)-T_{\text{env})e^{-rt}. }

비오트 수

주요 기사: 비오트 수

비오트 번호(Biot number)는 차원이 없는 수량으로 신체에 대해 다음과 같이 정의된다.

비 = h L C k b , {\displaystyle {\text{Bi}={\frac {hL_{\rm {C}}{k_{\rm {b}},}

어디에

h = 필름 계수 또는 열 전달 계수 또는 대류 열 전달 계수,

L C = 특징적인 길이, 즉 L C = V body / A surface {\ displaystyle L_{\rm}=V_{\text{body}/A_{\text{surface }}}},

k b = 신체의 열전도율.

비오트 수의 물리적 의미는 풀에 갑자기 담근 뜨거운 금속 구체에서 주변 액체로 열이 흐르는 것을 상상하면 알 수 있다. 열 흐름은 두 가지 저항을 경험한다: 첫째는 구의 표면 바깥쪽이고, 둘째는 고체 금속(구체의 크기와 구성 모두에 의해 영향을 받는다). 이러한 저항의 비율은 무차원 바이오트 수이다.

유체/sphere 인터페이스의 열저항이 금속구 내부가 제공하는 열저항을 초과할 경우, Biot 번호는 1보다 작을 것이다. 1보다 훨씬 작은 시스템의 경우, 열이 표면에서 구체로 통과함에 따라 이 온도가 변화할 수 있지만, 구의 내부는 항상 같은 온도를 갖는 것으로 추정할 수 있다. 물체 내부의 (상대적으로 균일한) 온도에서의 이러한 변화를 설명하는 방정식은 온도 차이의 관점에서 표현된 뉴턴의 냉각 법칙(아래 참조)에 기술된 단순한 지수식이다.

이와는 대조적으로 금속구가 클 수 있어 특성 길이가 비오트 수가 1보다 클 정도로 증가할 수 있다. 이 경우 구체가 좋은 도체임에도 불구하고 구내의 온도 구배가 중요해진다. 마찬가지로 구가 목재나 스티로폼과 같은 열절연(전도성이 떨어지는) 물질로 만들어진 경우, 열 흐름에 대한 내부 저항은 훨씬 더 작은 구라도 유체/sphere 경계에서 이를 초과할 것이다. 이 경우 다시 비오트 수는 1보다 클 것이다.

0.1보다 작은 Biot 숫자의 값은 몸 내부의 열전도가 표면에서 떨어져 있는 열대류보다 훨씬 빠르며, 그 내부에서는 온도 구배가 무시해도 된다는 것을 의미한다. 이는 과도 열 전달 문제를 해결하는 특정 방법의 적용 가능성(또는 적용 불가능)을 나타낼 수 있다. 예를 들어, 0.1보다 작은 Biot 숫자는 과도 열 전달의 일괄 캐패시턴스 모델(일명 일괄 시스템 분석이라고도 함)을 가정할 때 일반적으로 5% 미만의 오차가 존재함을 나타낸다.[7] 일반적으로 이러한 유형의 분석은 신체의 내부 에너지가 온도에 정비례하기 때문에 단순한 지수적인 난방 또는 냉방 동작(“뉴턴어” 냉방 또는 난방)으로 이어지고, 이는 신체의 내부 에너지가 온도에 정비례하기 때문에 그 내부 에너지와 그 내부 에너지의 내부 에너지는 그 온도와 정비례하기 때문에 열 전달 속도를 결정하게 된다. 이는 이러한 시스템에서의 열 전달을 설명하는 간단한 1차 미분 방정식으로 이어진다.

0.1보다 작은 Biot 번호를 갖는 것은 물질을 “열적으로 얇은” 물질로 표시하며, 온도는 물질의 부피 전체에 걸쳐 일정하다고 가정할 수 있다. 그 반대도 마찬가지다. 0.1(‘열두께’ 물질)보다 큰 Biot 숫자는 이러한 가정을 할 수 없음을 나타내며, 물질체 내의 시간 변이 및 비공간 균일 온도장을 설명하기 위해 “변환 열전도”에 대한 보다 복잡한 열전달 방정식이 요구될 것이다. 단순한 기하학적 형태와 균일한 재료 열전도도를 위해 존재할 수 있는 이러한 문제를 다루는 분석 방법은 열 방정식에 관한 기사에 설명되어 있다.

뉴턴의 법칙 과도냉각 적용

물체의 일시적인 냉각을 위한 간단한 해결책은 바이오트 수가 약 0.1 미만인 조건인 물체 표면으로부터 멀리 떨어진 열전달 저항(외부 전도 또는 대류에 의한)에 비해 물체 내부의 열 저항이 작을 때 얻을 수 있다. 이 조건은 신체 내부의 거의 균일한 단일 온도를 추정할 수 있게 한다. 이 온도는 시간에 따라 다르지만 위치에 따라 달라지지 않는다. (그렇지 않으면 신체는 한 번에 많은 다른 온도를 가질 수 있다.) 이 단일 온도는 일반적으로 시간이 경과함에 따라 기하급수적으로 변화한다(아래 참조).

바이오트 수치가 낮다는 조건은 이른바 덩어리 캐패시턴스 모델로 이어진다. 이 모델에서 내부 에너지(체내 열 에너지의 양)는 일정한 열 용량을 가정하여 계산한다. 그럴 경우, 신체의 내부 에너지는 신체의 단일 내부 온도의 선형 함수다.

뒤따르는 덩어리 캐패시턴스 용액은 강제대류에서와 같이 일정한 열전달 계수를 가정한다. 자유대류의 경우 덩어리 캐패시턴스 모델은 온도차에 따라 달라지는 열전달계수로 해결할 수 있다.[8]

일괄 캐패시턴스 객체의 1차 과도 응답

총 내부 에너지가 U {\displaystyle U }( 줄 단위)인 덩어리 캐패시턴스 물체로 처리되는 차체는 단일 내부 온도 인 T ( t ){\displaystyle T(t)} 가 특징이다 . 신체의 열 캐패시턴스 C {\displaystyle C} 은 ( 는) 압축 불가능한 소재의 경우 C = d U/ d T {\displaystyle C =dU/dT}( J/K 단위)이다. 내부 에너지는 신체의 온도, 열 캐패시턴스(온도와 무관하게 측정됨) 및 내부 에너지가 0인 기준 온도에 따라 기록될 수 있다. U = C ( T – T ref ) {\displaystyle U=C(T-T_{\text{ref}})} .

시간 에 따라 U {\displaystyle U} 을(를) 차별화하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

d U d t = C d T d t . {\displaystyle {\frac {dU}{dt}=C\,{\frac {dT}{dt}}. }

Applying the first law of thermodynamics to the lumped object gives d U d t = − Q ˙ {\textstyle {\frac {dU}{dt}}=-{\dot {Q}}} , where the rate of heat transfer out of the body, Q ˙ {\displaystyle {\dot {Q}}} , may be expressed by Newton’s law of cooling, and where no work transfer occurs for an incompressible mater 이알. 그래서,

d T ( t ) d t = − h A C ( T ( t ) − T 부러워하다 ) = − 1 τ Δ T ( t ) , {\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}=-{\frac {hA}{C}(T)-T_{\text{env})=-{\frac {1}{\tau}\Delta T(t),}

여기서 시스템의 시간 상수는 τ = C / ( h A ) {\displaystyle \tau = C /(hA)} 입니다 . 열 캐패시턴스 C {\displaystyle C} 은(는) 물체의 특정 열 용량, c {\displaystyle c}( 질량 m {\ displaystyle m}(kg ) 그러면 시간 상수는 τ = m c / ( h A ) {\displaystyle \tau =mc/(hA)} 입니다 .

환경 온도가 일정하게 시간 내에 일정 할 경우 Δ T ( t ) = T ( t ) – T 환경 {\ displaystyle \Delta T(t)=T(t)_{\text{env}}} 를 정의할 수 있다 . 방정식이 되다

d T ( t ) d t = d Δ T ( t ) d t = − 1 τ Δ T ( t ) . {\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}=-{\frac {1}{\tau }\delta T(t). }

이 미분 방정식의 해법은, 초기 조건으로부터의 통합에 의해, 다음과 같다.

Δ T ( t ) = Δ T ( 0 ) e − t / τ . {\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\,e^{-t/\tau }}

여기 서 Δ T ( 0 ) {\displaystyle \Delta T(0)} 은 시간 0의 온도 차이다. 온도로 되돌리면 해결책은

T ( t ) = T 부러워하다 + ( T ( 0 ) − T 부러워하다 ) e − t / τ . T(t)= T_{\text{env}+(T(0)-T_{\text{env})\,e^{-t/\tau }}

신체와 환경 사이의 온도 차이는 시간의 함수로서 기하급수적으로 감소한다.

참고 항목

참조

참고 항목:

뉴턴의 냉각 법칙(Newton’s law of cooling)

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1. 뉴턴의 냉각 법칙

1) 정의

뉴턴의 냉각 법칙이란, 냉각되는 물체의 온도가 물체와 주변 환경 사이가 접촉하고 있는 면적에 비례하는 비율을 가지면서 주변 환경의 온도를 향해 지수함수적으로 감소하는 것을 뜻한다.

뉴턴의 냉각 법칙을 식으로 나타내는 경우, 열 손실(열의 이동)은 물체와의 접촉 면적과 온도 차이를 곱한 양에 비례한다는 의미를 갖고, 다음과 같이 적는다.

$$\mathbf{J}=\mathbf{h}\Delta T$$

이는 물체가 냉각될 때 만일 냉각되는 물체가 다른 물체와 접촉하고 있는 경우는 접촉하는 면적에 비례하여 냉각이 잘 일어난다는 것이고, 만일 어떤 저온 환경에 물체가 놓여 있는 경우에는 그 물체가 환경과 접하고 있는 총 면적이 접촉 면적이 되어 이에 비례하는 비율을 가지면서 지수함수적으로 냉각된다는 것이다. 다시 말해, 냉각되는 물체는 시간이 지남에 따라 지수함수적으로 냉각된다. 예를 들어 냉장고에 음료수를 얼리기 위해 넣는 경우, 초반보다 후반대에 단위 시간당 온도 감소율이 크다는 것이다.

식으로 나타낼 때 $\mathbf{h}$ 는 물체 표면에 수직인 법선벡터를 의미하는데, 그 크기 $h$를 ‘열전달 계수(heat transfer coefficient)’라고 한다. $h$의 값은 일반적으로 물체와 주변 환경 온도에 따라 달라지고 표면의 위치에 따라 변한다는 특징이 있다. 벡터 표기를 하지 않을 경우에는 단순히 $J=h\Delta T$ 라 적기도 한다.

하지만 우리는 열전달의 방법이 보통 대류, 전도, 복사 세 가지로 존재한다는 것을 알고 있다. 보통 접촉에 의한 열전달은 분자들의 떨림으로 인해 에너지가 전달되는 전도(Conduction)의 방식에 해당한다. 그러나 온도 그래디언트가 매우 커지는 경우, 열전달은 특히 유체에서 대류(Convection)에 의해 지배되는 경우가 발생한다. 대류는 유체 내부에서 유체의 흐름, 운동에 의한 열전달에 해당한다.

[그림 1] 질량에 따른 주계열성 내부에서 열의 전달 방식

이러한 전달 방법에 관한 메커니즘을 쉽게 찾아볼 수 있는 대상이 바로 뜨거운 별(Star)의 내부 열전달 방식이다. 후에 다시 다루겠지만, 주계열성의 경우 핵의 열전달 방식이 태양과 비슷한 질량을 갖는 경우엔 복사 형태에 해당하지만, 태양보다 질량이 2배 이상인 별들은 중심핵에서 열전달이 대류 방식으로 전달되어, 중심핵은 대류핵이고 외곽층은 복사층이다. 하지만 태양은 외곽층에선 열이 대류 형식으로 발생한다. 이는 태양과 비슷한 별은 중심과 외곽의 온도 그래디언트가 크다는 것이고, 태양보다 질량이 2배 이상인 별들은 중심핵과 중심핵 바깥의 온도 그래디언트가 높다는 것으로 해석할 수 있다.

[참고 문헌 및 출처]

Concepts in Thermal Physics, Stephen J. Blundell & Katherine M. Blundell, 2E

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